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2015年安徽省“江南十校”高三联考数 学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数（为虚数单位）的虚部为（ ）A B C D2、设集合，集合，则（ ）A B C D3、设命题，且；命题关于的函数（且）是指数函数，则命题是命题的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ）A BC D5、设等比数列的前项和为，且，则的值是（ ）A BC D6、若函数（且）的图象经过定点，且过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（ ）A或 B或 C或 D或7、已知点、，则向量在方向上的投影为（ ）A B C D8、已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为（ ）A B C D9、已知函数若函数在上恰有两个相异零点，则实数的取值范围为（ ）A B C D10、在正方体中，经过点垂直于平面的直线也垂直于平面；设为和的交点，则异面直线与所成的角是；若正方体的棱长为，则经过棱、中点的正方体的截面面积为；若点是正方形内（包括边界）的动点，点在对角线上，且满足，则点的轨迹是线段以上命题正确的个数为（ ）A B C D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、命题：“存在，使得”的否定是 12、 13、若实数，满足约束条件，则的取值范围为 14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：，则蚂蚁在爬行过程中经过的第个格点坐标为 15、若曲线上任意一点与直线上任意一点的距离都大于，则称曲线“远离”直线在下列曲线中，“远离”直线的曲线有 （写出所有符合条件的曲线的编号）曲线；曲线；曲线；曲线；曲线三、解答题（本大题共6小题，满分75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题满分12分）已知函数求函数的最小正周期；在中，角，的对边分别为，若，求的值17、（本小题满分12分）某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为，现已知成绩落在的有人求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；现要从成绩在和的学生中共选人参加某项座谈会，求人来自于同一分数段的概率18、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足（），且，证明：数列是等差数列；设，的前项和为，求证：19、（本小题满分13分）如图，圆柱的底面圆半径为，为经过圆柱轴的截面，点在上且，为上任意一点求证：；若直线与面所成的角为，求圆柱的体积20、（本小题满分13分）已知函数，其中当时，求曲线在处的切线方程；讨论在其定义域上的单调性21、（本小题满分13分）已知椭圆（）经过点，它的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，的周长为求椭圆的方程；若点是直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，、分别为切点，求证：直线过定点，并求出此定点坐标（注：经过椭圆（）上一点的椭圆的切线方程为）参考答案1.，故选2.，故选3.命题；命题，故选4.由程序框图可知，最后输出的，故选5.由等比数列性质可知也成等比，易求出, 故选6.,设，圆C：，圆心到的距离 ，故选7.在方向上的投影为,故选8. = ，由题意得图象关于直线对称， ，故选9 ，当时，故把图象在上的部分向左平移1个单位得到在上的图象，再把在上的图象每次向左平移1个单位连续平移就得到在上的图象，再作出的图象，由图象可得，故选10.易证面选，正确；，就是异面直线与所成的角，面，又，正确；设棱的中点分别为，则过点的正方形截面就是正六边形，正确；连结，易证，又，为上定点，又，点在线段的中垂面上，点在的中垂面与正方形的交线上，正确；故选11.对任意，都有12. 原式13. 可看作点与点连线斜率的2倍，画出可行域，由得,由得, 的取值范围为14.以为中心，边长为2的正方形上共有格点个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为以为中心，边长为4的正方形上共有格点个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为以为中心，边长为6的正方形上共有格点个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为，由前个正方形上格点的总数得当时，前个正方形上格点的总数，且蚂蚁在第9个正方形（边长为）上爬过的最后一个格点为，故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点坐标为15. 对：，不合题意；对：设直线与曲线相切，把代入得，由，得，此时直线与的距离，符合题意；对：圆心到直线的距离，圆上的点到距离的最小值为，符合题意；对：设曲线上斜率为2的切线的切点为，切线：，即：，切线与的距离，而，不合题意；对：设切点为，符合题意。16.解：（I） = = 3分 5分 （II）,又 7分9分又， 12分17.解：（I）该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数为 （人） 3分（II）平均分 （分） 7分() 成绩在中共有（人），记为 8分成绩在中共有（人），记为1，2，3，4，5总的基本事件有共28个，其中2人来自同一分数段的基本事件有共13个 11分故概率 12分18.（）且 3分 是首项为，公差为的等差数列 5分 （）由（）得 7分 9分 12分ABPCDOQ第19 题图图19.证明：（I）连接，为的直径，1分 又， 2分 又 4分O1E 又， 5分（II）过点作，为垂足，连结， 6分就是直线与所成的角， 8分又， 又 11分 13分20.（）当时，又 切线方程为即（）的定义域为， 当时， 在上单调递减 当时，设（）当即时，在上单调递增 （）当即时， 由得当和时， 当时，单调递增区间为和，单调递减区间为 综上，当时，单调递减区间为；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，单调递增区间为 13分21. （）由题意得： 又椭圆C过点， 椭圆C的方程为 （） 设 则直线 直线 又在上述两切线上，直线 即：由得 直线过定点，且定点坐标为 - 16 -
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