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2.3.2 双 曲 线 的 简 单 几 何 性 质 教 学 目 标 ：1、 掌 握 双 曲 线 的 范 围 、 对 称 性 、 顶 点 、渐 近 线 及 离 心 率 等 性 质2、 初 步 解 决 生 活 中 与 双 曲 线 有 关 的 问 题教 学 重 点 ：能 利 用 双 曲 线 的 性 质 求 双 曲 线 的 标 准 方 程教 学 难 点 ：与 双 曲 线 的 渐 近 线 有 关 的 问 题 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 的 方 程 2 22 22 2 22 : 11 .x ya bx x a x a x aa 由 双 曲 线 标 准 方 程 可 知或 .ax,ax byax 的 外 侧直 线 在 两双 曲 线 12222性 质 1范 围 xyo-a a(-x,-y)(-x,y) (x,y)(x,-y) 性 质 2对 称 性 F2F1 O xy . .; yxbyax中 心 双 曲 线 的双 曲 线 的 对 称 中 心 叫 做关 于 原 点 成 中 心 对 称成 轴 对 称 轴轴 、关 于双 曲 线 12222 F2F1 O xy A1 A2双 曲 线 的 对 称 轴 与 双 曲 线 的 交 点 ,叫 做 双 曲 线 的 顶 点顶 点顶 点顶 点顶 点 0,a 0,a性 质 3顶 点 F2F1 O xy A1 A2实 轴 b,B 01 b,B 02 虚 轴性 质 3顶 点叫 做 虚 半 轴 长虚 轴 长叫 做 实 半 轴 长实 轴 长b ,ba ,a22 O xy2 22 2 2 2 21 , ,2 .,x y a ba b x y a ax a y a 在 方 程 中 如 果那 么 方 程 化 为 此 时实 轴 和 虚 轴 的 长 都 等 于四 条 直 线 围 成 正方 形 。 .叫 做 等 轴 双 曲 线 线实 轴 和 虚 轴 等 长 的 双 曲等 轴 双 曲 线 xyoA1 A2abB1B2 Q M(x,y)N Y,x 性 质 4渐 近 线 xaby xaby 00 MQ,MN,x MNMQ,MNQRt 进 而时当 中在 .ON,的 下 方 逐 渐 接 近 于 射 线射 线 从内 的 部 分说 明 双 曲 线 在 第 一 象 限ON . xaby .叫 做 双 曲 线 的 渐 近 线于 是 我 们 把 两 条 直 线 的 情 况在 其 他 象 限 内 均 有 类 似 双 曲 线 与 它 的 渐 近 线无 限 接 近 ， 但 永 不 相 交 . 13 思考： ay x b两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？双曲线 的渐近线方程是什么？2 22 2 1y xa b 等 轴 双 曲 线 的 渐 进 线 方 程 是)0(22 mmyx 2 22 2x y =0a b2 22 2 0y xa b 2 22 2x y =1a b2 22 2 1y xa b by xa ay x b 等 轴 双 曲 线 的 渐 进 线 方 程 是)0(22 yx y x 14 双 曲 线 的 叫 做的 比双 曲 线 的 焦 距 与 实 轴 长 ,ace 离 心 率 。 ca0 e 1e是 表 示 双 曲 线 开 口 大 小 的 一 个 量 ,e越 大 开 口 越 大（ 1） 定 义 ：（ 2） e的 范 围 ：（ 3） e的 含 义 ： 11)( 2222 eaca acab 也 增 大增 大且时 ，当 abeabe ,),0(),1( 的 夹 角 增 大增 大 时 ， 渐 近 线 与 实 轴e性 质 5离 心 率 15( )y x 两 渐 近 线 互 相 垂 直2e 2 2 ( 0)( x )x y 焦 点 可 在 轴 上 ， 也 可 在 y轴 上 16 Y XF 1 F2A1 A2B1B2 12222 byax焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 草 图 画 法 12222 bxay xbay 1 ace 17 双 曲 线 标 准 方 程 ：双 曲 线 性 质 ：1.范 围 ：2.对 称 性 ：3.顶 点 ：4.渐 近 线 方 程 ：5.离 心 率 ： ya或 y-a关 于 坐 标 轴 和 原 点 对 称A1(0， -a),A2(0,a)A1A2为 实 轴 ， B1B2为 虚 轴 18关于x轴、y轴、原点对称 图 形方 程范 围对 称 性离 心 率 )0( 1 babyax 2222A1（ - a， 0） ， A2（ a， 0） A1（ 0， -a） ， A2（ 0， a） ),b(abxay 00 1 2222 Rxayay ， 或关于x轴、y轴、原点对称)1( eace渐 进 线 xbay .y B2A1 A2 B1 xO F2F1 xB1y O.F2F1B2 A1A2.F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax ， 或)1( eace xaby 顶 点 19(2) 的 实 轴 长 虚 轴 长 顶 点 坐 标为 _,焦 点 坐 标 为 离 心 率 为 _. 2 2 4x y 2 28 32x y 练 习 1: 的 实 轴 长 _,虚 轴 长 为 _. 顶 点 坐 标 为 ,焦 点 坐 标 为 _, 离 心 率 为 _. 428 0,24 0,64 4(0, 2) 22,03 24 2(1) 20 (3) 的 渐 近 线 方 程 为 ： 2 2 14x y 2 2 44x y 的 渐 近 线 方 程 为 ： 2 2 14x y 的 渐 近 线 方 程 为 ： 的 渐 近 线 方 程 为 ： 2 2 44x y 2 xy 2xy 2xy 2xy 21 2 29 16 144y x 例 题例 1 求 双 曲 线 的 半实 轴 长 和 半 虚 轴 长 、 焦 点 坐 标 、 离 心 率 、渐 近 线 方 程 . 22.534.3 ,4, .134 : 2222 2222 bac b axy虚 半 轴 长 实 半 轴 长由 此 可 知把 方 程 化 为 标 准 式解 23 .34,43 .45 .5,0,5,0 xyyx ace 即渐 近 线 方 程 为离 心 率焦 点 的 坐 标 是 24 (1)顶 点 在 x轴 上 ,两 顶 点 间 的 距 离 是 8,e=5/4(2)求 以 椭 圆 的 焦 点 为 顶 点 ,以 椭 圆的 顶 点 为 焦 点 的 双 曲 线 的 方 程2 2 18 5x y 25o xy 解 ： 4,2)x21y4xM （的 交 于与 渐 近 线点 作 直 线过 Q32 1 ,2M y x x 点 在 直 线 的 下 方 ， 即 双 曲 线 焦 点 在 轴 上2 22 2 1 0 0( , )x y a ba b 设 双 曲 线 方 程 为得 到入 上 式 代） ， 把双 曲 线 经 过 点 （, )3,4(34, 1,4)2),1 22 ba解 得由 例 2.已 知 双 曲 线 的 渐 近 线 是 ， 并 且 双 曲 线 过 点 02 yx)3,4(M ,求 双 曲 线 方 程 。 Q 4M 2 22 24 3 1( )a b 1)12y x又 渐 近 线 是 21ab 2)42 2 1.x y双 曲 线 方 程 为 262 24 4.x y 所 求 双 曲 线 方 程 为 022 yx双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为：解 2 24 0( ).x y 可 设 所 求 双 曲 线 的 方 程 为)3,4(M双 曲 线 过 点 .)3(44 22 4例 2.已 知 双 曲 线 的 渐 近 线 是 ， 并 且 双 曲 线 过 点 02 yx)3,4(M ,求 双 曲 线 方 程 。 27 解 ： 由 题 意 可 设 双 曲 线 方 程 为 ,2 2 ( 0)4x y 2 24 ( 5)4 1 22 14xy 双 曲 线 的 方 程 为 4 5( , )双 曲 线 过 点 N 28 2 22 2 2 22 2 2 22 2 1 00002 1 0 n x yy xm m nx ym nxyx ya b x ya b 共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 ：渐 近 线 方 程 为 ： 即的 双 曲 线 方 程 可 设 为 ：时 表 示 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 ；时 表 示 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 ；与 双 曲 线 有 相 同 的 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 ： 29关于x轴、y轴、原点对称 图 形方 程范 围对 称 性离 心 率 )0( 1 babyax 2222A1（ - a， 0） ， A2（ a， 0） A1（ 0， -a） ， A2（ 0， a） ),b(abxay 00 1 2222 Rxayay ， 或关于x轴、y轴、原点对称)1( eace渐 进 线 xbay .y B2A1 A2 B1 xO F2F1 xB1y O.F2F1B2 A1A2.F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax ， 或)1( eace xaby 顶 点 小 结 与 反 思 ： 1、 深 刻 理 解 定 义 中 a,b,c,e之 间 的 关 系 2、 渐 近 线 是 刻 画 双 曲 线 范 围 的 重 要 概 念（ 1） 画 草 图 时 ， 一 般 先 画 出 渐 近 线 (2)渐 近 线 方 程 确 定 时 ， 双 曲 线 方 程 的 设 法课 下 作 业 ： 学 案 133页 12题 30
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