数学分析试题

第二章 函数1 函数概念1 证明下列不等式：(1) ；(2) ；(3) .2求证 .3求证 ；.4已知三角形的两条边分别为和，它们之间的夹角为，试求此三角形的面，并求其定义域.5在半径为的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域.6某公共汽车路线全长为 20km，票价规定如下：乘坐 5km以下（包括5km）者收费 1 元；超过 5km 但在15km 以下（包括 15km）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形.7一脉冲发生器产生一个三角波. 若记它随时间的变化规律为，且三个角分别有对应关系，求，并作出函数的图形.8判别下列函数的奇偶性：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .9判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .10证明 在 有界.11用肯定语气叙述函数无界，并证明在无界.12试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.13设为定义在内的任何函数，证明可分解成奇函数和偶函数之和.14用肯定语气叙述：在上(1) 不是奇函数；(2) 不是单调上升函数；(3) 无零点；(4) 无上界.2 复合函数与反函数1 设，求证 .2 求下列函数的反函数及其定义域：(1) ；(2) ；(3) 3设，为实轴上单调函数，求证也是实轴上的单调函数.4设求复合函数，. 5设 ，求. 6设 ，试求. 7设 ，求，.3 初等函数1对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .2若已知函数的图形，作函数，的图形，并说明的图形与的图形的关系.3若已知函数的图形，试作函数的图形，并说明的图形与、图形的关系.4 作出下列函数的图形：(1) ；(2) .5符号函数试分别作出，的图形.6作出下列函数的图形：(1) ；(2) .第三章 极限与函数的连续性1 极限问题的提出2 数列的极限1 用定义证明下列数列的极限为零：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) .2用定义证明：(1) ；(2) ；(3) ，其中 (4) ，其中 3用定义证明：(1) 若，则对任一正整数，有；(2) 若，则.反之是否成立？(3) 若，且，则存在，当时，有；(4) 若，且，则. 4极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ，当时,有； (2) ，当时,有； (2) ，当时,有（为常数）. 5若 收敛，能否断定、也收敛？ 6设 ，且，求证：，. 7利用极限的四则运算法则求极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) .8求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ；(7) ； (8) ，； (9) ； (10) ； (11) ； (12) . 9证明：若，中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则是发散数列；又问和是否也是发散数列？为什么？ 10设，证明发散. 11若为个正数，证明：. 12设，证明： (1) ； (2) 若，则. 13利用单调有界原理，证明存在，并求出它： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 14若证明：. 15证明：若，且，. 16设，证明： (1) ；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若，则. 17应用上题的结果证明下列各题： (1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 若，则.18用定义证明下列数列为无穷大量：(1) ； (2) ； (3) ； (4) . 19证明：若为无穷大量，为有界变量，则为无穷大量. 20(1) 两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？ (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形. 21利用，求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 3 函数的极限1用极限定义证明下列极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) .2用极限的四则运算法则求下列极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) （为正整数）；(8) .3设，证明：若，则，其中正整数.4证明：若，则，但反之不真.5求下列函数字所示点的左右极限：(1) 在；(2) 在；(3) 在；(4) 在，是正整数；(5) 在.6求下列极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) .7用变量替换求下列极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .8设在上单调上升，若，求证： （可以为无穷）. 9设在集合上定义，则在上无界的充要条件是：存在，使.10利用重要极限求极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ； (12) ；(13) ；(14) ；(15) ；(16) ；(17) ；(18) ；(19) ；(20) ；(21) ；(22) ；(23) ；(24) .11证明不存在 .12证明不存在，其中13求极限.14用定义证明：(1) 若，则；(2) 若，则.15若，证明：.16证明的充要条件是：对任何数列，有.17证明的充要条件是：对任何数列，有.18设函数在上满足方程，且，证明：.4 函数的连续性1 用定义证明下列函数在定义域内连续：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .2指出下列函数的间断点并说明其类型：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) (10) (11) (12) 3当时下列函数无定义，试定义的值，使在连续：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .4设是连续函数，证明对任何，函数是连续的. 5若在点连续，那么和是否也在点连续？反之如何？ 6若函数字点连续，而在点不连续，问此二函数的和、积在点是否连续？又若和在点都不连续，问此二函数的和、积在点是否必不连续？ 7证明若连续函数在有理点的函数值为0，则此函数恒为0. 8若在连续，恒正，按定义证明在连续. 9若和都在连续，试证明和都在连续. 10证明：设为区间上单调函数，若为的间断点，则必是的第一类间断点. 11若在,，则在中必有，使得. 12研究复合函数和的连续性. 设 (1) ； (2) . 13证明：若在连续，且不存在，使，则在恒正或恒负.14设为上的递增函数，值域为，证明在上连续.15设在上连续，且，若，.求证：(1) 存在；(2) 设，则；(3) 如果将条件改为，则.16求下列极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .17证明方程有且只有一个实根.5 无穷小量与无穷大量的比较1 当时，以为标准求下列无穷小量的阶：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ;(5) ；(6) ；(7) ;(8) .2当时，以为标准求下列无穷大量的阶：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .3当时，下列等式成立吗？(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .4试证下列各题：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .5证明下列各式：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .6运用等价无穷小量求极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .7设，证明：或.8设时，与维等价无穷小，与是等价无穷大，且存在，求证.第四章 微商与微分1 微商概念及其计算1求抛物线在点和点的切线方程和法线方程2若，求（1）在之间的平均速度（设）；（2）在的瞬时速度3试确定曲线在哪些点的切线平行于下列直线：（1）；（2）4设试确定的值，使在处可导5求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程：（1）；（2）6求下列函数的导函数.（1）；（2）7设函数（m为正整数）试问：（1）m等于何值时，在连续；（2）m等于何值时，在可导；（3）m等于何值时，在连续8设，求9证明：若存在，则10设是定义在上的函数，且对任意，有.若，证明任意，有11设是偶函数，且存在，证明：12设是奇函数，且，求.13用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数14求下列函数的导函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）15求下列复合函数的导函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）16用对数求导法求下列函数的导函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）17设是对可导的函数，求：（1）；（2）；（3）18设和是对可求导的函数，求：（1）；（2）；（3）；（4）19求下列函数的导函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）2 微分概念及其计算1求下列函数在指定点的微分：（1） ，求；（2），求和；（3），求；（4），求2求下列函数的微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）3设是的可微函数，求：（1）；（2）；（3）；（4）4求下列函数的微分：（1）；（2）；（3）；（4）3 隐函数与参数方程微分法1.求下列隐函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）2求下列参数方程的导数：（1）；（2）；（3）；（4）3求函数在指定点的导数：（1）；（2）；（3）；（4）4一个圆锥型容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m.（1）灌入水时，求水的体积V对水面高度的变化率；（2）求体积V对容器截面圆半径R的变化率5设（1）求；（2）证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数6证明：曲线上任一点的法线到原点的距离恒等于4 高阶微商与高阶微分1.求下列函数在指定点的高阶导数：（1），求；（2）求2求下列函数的高阶导数：（1），求；（2），求；（3）求；（4），求；（5），求；（6），求3求下列函数的n阶导数：（1）；（2）4求下列函数的n阶导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）5设的各阶导数存在，求及（1）；（2）；（3）；（4）；（5）6若，证明7求下列函数的二阶微分：（1）；（2）；（3）8求下列函数的三阶微分：（1）设求；（2）设，求9求下列参数方程的二阶导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）10求下列隐函数的二阶导数：（1）；（2）；（3）11设函数在点二阶可导，且，若存在反函数，试求12设，证明y满足方程13设（1）证明y满足方程；（2）求14设存在反函数，且满足方程证明：反函数满足，并且由此求出一个第五章 微分中值定理及应用1 微分中值定理1证明：（1）方程（是常数）在区间内不可能有两个不同的实根；（2）方程（为正整数，为实数）当为偶数时至多有两个实根；当为奇数时至多有三个实根。2设为正整数，则存在，使3应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1）（2）等号成立当且仅当；（3）（4）（5）4设函数在点具有连续的二阶导数，证明5设，求证：任意，有6 函数在可导，其中，证明：存在，使得7设在上可导，且。求证：存在，使。8设可导，求证：在两零点之间一定有的零点.9设函数在附近连续，除点外可导，且，求证：存在，且.10若在可导，且，为介于和之间的任一实数，则至少存在一点，使.11设函数在内可导，且单调，证明在连续.12若函数，和在连续，在可导，证明存在，使得.13设在连续，且，证明：在上取到它的最小值.14设在连续，.（1）若存在，使，则在上达到最大值；（2）如果存在，使，能否断言在上达到最大值？15设在有界，存在，且.求证.16求证：.2 微分中值定理及其应用1求下列待定型的极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）2对函数在上应用拉格朗日中值定理有试证对下列函数有：（1）（2）3设二阶可导，求证：4下列函数不能用洛必达法则求极限：（1）（2）（3）（4）3 函数的升降、凸性和函数作图1应用函数的单调性证明下列不等式：（1）（2）（3）（4）（5）2确定下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3求下列函数的极值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4设（1）证明：是函数的极小值点；（2）说明在的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.5证明：若函数在点处有，则为的极大值点.6设在处都取的极值，试定出和的值；并问这时在和是取得极大值还是极小值；(1) 求函数在上的极值；(2) 求方程有两个正实根的条件.8.设，在实轴上连续可微，且求证：的两实根之间一定有的根.9.确定下列函数的凸性区间与拐点：（1）（2）（3）（4）10.证明曲线有位于同一直线上的三个拐点.11.问，为何值时，点为曲线的拐点？12.证明：(1) 若为下凸函数，为非负实数，则为下凸函数；(2) 若、均为下凸函数，则为下凸函数；(3) 若为区间上的下凸函数，为上的下凸递增函数，则为上的下凸函数.13.设为区间上严格上凸函数，证明：若为的极小值点，则为在上唯一的极小值点.14.应用下凸函数概念证明如下不等式：(1) 对任意实数有(2) 对任何非负函数有.15.如何选择参数，方能使曲线在（为给定的常数）处有拐点.16.求的极值及拐点，并求拐点处的切线方程.17.作出下列函数的图形：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）.4 函数的最大值最小值问题1求下列函数在指定区间上的最大值与最小值（1）（2）（3）（4）（5）2给定长为的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大.3.设用某仪器进行测量时，读得次实验数据为问以怎样的数值表达所要测量的真值，才能使它与这个数之差的平方和为最小.4.求内接于椭圆而边平行于坐标轴的面积最大的矩形.5.点到抛物线最短距离.6.做一个圆柱形锅炉，已知起容积为，两端面材料的每单位面积价格为元.侧材料的每单位面积价格为元，问锅炉的直径与高的比等于多少时，造价最省？7.某村计划修建一条断面面积为的梯形渠道，侧面的坡度为（即底边与斜高间夹角满足），底边与斜高为多长时湿周最小.（根据经验，湿周最小时渠道过水能力最大.）8.设炮口的仰角为，炮弹的初速为，炮口取作原点，发炮时间取作，不计空气阻力时，炮弹的运动方程为：若初速不变，问如何调整炮口的仰角，使炮弹射程最远.第六章 不定积分1 不定积分的概念1 求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）2求一曲线，它在点处的切线的斜率为2，且通过点3已知满足给定的关系式，试求：；.2 换元积分法与分部积分法1用凑微分法求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）；（25）；（26）；（27）；（28）；（29）；（30）2用换元积分法求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）3用分部积分法求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）4求下列不定积分的递推公式：（1）；（2）；（3）；（4）5求下列有理函数的不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）6求下列三角有理式的积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）7求下列无理函数的不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）8求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）第七章 定积分1 定积分的概念1 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2 设在可积，证明在上可积，且.3 设求证. 4 若函数在上可积，其积分是，今在内有限个点上改变的值使它成为另一函数，证明也在上可积，并且积分仍为.2 定积分的基本性质1 设在连续，不恒为零，证明.2 设在连续，证明在上恒为零.3 举例说明在可积，但在不可积.4 比较下列各对定积分的大小：(1) ；(2) ；(3) . 5 证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 6 证明： (1) ； (2) . 7 设在连续，证明，其中.8 设在连续，且，求证：.9 设，求证. 10(1)设在上连续，且对上任一连续函数均有，证明. (2)设在上连续，且对所有那些在上满足附加条件的连续函数，有.证明：在上同样有. 11 设在连续，求证：，而且等号成立当且仅当(或)，其中为常数。12 设在连续，求证：，而且等号成立当且仅当(常数).13 设在连续，求证：.14 设是严格单调增加的连续函数，是它的反函数，证明15 用一致连续定义验证： (1) 在上是一致连续的； (2) 在上是一致连续的； (3) 在上一致连续，但在上不一致连续； (4) 在上不一致连续.3 微积分基本定理1 计算下列定积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； 2 求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 3 若连续，求： (1) ； (2) ； (3) ； 4 求下列极限： (1) ； (2) ； 5 设在连续且单调递增，求证：函数在上连续且单调递增。4 定积分的计算1 计算下列定积分(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) ；(13) ；(14) ；(15) ；(16) ；(17) ；(18) ；(19) ；(20) ；2 计算下列定积分(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；3 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有一个为奇函数. 4 设在所示区间上是连续函数，证明： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；5 计算积分.6 利用分部积分法证明：7 设在连续，且，求证：(1) ；(2) ；8 设在时连续，对任意，积分值与a无关，求证：（c为常数）.9 设在任一有限区间上可积分，且求证：5 定积分在物理中的应用初步1 有一薄版，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力.2 修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m，水深27m，围囹高出水面3m，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。3 某水库的闸门是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌满时闸门所要的力。设水的比重为1000.4 半径为r的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要作多少功？5 把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1的力能使弹簧伸长1cm，问把弹簧拉长10cm要作多少功？6 有一长为a的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此细棒的平均密度.6 定积分的近似计算1 已知，试把积分区间分成10等分，分别用梯形公式和抛物线公式计算的近似值，精确到小数点后三位.2 把积分区间10等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确到小数点后三位： (1) ； (2) .第八章 函数1 泰勒公式1 写出下列函数在的带佩亚诺余项的泰勒展开式：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；2 写出下列函数在的泰勒公式至所指的阶数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；3 求下列函数在的泰勒展开式：(1) ；(2) ；(3) ；4 确定常数，使时，(1) 为的5阶无穷小；(2) 为的3阶无穷小；5 利用泰勒公式求极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；6 设在原点的邻域二次可导，且(1) ；(2) ；7 设在实轴上任意次可导，令，求证：. 8 设为一n次多项式，(1) 皆为正数，证明在上无根；(2) 正负号相间，证明在上无根；9 求证：(1) ；(2) e是无理数；10 设在上有二阶导数，且，则存在，使 11 设在a点附近二次可导，且，由微分中值定理：求证： 12 证明：若函数在区间上恒有，则在内任意两点，都有.2 微积分在几何与物理中的应用 1，求下列各曲线所围成的图形面积： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积： (1) 双纽线 (2) 三叶玫瑰线 (3) 蚌线 3求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积： (1) (2) 摆线及轴； (3) 圆的渐开线，及半直线，其中 4直线把椭圆的面积分成两部分A(小的一块)和B(的一块)，之值 5，求和所围的公共部分的面积 6，求下列旋转体的体积：(1) 椭圆绕轴； (2) (i)绕轴， (ii)绕轴； (3) 旋轮线 (i)绕轴， (ii)绕轴， (iii)绕直线 (4) 双曲线与直线所围的图形绕轴旋转， 7求由下列各曲面所围成的几何体的体积： (1)求截锥体的体积，其上，下底皆为椭圆，椭圆的轴长分别等于A，B和 a，b，而高为h； (2)正圆台：其上下底分别是半径为a、b的圆，而其间的距离为h 8已知球半径为R，试求高为h的球冠体积(hR) 9-求下列曲线的弧长： (1) (2) (3) (4) 星形线 (5) 圆的渐开线 (6) (7) 心脏线 10求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径： (1) 在点(2，2)； (2) 在点(1，0) 11求下列曲线的曲率与曲率半径： (1) 抛物线 (2) 双曲线 (3) 星形线 12求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径： (1) 旋轮线 (2) 椭圆 (3) 圆的渐开线 13求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径： (1) 心脏线 (2) 双纽线 (3) 对数螺线 14设曲线是用极坐标方程给出，且二阶可导，证明它在点处曲率为 15证明抛物线在顶点处的曲率半径为最小 16求曲线的最小曲率半径 17求曲线上曲率最大的点 18求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积： (1) 绕轴； (2) 绕直线 (3) 绕轴； (4) 绕轴； (5) 绕极轴 19求下列曲线段的质心： (1) 半径为，弧长为专的均匀圆弧； (2) 对数螺线上由点到点的均匀弧段； (3) 以A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)为顶点的矩形周界，曲线上任一点的密度等于该点到原点距离的2倍； (4) ，密度为常数 20，已知一抛物线段，曲线段上任一点处的密度与该点到轴的距离成正比，处密度为5，求此曲线段的质量 21轴长10m，密度分布为，其中为距轴的一个端点的距离，求轴的质量 22求半球的质心 23。求锥体的质心和绕轴的转动惯量 24求抛物体的质心和绕轴的转动惯量3 微积分方程初步1求下列微分方程的通解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2，求已给微分方程满足初始条件的特解： (1) (2) (3) 3质量为1g的质点受力作用作直线运动，这力和时间成正比，和质点运动的速度成反比，在时，速度等于50cms，力为410-5N问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 4镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与镭所现存的量R成正比，由经验材料断定，镭经过1600年后，只余原始量R。的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系第九章 再论实数系1 实数连续性的等价描述 1求数列Jn的上、下确界： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2设在上定义，求证： (1) (2) 3设，且，试证自中可选取数列且互不相同，使；又若，则情形如何? 4试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界 5试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列； (2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列；(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限2 实数闭区间的紧致性 1利用有限覆盖定理92证明紧致性定理94 2利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限 3用区间套定理证明单调有界数列必有极限 4试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件去掉或将条件去掉，结果怎样?试举例说明 5若无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 (为有限数) 6有界数列若不收敛，则必存在两个子列 7求证：数列有界的充要条件是，的任何子数列都有收敛的子数列8设在上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：在上有界 9设在无界，求证：存在，对任给，函数在上无界 10设是上的凸函数，且有上界，求证：存在11设在上只有第一类间断点，定义求证：任意的点只有有限多个 12设在上连续且有界，对任意，在上只有有限个根或无根，求证：存在3 实数的完备性 1，设在连续，求证：在一致连续的充要条件是与都存在，2求证数列当时的极限不存在3利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性：(1) (2) (3) 4证明存在的充要条件是：对任意给定，存在，当时，恒有 5证明在点连续的充要条件是：任给，存在，当时，恒有 6证明下列极限不存在： (1) (2) (3) (4) (5) 7设在上可导，单调下降，且存在，求证 8设在可导，且，任给，令求证， (1) 存在； (2) 上述极限为的根，且是唯一的 9设在满足条件： (1) (2) 的值域包含在内则对任意，令，有 (1) 存在；(2)方程的解在上是唯一的，这个解就是上述极限值4 再论闭区间上连续函数的性质 1设在上连续，并且最大值点是唯一的，又设，使，求证 2设在上连续，可微，又设 (1) (2) 如果，则有，求证：的根只有有限多个 3设在连续，求证：存在，使，且4设是上的连续函数，其最大值和最小值分别为和，求证：必存在区间，满足条件： (1)或； (2) ，当 5在连续，且，求证：存在，使 6设在上连续，且取值为整数，求证：常数 7设在上一致连续，证明在上有界； 8若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数，使得证明：在上一致连续 9试用一致连续的定义证明：若函数在和上都一致连续，则在上也一致连续 10设在上连续，且与存在证明；在上一致连续11若在区间 (有穷或无穷)中具有有界的导数，即，则在中一致连续 12求证：在上一致连续 13设在上可导，且，求证：在上不一致连续14求证：在上不一致连续5 可积性 1判断下列函数在区间上的可积性：(1) 在上有界，不连续点为；(2) (3) (4) 2讨论三者间可积性的关系 3设都在上可积，证明：在上也是可积的4设在上可积，且，求证： (1) 在可积； (2) 在可积 5设在可积，求证：任给，存在逐段为常数的函数，使 6设在上有界，定义 求证 7设在附近有定义且有界，定义 求证：在连续的充分必要条件为 8若函数在可积，证明： 其中 (这一性质称为积分的连续性) 9对任意省仨成立，求证： 10设在有连续的导函数，求证： 11设在可积，求证；存在连续函数序列，使 12设在黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列使且； (2) 存在，使得在点连续； (3) 在上有无穷多个连续点第十章 数项级数1 级数问题的提出1.证明：若微分方程有多项式解则必有2试确定系数使满足勒让德方程2 数项级数的收敛性及其基本性质1求下列级数的和：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2讨论下列级数的敛散性：(1) (2) (3) (4) (5) 3证明定理10.2.4设级数各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数即，其中若收敛，证明原来的级数也收敛.3 正项级数1判别下列级数的收敛性：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) 2利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性：(1) (2) (3) (4) 3已知两正项级数和发散，问，两级数的收敛性如何？4若正项级数收敛，求证.5设求证:(1) 收敛;(2) 6讨论下列级数的收敛性:(1) (2) (3) (4) 7利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性:(1) (2) 8设且,求证.反之是否成立?9利用级数收敛的必要条件证明:(1) (2) 10设,且数列有界,证明级数收敛.11设正项级数收敛,证明也收敛.12设,求证:(1) 当时, 收敛;(2) 当时, 发散.问时会有什么结论?4 一般项级数1讨论下列级数的收敛性:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) ;(12) (13) (14) (15) (16) 2讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) 3利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性:(1) (2) 4求证:若级数收敛,则级数收敛.但反之不成立,请举出例子.5若级数收敛,且,问是否能断定也收敛?研究例子6证明:若级数及都收敛,且则级数也收敛,若级数与都发散,问级数的收敛性如何?7证明:若收敛,则当时,也收敛. 若发散,则当时, 也发散.8求证:若数列有极限,收敛,则也收敛.9求证:若绝对收敛,收敛,则收敛.10求证:若级数和都收敛,则级数也收敛.11设正项数列单调上升且有界,求证:收敛.12对数列,定义,求证: (1) 如果有界,收敛,且,则收敛,且有 (2) 如果与都收敛,则收敛.13设收敛,且,求证:收敛,并且14下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例:(1) 若,则收敛;(2) 若,则收敛;(3) 若收敛,则收敛;(4) 若收敛,则绝对收敛;(5) 若发散,则不趋于0;(6) 若收敛,，则收敛;(7) 若收敛, ，则收敛;(8) 若收敛,则收敛;(9) 若收敛,，则.15求下列极限(其中)(1)(2)5 无穷级数与代数运算1不用柯西准则,求证:如果,则也收敛.2设收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相同的和数.3求证:由级数重排所得的级数发散.4证明:若条件收敛,则可把级数重排,使新级数部分和数列有一子数列趋向于,有一子数列趋向.5已知,是欧拉常数,求证:(1) ; (2) 若把级数的各项重排,而使依次个正项的一组与依次个负项的一组相交替,则新级数的和为.6求证:级数的平方(柯西乘积)是收敛的.7令,求证.8证明:若级数的项加括号后所成的级数收敛,并且在同一个括号内项的符号相同,那么去掉括号后,此级数亦收敛;并由此考察级数的收敛性.第十一章 广义积分1 无穷限广义积分1求下列无穷积分的值:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2讨论下列积分的收敛性:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 3讨论下列无穷积分的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛):(1) (2) (3) (4) (5) 4设在任意有限区间可积,又和收敛,求证收敛.5证明定理11.2,并举例说明其逆是不成立的.6若在上单调下降,且积分收敛,求证:7设在上一致连续,并且积分收敛,证明.如果仅仅知道积分收敛,以及在连续,是否仍有?8设与收敛,求证:.9设单调下降趋于零,在连续.求证:收敛.10设和是定义在上的函数,且在任何有限区间上可积,证明:若与收敛,则与也收敛.11证明: (1) 设在连续,且,则 (2) 若上述条件改为存在,则 2 瑕积分1下列积分是否收敛?若收敛求其值.(1) (2) (3) (4) 2讨论下列积分的收敛性:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 3判别收敛性:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4讨论下列积分的收敛性与绝对收敛性:(1) (2) (3) (4) 5计算下列瑕积分的值:(1) (2) 6证明积分收敛,并求其值.7利用上题结果，证明:(1) (2) (3) (4) 8证明不等式:(1) (2) 第十二章 函数项级数1 函数序列的一致收敛概念1讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： , i) ii) i) ii) i) ii) i) ii) iii) i) ii) 2设在上有界，并且在上一致收敛，求证：在上一致有界.3设定义于，令 .求证：在上一致收敛于.4设在内有连续的导数，且求证：在闭区间上，一致收敛于.5设在上黎曼可积，定义函数序列 求证：在上一致收敛于零.6 参数取什么值时， 在闭区间收敛？在闭区间一致收敛？使可在积分号下取极限？7证明序列在闭区间上收敛，但8设在一致连续，且在一致收敛于. 求证：在上一致连续.9设是上的连续函数列，且在一致收敛于；又，满足，求证 10设在内一致收敛于，且 .证明：和存在且相等，即.11设在黎曼可积，且在一致收敛于，证明：在黎曼可积. 2 函数项级数的一致收敛性及其判别法1求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的）： 2按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： .3讨论下列函数项级数的一致收敛性： 4讨论下列函数项级数的一致收敛性： 5证明级数关于在上为一致收敛，但对任何并非绝对收敛；而级数虽在上绝对收敛，但并不一致收敛.6设每一项都是上的单调函数，如果在的端点为绝对收敛，那么这级数在上一致收敛.7若的一般项并且在上一致收敛，证明在上也一致收敛且绝对收敛.3 和函数的分析性质1 研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性： 2求证在内连续，并有连续导函数.3设求证： 在上连续； 在内无穷次可微.