数学分析级数

2 正 项 级 数 三 、 积 分 判 别 法 收 敛 性 是 级 数 研 究 中 最 基 本 的 问 题 , 本 节 将对 最 简 单 的 正 项 级 数 建 立 收 敛 性 判 别 法 则 .一 、 正 项 级 数 收 敛 性 的 一 般 判 别 原 则 二 、 比 式 判 别 法 和 根 式 判 别 法*四 、 拉 贝 判 别 法 一 、 正 项 级 数 收 敛 性 的 一 般 判 别 原 则若 数 项 级 数 各 项 的 符 号 都 相 同 , 则 称 它 为 同 号 级 数 . 对 于 同 号 级 数 , 只 须 研 究 各 项 都 是 由 正 数 组 成 的 级 数 (称 正 项 级 数 ).若 级 数 的 各 项 都 是 负 数 ,则 它 乘 以 -1后 就 得 到 一 个 正 项 级 数 ,它 们 具 有 相 同 的 敛 散 性 . 定 理 12.5 nu正 项 级 数 收 敛 的 充 要 条 件 是 :部 分 和 nS数 列 有 界 , 即 存 在 某 正 数 M, 对 一 切 正 整 数 n 有 .nS M 0( 1,2, ),iu i由 于证 所 以 Sn是 递 增 数 列 .而 单 调 数 列 收 敛 的 充 要 条 件 是 该 数 列 有 界 (单 调 有 界 定 理 ).这 就 证 明 了 定 理 的 结 论 . 仅 靠 定 义 和 定 理 12.5来 判 断 正 项 级 数 的 收 敛 性 是 不 容 易 的 ， 因 此 要 建 立 基 于 级 数 一 般 项 本 身 特 性 的 收 敛 性 判 别 法 则 . n nu v设 和 是 两 个 正 项定 理 12.6 (比 较 原 则 ) 级 数 , 如 果 存 在 某 正 数 N, 对 一 切 n N 都 有 (1)n nu v则(i) , ;n nv u若 级 数 收 敛 则 级 数 也 收 敛 (ii) , .n nu v若 级 数 发 散 则 级 数 也 发 散 证 因 为 改 变 级 数 的 有 限 项 并 不 影 响 原 有 级 数 的 敛 散 性 ,因 此 不 妨 设 不 等 式 (1)对 一 切 正 整 数 都 成 立 . n n n nS S u v现 在 分 别 以 和 记 级 数 与 的 部 分 和 .由 (1)式 可 得 ,对 一 切 正 整 数 n, 都 有 (2)n nS S , lim ,n nnv S 若 收 敛 即 存 在 则 由 (2)式 对 一 切 n 有 nulimn nnS S nS, 即 正 项 级 数 的 部 分 和 数 列 有 界 , 由 定 理 12.5级 数 nu 收 敛 , 这 就 证 明 了 (i). (ii)为 (i)的 逆 否 命 题 ,自 然 成 立 . 例 1 2 1 .1n n考 察 的 收 敛 性解 2 ,n由 于 当 时 有2 21 1 1 .1 ( 1)n n n n n n 因 为 正 项 级 数 2 1( 1)n n n 收 敛 ( 1例 5的 注 ), 故 由 比 较 原 则 和 定 理 12.3, 级 数 2 1 1n n 也 收 敛 . 2 2, ,n n n nu v u v收 敛 则 级 数 收 敛 . 例 2 若 级 数 2 2| |n n n nu v u v 2 2,n nu v证 因 为 , 而 级 数 收 敛 ， 根 据 比 较 原 则 , 得 到 级 数 n nu v 收 敛 . 在 实 际 使 用 上 ,比 较 原 则 的 极 限 形 式 通 常 更 方 便 .,n nu v 推 论 (比 较 原 则 的 极 限 形 式 ) 设 是 两 个 正 项 级 数 ,若 lim , (3)nn nu lv 则 (i) 0 , ;n nl u v 当 时 级 数 , 同 敛 散(ii) 0 , ;n nl v u 当 且 级 数 收 敛 时 级 数 也 收 敛(iii) , .n nl v u 当 且 级 数 发 散 时 级 数 也 发 散证 (i) 由 (3) ,l 对 任 给 正 数 存 在 某 正 数 N, 当 n N时 ,恒 有 nnu lv 或 ( ) ( ) . (4)n n nl v u l v 0 l当 nu由 比 较 原 则 及 (4)式 得 , 时 , 级 数 与 nv 同 时 收 敛 或 同 时 发 散 . 这 就 证 得 了 (i). (ii) 当 l = 0时 ,由 (4)式 右 半 部 分 及 比 较 原 则 可 得 ,若 nv nu级 数 收 敛 , 则 级 数 也 收 敛 . (iii) ,l 若 则 对 于 正 数 1, 存 在 相 应 的 正 数 N,当 n N 时 , 都 有 1 .n n nnu u vv 或 于 是 由 比 较 原 则 知 道 , 若 级 数 nv 发 散 , 则 级 数 nu 也 发 散 . 例 3 级 数 12n n 是 收 敛 的 , 因 为 1 2 12lim lim lim 11 2 12 2nn nn n nn nn nn以 及 等 比 级 数 12n 收 敛 , 根 据 比 较 原 则 的 极 限 形 12n n式 ,级 数 也 收 敛 . 例 4 正 项 级 数 1 1 1sin sin1 sin sin2n n是 发 散 的 , 因 为 1sinlim 1,1n nn 根 据 比 较 原 则 的 极 限 1n 1sinn形 式 以 及 调 和 级 数 发 散 , 得 到 级 数 也 发 散 . *例 5 判 断 正 项 级 数 12 sin1n nn 的 敛 散 性 .1sinlim 1,1n nn 12 sin1n nn 21n解 因 为 故 可 将 与 进 行 比 较 . 由 于 12 sin 12 2(1 sin )12 sin21lim lim lim1n nn nn n nn nnn nnn 12(1 sin )lnlime ,n nnn 注 意 到 21 1 1lim 1 sin ln lim 1 lnn nn n n o nn n n 2 21 lnlim 0,n nn o nn 所 以 12(1 sin )lnlime 1.n nnn 根 据 比 较 原 则 , 原 级 数 收 敛 . 二 、 比 式 判 别 法 和 根 式 判 别 法 本 段 所 介 绍 的 两 个 方 法 是 以 等 比 级 数 作 为 比 较 对 象 而 得 到 的 , 但 在 使 用 时 只 要 根 据 级 数 一 般 项 本 身 的 特 征 就 能 作 出 判 断 .定 理 12.7(达 朗 贝 尔 判 别 法 , 或 比 式 判 别 法 )设 nu为 正 项 级 数 , 且 存 在 某 正 整 数 0 (0 1).N q q 及 常 数 0(i) ,n N若 对 一 切 成 立 不 等 式1 , (5)nnu qu 则 级 数 nu 收 敛 . 0(ii) ,n N若 对 一 切 成 立 不 等 式1 1, (6)nnuu .nu则 级 数 发 散证 (i) (5) 1n不 妨 设 不 等 式 对 一 切 成 立 ,于 是 有 321 2 1, , , , .nnu uu q q qu u u 把 前 n-1个 不 等 式 按 项 相 乘 后 ,得 到 1321 2 1 nnnu uu qu u u 11 .nnu uq或 者由 于 当 0 q N 时 , 有 1 .nnuq qu 1 , 1,q q 当 时 根 据 的 取 法 ,有 由 上 述 不 等 式的 左 半 部 分 及 比 式 判 别 法 的 (i), 得 正 项 级 数 nu是 收 敛 的 . 1, 1,q q 若 则 有 根 据 上 述 不 等 式 的 左 半 部 分 及 比 式 判 别 法 的 (ii), 可 得 级 数 nu 是 发 散 的 . , ,q N n N若 则 存 在 当 时 有 1 1,nnuu.nu所 以 这 时 级 数 是 发 散 的 例 6 级 数2 2 5 2 5 8 2 5 8 2 3( 1) ,1 1 5 1 5 9 1 5 9 1 4( 1)nn 由 于 1 2 3 3lim lim 1,1 4 4nn nnu nu n根 据 推 论 1， 级 数 收 敛 . 例 7 讨 论 级 数 1( 0)nnx x 的 敛 散 性 .解 因 为 1 1( 1) 1 ( ),nn nnu n x nx x nu nx n 根 据 推 论 1,当 0 x 1时 级 数 发 n散 ; 而 当 x = 1时 , 所 考 察 的 级 数 是 , 它 显 然 也 是 发 散 的 . 性 作 出 判 断 . 例 如 级 数 21 1,n n和 它 们 的 比 式 极 1 211( ),nnu nu n限 都 是 但 收 敛 ( 1例 5), 1n而 却 是 发 散 的 ( 1例 3).若 某 级 数 的 (7)式 的 极 限 不 存 在 ,则 可 应 用 上 、 下 极限 来 判 别 收 敛 性 . 若 (7)中 q = 1,这 时 用 比 式 判 别 法 不 能 对 级 数 的 敛 散 *推 论 2设 nu 为 正 项 级 数 . 1(i) lim 1, ;nn nu qu若 则 级 数 收 敛1(ii) lim 1, ;nn nu qu 若 则 级 数 发 散*例 8 研 究 级 数 2 2 2 11 (8)n n n nb bc b c b c b c b c 的 敛 散 性 , 其 中 0 b c. 解 由 于 1 , ,nn b nuu c n 为 奇 数 ,为 偶 数1 1lim , lim ,n nn nn nu uc bu u 故 有于 是 当 c 1时 ,级 数 (8)发 散 ; 但 当 b 1 N, 有 .n nl u l 于 是 由 根 式 判 别 法 就 得 到 推 论 所 要 证 明 的 结 论 . 推 论 1(根 式 判 别 法 的 极 限 形 式 ) 设 nu 为 正 项 级 数 ,且 例 9 研 究 级 数 2 ( 1)2 nn 的 敛 散 性 .解 由 于 2 ( 1) 1lim lim ,2 2n nn nn nu 所 以 级 数 是 收 敛 的 .若 在 (11)式 中 l =1,则 根 式 判 别 法 仍 无 法 对 级 数 的 敛 散 性 做 出 判 断 . 例 如 21 1,n n对 和 都 有 21 11( ), ,n nu n n n 但 是 收 敛 的 而 却 是发 散 的 . 若 (11)式 的 极 限 不 存 在 , 则 可 根 据 根 式 n nu 的 上 极 限 来 判 断 . *推 论 2 设 nu 为 正 项 级 数 , 且lim ,n nn u l 则 当 (i) l 1 时 级 数 发 散 . *例 10考 察 级 数 2 2 n nb c b c b c 的 敛 散 性 ， 其 中 0 1.b c 解 由 于 12 11 2 1( ) , ( )( ) ,m mn n m mc cu mb b 故 lim 1,n nn u c 因 此 级 数 是 收 敛 的 . 1lim lim ,nn nn nnu cu b 11lim lim 0 1,nn nnn nu bu c 如 果 应 用 比 式 判 别 法 , 由 于 我 们 就 无 法 判 断 其 收 敛 性 . 1lim nn nu qu lim .n nn u q 根 据 第 二 章 总 练 习 题 4 (7), 当 时 , 必 有这 说 明 凡 能 由 比 式 判 别 法 判 别 收 敛 性 的 级 数 , 也 能 由 根 式 判 别 法 来 判 别 , 亦 即 根 式 判 别 法 较 之 比 式 判 别 法 更 为 有 效 . 例 如 级 数 2 ( 1) ,2 nn 由 于 222 1 2 13 32lim lim ,1 22 mmm mm muu 2 12 12 21 12lim lim ,3 62mmm mm muu故 比 式 判 别 法 无 法 鉴 别 此 级 数 的 收 敛 性 . 但 应 用 根 式 判 别 法 却 能 判 定 此 级 数 是 收 敛 的 (例 9).那 么 , 是 否 就 不 需 要 比 式 判 别 法 了 ？ 请 看 下 面 例 子 . 例 11 判 别 下 列 级 数 的 敛 散 性 ：21 ( !)(i) ;(2 )!n nn 21(ii) .12 nn nn 解 (i) 因 为 21 2( 1)! (2 )!lim lim2( 1)! ( !)nn nnu n nu n n 2( 1) 1lim 1,(2 1)(2 2) 4n nn n 由 比 式 判 别 法 ， 原 级 数 为 收 敛 . 1 1,2 2 2lim lim lim 11 22n nn n nn n nn n nu nn (ii) 因 为由 根 式 判 别 法 , 原 级 数 为 收 敛 . 注 由 于 极 限 2( !)lim (2 )!nn nn 很 难 求 , 所 以 上 例 中 的 (i) 不 采 用 根 式 法 . 三 、 积 分 判 别 法由 于 比 式 和 根 式 判 别 法 的 比 较 对 象 是 几 何 级 数 ,局 限 性 较 大 , 所 以 还 需 要 建 立 一 些 更 有 效 的 判 别 法 .定 理 12.9 (积 分 判 别 法 )设 1, )f为 上 非 负 减 函 数 , 那 么 正 项 级 数 +1( ) ( )df n f x x与 反 常 积 分 同 时收 敛 或 同 时 发 散 . 证 由 假 设 1, )f 为 上 非 负 减 函 数 , 对 任 何 正 数 A,f 在 1, A上 可 积 ,于 是 1( ) ( )d ( 1), 2,3, .nnf n f x x f n n依 次 相 加 可 得 112 2 1( ) ( )d ( 1) ( ). (12)m m mmn n nf n f x x f n f n 若 反 常 积 分 收 敛 ,则 由 (12)式 左 边 ,对 任 何 正 整 数 m, 有 1 11 ( ) (1) ( )d (1) ( )d .m mm nS f n f f x x f f x x 根 据 定 理 12.5, 级 数 ( )f n 收 敛 . 反 之 , 若 ( )f n 为 收 敛 级 数 , 则 由 (12)式 右 边 , 对 任 一 正 整 数 m(1)有 11 ( )d ( ) . (13)m mf x x S f n S10 ( )d , 1.A nf x x S S n A n +111.2 ( )d .f x x根 据 定 理 得 反 常 积 分 收 敛因 为 f (x)为 非 负 减 函 数 , 故 对 任 何 正 数 A, 都 有用 同 样 方 法 ,可 以 证 明 +1( ) ( )df n f x x与 是 同 时 发 散 的 . 例 12 讨 论 1 .pp n级 数 的 敛 散 性1( ) , 0 1, )pf x px 当 时 在 解 函 数 上 是 非 负 减 函 +1 d 1 1px p px数 ,反 常 积 分 在 时 收 敛 , 时 发 散 .故1 1 , 0 1p p pn由 积 分 判 别 法 得 当 时 收 敛 当 0p时 发 散 . 至 于 的 情 形 , 则 可 由 收 敛 的 必 要 条 件知 它 也 是 发 散 的 . 例 13 讨 论 下 列 级 数 2 31 1(i) ; (ii) .(ln ) (ln )(lnln )p pn nn n n n n的 敛 散 性 .解 2 d ,(ln )pxx x研 究 反 常 积 分 由 于+2 2 ln2d d(ln ) d(ln ) (ln )p p px x ux x x u 1 , 1p p当 时 收 敛 时 发 散 ,根 据 积 分 判 别 法 得 级 (i) 1 , 1 .p p数 在 时 收 敛 时 发 散 3(ii), ,(ln )(lnln )pdxx x x对 于 考 察 反 常 积 分 同 样 可 1p推 得 级 数 (ii) 在 p 1时 收 敛 , 在 时 发 散 . 由 于 比 式 和 根 式 判 别 法 的 比 较 对 象 是 几 何 级 数 , 如 果 级 数 的 通 项 收 敛 速 度 较 慢 , 它 们 就 失 效 了 , 如 p级 数 . 拉 贝 (Raabe)判 别 法 是 以 p 级 数 为 比 较 对 象 , 这 类 级 数 的 通 项 收 敛 于 零 的 速 度 较 慢 , 因 此 较 比 式 或 根 式 法 在 判 断 级 数 收 敛 时 更 精 细 .*四 、 拉 贝 判 别 法 11 1,nnun ru;nu则 级 数 收 敛 0(ii) ,n N若 对 一 切 成 立 不 等 式 11 1,nnun u.nu则 级 数 发 散 0(i) ,n N若 对 一 切 成 立 不 等 式定 理 12.10 (拉 贝 判 别 法 ) 设 nu 为 正 项 级 数 , 且 存 0 .N r在 某 正 整 数 及 常 数 .1 p r 由 于 10 011 1 1 (1 ) (1 )lim lim limp p pn x xx p xnr rx rn 1,pr 1 11 1, 1 .n nn nu u rn r pu u n由 得 选 使 得 证 (i)故 存 在 正 数 N, 使 对 任 意 n N ， 都 有 11 1 .prn n 1 1 1 11 1 1 1 .p p pnnu nu n n n1 11 1n n Nn Nn n Nu u uu uu u u 这 样 于 是 , 当 n N 时 ， 有 1 2 11p p p Nn n N un n N ( 1) ( 1) 1 .p pNp pNN Nun u n 11 , , .npp un因 为 时 收 敛 所 以 是 收 敛 的1 1 1 1(ii) 1 1, 1 ,n nn nu u nn u u n n由 得 于 是 1 31 21 2n nn n nu u uu uu u u 21 2 11 2n n un n 21 .un 1 , .nun因 为 发 散 故 是 发 散 的推 论 (拉 贝 判 别 法 的 极 限 形 式 )设 nu 为 正 项 级 数 , 且 极 限 1lim 1 nn nun ru (i) 1 , ;nr u当 时 级 数 收 敛 (ii) 1 , .nr u当 时 级 数 发 散 1 3 (2 1) (14)2 4 (2 ) Snn存 在 , 则当 s =1, 2, 3时 的 敛 散 性 .例 14 讨 论 级 数解 无 论 s =1, 2, 3哪 一 值 ,级 数 (14)的 比 式 极 限 1lim 1nn nuu所 以 用 比 式 判 别 法 无 法 判 别 级 数 (14)的 敛 散 性 . 现应 用 拉 贝 判 别 法 来 讨 论 . 当 s =1时 ,因 1 2 1 11 1 ( ),2 2 2 2 2nnu n nn n nu n n 21 22 1 (4 3)1 1 1( ),2 2 2 2nnu n n nn n nu n n故 级 数 (14)是 发 散 的 . 当 s = 2时 , 利 用 极 限 形 式 , 有 无 法 对 级 数 (14)的 作 出 判 断 . 但 由 于由 拉 贝 法 的 非 极 限 形 式 知 级 数 (14)发 散 . 当 s =3时 ,31 2 1lim 1 lim 1 2 2nn nnu nn nu n 21 2 2(4 3) 4 31 1,4 8 42 2nnu n n n nn u n nn 2 3(12 18 7) 3lim 22 2n n n nn 所 以 级 数 (14)收 敛 . 根 式 法 更 广 泛 , 但 当 r =1 时 仍 无 法 判 别 . 而 从 例 12 似 乎 可 以 得 出 这 样 得 结 论 ： 没 有 收 敛 得 “ 最 慢 ” 的 收 敛 级 数 . 因 此 任 何 判 别 法 都 只 能 解 决 一 类 级 数 的 收 敛 问 题 ,而 不 能 解 决 所 有 级 数 的 收 敛 问 题 .当 然 我 们 还 可 以 建 立 比 拉 贝 判 别 法 更 为 精 细 有 效 的 判 别 法 ,但 这 个 过 程 是 无 限 的 .从 上 面 看 到 , 拉 贝 判 别 法 虽 然 判 别 的 范 围 比 比 式 或 复 习 思 考 题 1.设 nu 为 收 敛 的 正 项 级 数 ， 则 一 定 存 在 收 敛 的 正 nv lim nn nvu 项 级 数 ,使 得 . 也 就 是 说 没 有 收 敛 得 最 慢 的 级 数 .是 否 存 在 发 散 得 最 慢 的 级 数 ？ 1, 1nnuu 有,nu n N2.如 果 正 项 级 数 满 足 对 一 切( 1) ?n n nu u 或 能 否 得 出 收 敛3.总 结 判 别 法 使 用 规 律 . 部 分 资 料 从 网 络 收 集 整理 而 来 ， 供 大 家 参 考 ，感 谢 您 的 关 注 ！