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课 题 ： 3.1.2 用 二 分 法 求 方 程 的 近 似 解教 学 目 标 ： 1.了 解 二 分 法 是 求 方 程 近似 解 的 常 用 方 法 ；2.掌 握 用 二 分 法 求 函 数 零 点 近 似 值 的步 骤 ,通 过 二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 使学 生 体 会 方 程 与 函 数 之 间 的 关 系 ；3.培 养 学 生 动 手 操 作 的 能 力 。 复 习 旧 知复 习 提 问 ： 什 么 叫 函 数 的 零 点 ？ 零 点 的等 价 性 什 么 ？ 零 点 存 在 性 定 理 是 什 么 ？ 零 点 概 念 ： 对 于 函 数 y=f(x),我 们 把 使f(x)=0的 实 数 x叫 做 函 数 y=f(x)的 零 点 .方 程 f(x)有 实 数 根 函 数 y=f(x)的 图 象 与x轴 有 交 点 函 数 y=f(x)有 零 点如 果 函 数 y=f(x)在 区 间 a,b上 的 图 象 是 连 续不 断 一 条 曲 线 ， 并 且 有 f(a)f(b)0， 那 么 ，函 数 y=f(x)在 区 间 (a,b)内 有 零 点 .即 存 在c (a,b)， 使 得 f(c )=0， 这 个 c也 就 是 方 程f(x)=0的 根 . 一 元 二 次 方 程 可 以 用 公 式 求 根 ,但 是 没 有公 式 可 以 用 来 求 方 程 lnx+2x-6=0的 根 ,能否 利 用 函 数 的 有 关 知 识 来 求 它 的 根 呢 ？提 出 问 题 研 讨 新 知我 们 已 经 知 道 ,函 数 f(x)=lnx+2x-6在 区 间 (2,3)内 有 零 点 ； 进 一 步 的 问 题 是 ， 如 何 找 到 这 个零 点 呢 ？ 如 果 能 够 将 零 点 的 范 围 尽 量 缩 小 ,那 么 在 一 定 精 确 度 的 要 求 下 ,我 们可 以 得 到 零 点 的 近 似 值 . 我 来 说我 要 问我 要 说 研 讨 新 知 取 区 间 (2,3)的 中 点 2.5,用 计 算 器算 得 f(2.5)-0.084,因 为 f(2.5) f(3)0,所 以零 点 在 区 间 (2.5,3)内 ； 再 取 区 间 (2.5,3)的 中点 2.75,算 得 f(2.75)0.512,因 为f(2.5) f(2.75)0,所 以 零 点 在 (2.5,2.75)内 ;在 有 限 次 重 复 相 同 的 步 骤 后 ,在 一 定 的 精 度下 ,可 以 将 所 得 到 的 零 点 所 在 区 间 上 任 意 的一 点 (如 :端 点 )作 为 零 点 的 近 似 值 。做 一 做 例 根 据 下 表 计 算 函 数 在 区间 （ 2， 3） 内 精 确 到 0.01的 零 点 近 似 值 ？ 62xlnx)x(f 区 间 （ a， b） 中 点 值 m f(m)的 近 似 值 精 确 度 |a-b|（ 2， 3） 2.5 -0.084 1（ 2.5， 3） 2.75 0.512 0.5（ 2.5， 2.75） 2.625 0.215 0.25（ 2.5， 2.625） 2.562 5 0.066 0.125（ 2.5， 2.562 5） 2.531 25 -0.009 0.0625（ 2.531 25， 2.562 5） 2.546 875 0.029 0.03125（ 2.531 25， 2.546 875） 2.539 062 5 0.01 0.015625 （ 2.531 25， 2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001 0.007813解 :观 察 上 表 知 :0.0078130.01,所 以 x=2.535156252.54为 函 数f(x)=lnx+2x-6零 点 的 近 似 值 。 给 这 种 方 法 取 个 名 字 ? 定 义 ： 对 于 在 区 间 a,b上 连 续 不 断 、 且f(a)f(b)0的 函 数 y=f(x),通 过 不 断 把 函 数 f(x)的 零点 所 在 区 间 一 分 为 二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐 步 逼近 零 点 ,进 而 得 到 零 点 近 似 值 的 方 法 叫 二 分 法 。想 一 想 ： 你 能 归 纳 出 用 二 分 法 求 函 数 零 点 近 似 值的 步 骤 吗 ？1、 确 定 区 间 a,b， 验 证 f(a)f(b)0， 给 定 精 确 度 2、 求 区 间 (a,b)的 中 点 x13、 计 算 f(x1);(1) 若 f(x1)=0,则 x1就 是 函 数 的 零 点(2) 若 f(x 1)0,则 令 a= x1(此 时 零 点 x0 (x1,b)4、 判 断 是 否 达 到 精 确 度 ， 即 若 |a-b| ,则 得 到 零 点的 近 似 值 a(或 b)； 否 则 得 复 2 4 想 一 想 为 什 么 由 |a-b|便 可 判 断 零点 的 近 似 值 为 a或 b? 答 ： 设 函 数 零 点 为 x0,则 ax0b,则 :0 x0-ab-a,a-bx0-b0;由 于 |a-b|,所 以 |x0-a|b-a,|x0-b|a-b|,即 a或 b作 为 零 点 x0的 近 似值 都 达 到 了 给 定 的 精 确 度 。 x 0 1 2 3 4 5 6 7f(x)=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142巩 固 深 化例 2、 借 助 电 子 计 算 器 或 计 算 机 用 二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 （ 精 确 到 0.1）2 3 7x x 分 析 思 考 :原 方 程 的 近 似 解 和 哪 个 函 数 的 零 点 是等 价 的 ? 解 :原 方 程 即 , 令 ,用 计 算 器 或 计 算 机作 出 函 数 的 对 应 值 表 与 图象 （ 如 下 ): 2 3 7 0 x x ( ) 2 3 7xf x x ( ) 2 3 7xf x x 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -2 2 4 6 8 10 f x x+3 0 1 观 察 上 图 和 表 格 ,可 知 f(1)f(2)0,说 明 在 区间 (1,2)内 有 零 点 x0.取 区 间 (1,2)的 中 点x1=1.5,用 计 算 器 可 得 f(1.5)0.33.因 为f(1)f(1.5)0,所 以 x0 (1,1.5),再 取 (1,1.5)的中 点 x2=1.25,用 计 算 器 求 得f(1.25)-0.87,因 此 f(1.25)f(1.5)0,所 以x0 (1.25,1.5),同 理 可 得 x0 (1.375,1.5),x0 (1.375,1.4375),由 |1.375-1.4375|=0.06250.1,此 时 区 间(1.375,1.4375)的 两 个 端 点 ,精 确 到 0.1的 近似 值 都 是 1.4,所 以 原 方 程 精 确 到 0.1的 近 似解 为 1.4. 例 2.求 函 数 的 零 点 ,并 画 出 它 的 图 象 . 3 22 2y x x x 略 解 : 所 以 零 点 为 -1,1,2;3个 零 点 把 横 轴 分 成 4个区 间 ,然 后 列 表 描 点 画 出 它 的 图 象 .3 22 2 ( 2)( 1)( 1)y x x x x x x -1 0 1 2 xy2 例 3.已 知 函 数 的 图 象如 图 所 示 ,则 ( ). 3 2( )f x ax bx cx d 0 1 2A.b (-,0) B.b (0,1)C.b (1,2) D.b (2,+)略 解 :由 题 意 f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(-1)0.得 :d=0,a+b+c=0,8a+4b+2c=0,-a+b-c0.求得 b0.选 A. 用 二 分 法 求 解 方 程 的 近 似 解 ：1、 确 定 区 间 a,b， 验 证 f(a)*f(b)0， 给 定 精 确 度 2、 求 区 间 (a,b)的 中 点 x13、 计 算 f(x1);(1) 若 f(x1)=0,则 x1就 是 函 数 的 零 点(2) 若 f(x1)0,则 令 a= x1(此 时 零 点 x0 (x1,b)4、 判 断 是 否 达 到 精 确 度 ， 即 若 |a-b| ,则 得 到 零 点的 近 似 值 a(或 b)； 否 则 得 复 2 4
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