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工程数学解答题 设，求； 解: 设，求解: 已知，求满足方程中的解: 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ； ； 解:(1)(2) (3)求矩阵的秩解:所以秩为3.1用消元法解线性方程组解: 2设有线性方程组为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解: (1)当时,秩秩,方程组有唯一解;(2)当时,秩秩,方程组有无穷多解;(3)当时,秩秩,方程组有无解. 判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式其中解:向量不能由向量组线性表出. 计算下列向量组的秩，并且判断该向量组是否线性相关？解:该向量组是线性相关的；求齐次线性方程组的一个基础解系解:故一般解为 一个基础解系为 求线性方程组的全部解解:全部解为 （,为任意常数） 1设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件： 中至少有一个发生； 中只有一个发生； 中至多有一个发生； 中至少有两个发生； 中不多于两个发生； （6）中只有C发生； 解: 2袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： 2球恰好同色； 2球中至少有1红球 解: 3加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率解: 设A,B分别表示第一, 第二道工序出合格品, 那么故 4市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率解: 设A,B,C分别表示甲厂, 乙厂和丙厂生产的产品, D表示买到一个热水瓶是合格品, 那么又故由全概率公式得5.某射手每发命中的概率是0.9，连续射击4次，求：（1）恰好命中3次的概率；（2）至少命中1次的概率。解：（1）恰好命中3次的概率为（2）至少命中1次的概率为6. 设随机变量的概率分布为试求解: 7. 设随机变量具有概率密度试求解: 8. 设，求解: 又 9.设，计算；解: 令 , 那么,故 设是独立同分布的随机变量，已知，设，求解: 1设对总体得到一个容量为10的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值和样本方差 2设总体的概率密度函数为试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数解: (1) 矩估计法.因为, 所以, 故(2)似然函数为取对数得 3测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值服从正态分布,在；未知的情况下，分别求的置信度为0.95的置信区间解: 时；选统计量因为所以查正态分布表故于是即的置信度为0.95的置信区间为 未知的情况下，选统计量查分布表求出使成立的,于是即的置信度为0.95的置信区间为4设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平，问原假设是否成立解: 作假设样本均值,选统计量计算检验量值 取显著性水平,查正态分布表得临界值因为应拒绝, 即原假设不成立 5某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）解: 作假设样本均值未知, 选统计量计算检验量值 取显著性水平,查分布表得临界值因为应接受, 即用新材料做的零件平均长度没有起变化 设，求解： 写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值答案： 1用消元法解线性方程组解：方程组解为 求下列线性方程组的全部解解：方程组一般解为令，这里，为任意常数，得方程组通解10用配方法将二次型化为标准型解：令，即则将二次型化为标准型5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布解：故X的概率分布是9. 设，计算；解：1已知，其中，求1. 解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法运算得 3. 设，求和.（其中,）3. 解：设 = 4. 某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：千克）为14.7, 15.1, 14.8, 15.2 可否认为这批零件的平均重量为15千克(已知)？4. 解：零假设由于已知，故选取样本函数经计算得，已知，故接受零假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克. 1设矩阵，求（1），（2）1.解： （1） 6分（2）利用初等行变换得即 16分2. 当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解2. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。8分此时相应齐次方程组的一般解为 （是自由未知量）分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）16分 4. 已知某种零件重量，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（）？4. 解： 零假设由于已知，故选取样本函数5分已知，经计算得， 11分由已知条件，故接受零假设，即零件平均重量仍为15 16分1已知矩阵方程，其中，求1解：因为，且 即 6分 所以 10分 2设向量组，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组 2解：因为（ ）= 6分 所以，r() = 3 8分 它的一个极大线性无关组是 （或） 10分 3用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换 3解： 令 （*）即得 6分由（*）式解出，即得或写成 10分4罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率 4解：设=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1） 5分（2） 10分5设随机变量X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使P（X a）=0.9成立的常数a (，) 5解：（1）P（1 X 7）= = = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 5分 （2）因为 P（X a）= 0.9所以 ，a = 3 + = 5.56 10分6从正态总体N（，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得= 21，求的置信度为95%的置信区间(已知 )6解：已知，n = 64，且 2分 因为 = 21，且 6分所以，置信度为95%的的置信区间为： 10分1设矩阵，是3阶单位矩阵，且有，求1. 解：由矩阵减法运算得 5分利用初等行变换得即由矩阵乘法运算得16分2. 求线性方程组的全部解2. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时齐次方程组化为令，得齐次方程组的一个基础解系 12分令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数） 16分3. 设，试求；（已知）3. 解： 8分 16分1设矩阵，解矩阵方程1解：因为 ，得 10分所以 16分 2设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解 2解：因为 A = 时，所以方程组有非零解 8分方程组的一般解为： ，其中为自由元 令 =1得X1=，则方程组的基础解系为X1 通解为k1X1，其中k1为任意常数 16分3某射手射击一次命中靶心的概率是，该射手连续射击5次，求：（1）命中靶心的概率；（2）至少4次命中靶心的概率 3解：射手连续射击5次，命中靶心的次数（1）设：“命中靶心”，则 8分（2）设：“至少4次命中靶心”，则 16分 4设随机变量X N（8，4）求 和 (，) 4解：因为 X N（8，4），则 N（0，1） 所以 = = =0.383 8分 = = . 16分1设矩阵，求（1）；（2） 1解：（1） = 8分（2）因为 =所以 = 16分2设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解 2解： 因为 得一般解： （其中是自由元） 7分令，得；令，得所以，是方程组的一个基础解系 14分方程组的通解为：，其中是任意常数 16分3设是两个随机事件，已知，求：（1） ；（2） 3解：（1）= 7分 （2） 16分 4设随机变量X的密度函数为，求：(1) k； (2) E(X )，D(X) 4解：（1）因为 1= 3 k所以 k = 6分 (2) E(X) = 10分 E() = D(X) = E() - = 16分1. 已知，证明可逆，并求1解： ， 因为 ，所以 可逆 且 2. 设矩阵，求（1），（2） 2解： （1） （2）利用初等行变换得即 3. 设矩阵，求及 3解： 利用初等行变换得即由矩阵乘法得4. 已知，其中，求4解：由方程，得，且 利用初等行变换得即由矩阵乘法得5. 设矩阵，求矩阵的秩5解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形 由此可知矩阵的秩为26. 求向量组，的秩，并求该向量组的一个极大无关组6解：将向量组组成的矩阵化为阶梯形 由此可知该向量组的秩为3，且是一个极大无关组7. 分别说明当取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解在有无穷多解的情况下求出一般解7解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形当时，方程组无解。当时，方程组有唯一解。当时，方程组有无穷多解。在方程组有无穷多解的情况下，一般解为（其中为自由未知量）8. 求线性方程组的全部解8解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时齐次方程组化为分别令，和，得齐次方程组的一组基础解系 令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）10当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解10解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。此时齐次方程组化为分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）11. 假设为两事件，已知，求11解： 12. 一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中50%来自甲厂、30%来自乙厂、20%来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为0.01，0.02和0.04。现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率.12解：设如下事件：“产品来自甲厂”：“产品来自乙厂”：“产品来自丙厂”：“产品是合格品”由全概公式有由对立事件的关系可知13. 一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.13解：设如下事件：“第1次抽取出的是黑球”：“第2次抽取出的是黑球”显然有，由全概公式得 14. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为0.03，第二道工序的次品率为0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.14解： 设如下事件：“第一道工序加工的零件是次品”：“第二道工序加工的零件是次品”：“零件是合格品”由事件的关系有已知相互独立，由加法公式得由对立事件的关系可知15. 设，求；（2）；（3）.15解： （1） （2） （3）17. 设，求；17 解：由期望的定义得 18. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间18解：由于已知，故选取样本函数已知，经计算得滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为19. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kgcm2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）19解： 零假设由于已知，故选取样本函数已知，经计算得， 由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。20. 对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机地抽取了16件，测得该项技术指标的平均值为31.06，样本标准差为0.35，求该项技术指标置信度为0.95的置信区间（）20解： 由于未知，故选取样本函数已知，经计算得该项技术指标置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为1设矩阵，求：（1）；（2）1解：（1）因为 所以 （2）因为 所以 2求齐次线性方程组 的通解2解： A= 一般解为 ，其中x2，x4 是自由元 令x2 = 1，x4 = 0，得X1 =； x2 = 0，x4 = 3，得X2 =所以原方程组的一个基础解系为 X1，X2 原方程组的通解为： ，其中k1，k2 是任意常数 3设随机变量（1）求；（2）若，求k的值 （已知）3解：（1）1 = 11（） = 2（1）0.045 （2） 1 1 即k4 = -1.5， k2.5 4某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）10.4，10.6，10.1，10.4问：该机工作是否正常(, )？4解：零假设.由于已知，故选取样本函数 经计算得， 由已知条件，且 故接受零假设，即该机工作正常. 11设矩阵，求11解：利用初等行变换得即 10分由矩阵乘法得 16分12当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解12解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。7分此时齐次方程组化为分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 10分令，得非齐次方程组的一个特解 13分由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数） 16分 13设，试求：(1)；(2)（已知）13解：(1) 8分(2) 16分 13设，试求: (1)；(2)（已知）13解：(1) 8分 (2) 16分3.设，试求；（已知）3. 解：4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，）4. 解：零假设由于未知，故选取样本函数已知，经计算得， 由已知条件，故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的。1设矩阵，且有，求1. 解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法和转置运算得2. 当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解2. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解此时方程组的一般解为 3. 设，试求；（已知）3. 解：11设矩阵，且有，求解：利用初等行变换得 即 10分由矩阵乘法和转置运算得 16分 12求线性方程组的全部解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量） 7分令=0，得到方程的一个特解. 10分方程组相应的齐方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系. 13分于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数） 16分31
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