第4章计算机控制系统离散化设计 (共97页)

第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 的 离 散 化 设 计 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 主 要 内 容1、 最 少 拍 计 算 机 控 制 系 统 的 设 计 原 则 ；2、 有 纹 波 和 无 纹 波 最 少 拍 计 算 机 控 制 系 统 的 设 计 ；3、 在 扰 动 作 用 下 计 算 机 控 制 系 统 的 设 计 ；4、 复 合 控 制 系 统 设 计 ；5、 数 字 控 制 器 的 计 算 机 程 序 实 现 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 离 散 化 设 计 法 则 ： 首 先 将 系 统 中 被 控 对 象 加 上 保 持器 一 起 构 成 的 广 义 对 象 离 散 化 ， 得 到 相 应 的 以 Z传 递 函 数 ，差 分 方 程 或 离 散 系 统 状 态 方 程 表 示 的 离 散 系 统 模 型 。 然后 利 用 离 散 控 制 系 统 理 论 ， 直 接 设 计 数 字 控 制 器 。 由 于离 散 化 设 计 法 直 接 在 离 散 系 统 的 范 畴 内 进 行 ， 避 免 了 由模 拟 控 制 系 统 向 数 字 控 制 器 转 化 的 过 程 ， 也 绕 过 了 采 样周 期 对 系 统 动 态 性 能 产 生 严 重 影 响 的 问 题 。 是 目 前 采 用较 为 广 泛 的 计 算 机 控 制 系 统 设 计 方 法 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 4.1 最 少 拍 计 算 机 控 制 系 统 的 设 计 最 少 拍 设 计 ， 是 指 系 统 在 典 型 输 入 信 号 (如 阶 跃 信 号 ，速 度 信 号 ， 加 速 度 信 号 等 )作 用 下 ， 经 过 最 少 拍 （ 有 限 拍 ）使 系 统 输 出 的 稳 态 误 差 为 零 。 图 4.1所 示 是 最 少 拍 控 制 系统 结 构 图 。 U(z)u *(t)E(z)R(z) e*(t) y(t)Tr(t) e(t) 图 4.1 最 少 拍 系 统 结 构 图D(z) T ZOH G0(s) Y(z)G(z) 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 4.1.1 最 少 拍 系 统 设 计 的 基 本 原 则 最 少 拍 控 制 系 统 是 在 最 少 的 几 个 采 样 周 期 内 达 到 在采 样 时 刻 输 入 输 出 无 误 差 的 系 统 。 显 然 ， 这 种 系 统 对 闭环 Z传 递 函 数 W(z)的 性 能 要 求 是 快 速 性 和 准 确 性 。 对 系 统 提 出 性 能 指 标 要 求 是 ， 在 单 位 阶 跃 函 数 或 等速 函 数 、 等 加 速 度 函 数 等 典 型 输 入 信 号 作 用 下 ， 系 统 在采 样 点 上 无 稳 态 误 差 ， 并 且 调 整 时 间 为 最 少 拍 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 利 用 直 接 数 字 设 计 法 设 计 最 少 拍 控 制 系 统 ， 要 考 虑 以 下几 点 。(1)对 于 特 定 的 参 考 输 入 信 号 ， 到 达 稳 态 后 ， 系 统 在 采 样时 刻 精 确 实 现 对 输 入 的 跟 踪 。(2)系 统 以 最 快 速 度 达 到 稳 态 。(3)D(z)应 是 物 理 可 实 现 的 。(4)闭 环 系 统 应 是 稳 定 的 。1 假 设 条 件为 了 使 设 计 简 明 起 见 ， 提 出 如 下 三 个 假 设 条 件 。(1)G(z)在 单 位 圆 上 和 圆 外 无 极 点 ， （ 1， j 0） 点 除 外 ；(2)G(z)在 单 位 圆 上 和 圆 外 无 零 点 ；(3)G0(s)中 不 含 纯 滞 后 ， q是 T的 整 数 倍 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 2 希 望 Z传 递 函 数 为 了 选 择 适 当 的 数 字 控 制 器 D(z)， 可 以 先 将 性 能 指 标要 求 表 达 成 希 望 闭 环 Z传 递 函 数 W(z)或 者 闭 环 误 差 Z传 递函 数 We(z) 或 者 开 环 Z传 递 函 数 D(z)G(z)， 然 后 再 根 据 G(z)反 求 出 D(z)。 这 样 ， 求 得 的 D(z)只 要 满 足 物 理 可 实 现 的 条件 ， 那 么 D(z)就 是 所 要 求 的 数 字 控 制 器 。 闭 环 Z传 递 函 数 为 闭 环 误 差 Z传 递 函 数 为 其 中 ， G(z)是 已 知 的 ， D(z)是 待 求 的 ， 而 W(z)、 We(z)是 由 性 能 指 标 确 定 的 。 )()(1 )()()( zGzD zGzDzW )()(1 1)( zGzDzWe 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 为 了 确 定 W(z)或 We(z)， 讨 论 在 单 位 阶 跃 、 单 位 速 度 、单 位 加 速 度 三 种 典 型 输 入 信 号 作 用 下 无 稳 态 误 差 最 少 拍系 统 的 W(z)或 We(z)应 具 有 的 形 式 。 根 据 终 值 定 理 得 )()()1(lim )()1(lim)(* 11 11 zRzWz zEze eZZ 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 对 于 以 上 三 种 典 型 输 入 信 号 R(z)分 别 为 单 位 阶 跃 ：单 位 速 度 ：单 位 加 速 度 ：可 统 一 表 达 为 ：式 A(z)中 为 不 含 因 子 的 z -1的 多 项 式 。 11 1)( zzR 211 )1()( zTzzR 31 112 )1(2 )1()( z zzTzR mzzAzR )1( )()( 1)1( 1z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 对 于 单 位 阶 跃 ： m=1， 单 位 速 度 ： m=2， 单 位 加 速 度 ： m=3，则 有若 要 求 稳 态 误 差 为 零 的 条 件 是 We(z)应 具 有 如 下 形 式 则 其 中 F(z)是 待 定 的 不 含 因 子 (1-z -1)的 关 于 z-1的 有 理 分 式 或的 有 限 项 多 项 式 ， m是 R(z)的 分 母 (1- z-1)的 阶 数 。 1)( zA 1)( TzzA 2 )1()( 112 zzTZA meZ zzAzWze )1( )()()1(lim)(* 111 )()1()( 1 zFzzW me 11*( ) lim(1 ) ( ) ( ) 0Ze z A z F z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 为 使 稳 态 误 差 最 快 衰 减 到 零 ， 即 为 最 少 拍 系 统 ， 就应 使 We(z)最 简 单 ， 即 阶 数 n最 小 ， 即 完 全 可 以 想 象 若 取F(z)=1， 则 We(z)最 简 单 ， 则 得 到 无 稳 态 误 差 最 少 拍 系 统的 希 望 闭 环 误 差 Z传 递 函 数 就 应 为 希 望 闭 环 Z传 递 函 数 应 为 m e zzW )1()( 1 me zzWzW )1(1)(1)( 1 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 对 于 不 同 输 入 We(z)、 W(z)形 式 如 下 ：单 位 阶 跃 ： 单 位 速 度 ： 单 位 加 速 度 ：由 上 式 可 知 ， 使 误 差 衰 减 到 零 或 输 出 完 全 跟 踪 输 入 所 需的 调 整 时 间 ， 即 为 最 少 拍 数 对 应 于 m=1， 2， 3分 别 为 1拍 ，2拍 ， 3拍 。 3 D(z)的 确 定根 据 给 定 的 G(z)， 可 由 满 足 性 能 指 标 要 求 的 希 望 开 环 Z传递 函 数 直 接 求 解 出 对 应 于 m=1， 2， 3时 的 数 字 控 制 器 D(z)。1 11 , ( ) 1 , ( )em W z z W z z 1 2 1 22 , ( ) (1 ) , ( ) 2em W z z W z z z 1 3 1 2 33 , ( ) (1 ) , ( ) 3 3em W z z W z z z z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 由 于则 1 11 11, ( ) ( ) , ( )1 (1 ) ( )z zm D z G z D zz z G z 1 1 1 11 2 1 22 (1 0.5 ) 2 (1 0.5 )2, ( ) ( ) , ( )(1 ) (1 ) ( )z z z zm D zG z D zz z G z 1 1 2 1 1 21 3 1 3(3 3 ) (3 3 )3, ( ) ( ) , ( )(1 ) (1 ) ( )z z z z z zm D z G z D zz z G z )(1 )()( )(1)()( zWzWzW zWzGzD e e 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 4 最 少 拍 系 统 分 析(1)单 位 阶 跃 输 入 时也 就 是 说 ， 系 统 经 过 1拍 ， 输 出 就 可 以 无 差 地 跟 踪 上 输 入的 变 化 ， 即 此 时 系 统 的 调 节 时 间 t s=T， T为 系 统 采 样 时 间 。误 差 及 输 出 系 列 如 图 4.2所 示 。 1 1 2 31 1 1( ) ( ) ( ) 1(0) 0, (1) (2) (3) 11( ) ( ) ( ) (1 ) 11(0) 1, (1) 2 (3) 0e zY z W z R z z z zzy y y yE z W z R z z ze e e e 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 0 T 2T1e(kT) kT 0 T 2T 3T 4T 5T1y(kT) kT图 4.2 单 位 阶 跃 输 入 时 的 误 差 及 输 出 序 列 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 (2)单 位 速 度 输 入 时也 就 是 说 ， 系 统 经 过 2拍 ， 输 出 就 可 以 无 差 地 跟 踪 上 输 入的 变 化 ， 即 此 时 系 统 的 调 节 时 间 t s=2T， T为 系 统 采 样 时间 。误 差 及 输 出 系 列 如 图 4.3所 示 。 11 2 2 3 41 211 2 11 2( ) ( ) ( ) (2 ) 2 3 4(1 )(0) 0, (1) 0, (2) 2, (3) 3,( ) ( ) ( ) (1 ) (1 )(0) 0, (1) , (2) (3) 0e TzY z W z R z z z Tz Tz Tzzy y y y TzE z W z R z z Tzze e T e 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 0 T 2T 3TTe(kT) kT 0 T 2T 3T 4T4T3T2TTy(kT) kT图 4.3 单 位 速 度 输 入 时 的 误 差 及 输 出 序 列 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 (3)单 位 加 速 度 输 入 时也 就 是 说 ， 系 统 经 过 3拍 ， 输 出 就 可 以 无 差 地 跟 踪 上 输 入的 变 化 ， 即 此 时 系 统 的 调 节 时 间 t s=3T， T为 系 统 采 样 时间 。误 差 及 输 出 系 列 如 图 4.4所 示 。 2 1 11 2 3 1 32 3 42 2 22 1 11 3 2 1 2 21 3 2 (1 )( ) ( ) ( ) (3 3 ) 2(1 )1.5 4.5 8(0) 0, (1) 0, (2) 1.5 , (3) 4.5 , (4) 8 ,(1 ) 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) 2(1 ) 2 21(0) 0, (1) ,2e T z zY z W z R z z z z zTz Tz Tzy y y T y T y TT z zE z W z R z z T z T zze e T 21(2) , (3) (4) 02e T e e 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 0 T 2T 3Te(kT) kT 0 T 2T 3T 4T8 T26 T24 T22T 2y(kT) kT图 4.4 单 位 加 速 度 输 入 时 的 误 差 及 输 出 序 列22T 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 由 上 面 讨 论 可 以 看 出 ， 最 少 拍 控 制 器 设 计 时 ， We(z)或 W(z)的 选 取 与 典 型 输 入 信 号 的 形 式 密 切 相 关 ， 即 对 于 不 同 的 输入 R(z)， 要 求 使 用 不 同 的 闭 环 Z传 递 函 数 。 所 以 这 样 设 计 出的 控 制 器 对 各 种 典 型 输 入 信 号 的 适 应 能 力 较 差 。 若 运 行 时的 输 入 信 号 与 设 计 时 的 输 入 信 号 形 式 不 一 致 ， 将 得 不 到 期望 的 最 佳 性 能 。例 4.1 对 于 图 4.1所 示 的 系 统 ， 设 T=1s， 输入 为 单 位 速 度 函 数 ， 要 求 系 统 为 无 稳 态 误 差 和 过 渡 过 程 时间 为 最 少 拍 ， 试 确 定 数 字 控 制 器 D(z)。解 ： )1(10)( 0 sssG )368.01)(1( )718.01(68.3)1( )1(10)( 11 112 zz zzss ezG Ts 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 为 满 足 等 速 度 输 入 时 无 稳 态 误 差 最 少 拍 要 求 ， 则 应 选则 得 到验 证 所 求 D(z)能 否 满 足 性 能 指 标 要 求 21)1()( zzWe )718.01)(1( )368.01)(5.01(543.0)()( )(1)( 11 11 zz zzzGzW zWzD e e 11 2 2 3 4 51 211 2 1 1 2( ) ( ) ( ) (2 ) 2 3 4 5(1 )( ) ( ) ( ) (1 ) (1 )e zY z W z R z z z z z z zzzE z W z R z z zz 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 输 出 和 误 差 变 化 的 动 态 过 程 如 图 4.3所 示 。 从 图 中 可 以 看出 ， 系 统 在 单 位 等 速 度 信 号 输 入 作 用 下 ， 系 统 经 过 了 两个 采 样 周 期 以 后 ， 系 统 在 采 样 点 上 的 过 渡 过 程 结 束 （ 调整 时 间 为 2拍 ） ， 且 在 采 样 点 上 ， 系 统 的 输 出 完 全 跟 踪 输入 ， 稳 态 误 差 为 零 。 因 此 ， 所 求 得 数 字 控 制 D(z)完 全 满 足设 计 指 标 要 求 。上 例 是 针 对 等 速 度 信 号 输 入 下 设 计 的 无 稳 态 最 少 拍 系 统的 数 字 控 制 器 D(z)， 那 么 所 设 计 的 系 统 在 单 位 阶 跃 或 在 单位 加 速 度 输 入 作 用 时 ， 系 统 的 输 出 情 形 如 何 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 对 于 单 位 阶 跃 信 号 输 入 ， 则由 此 可 知 ， 也 是 经 过 2拍 后 过 渡 过 程 结 束 ， 但 在 第 一 个 采样 时 刻 时 ， 有 100%的 超 调 量 。 其 输 出 变 化 的 动 态 过 程 如图 4.6(a)所 示 。 4321121 21 1)2()()()( zzzzzzzzRzWzY 1121 11 1)1()()()( zzzzRzWzE e 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 对 于 单 位 加 速 度 信 号 输 入 ， 则由 此 可 知 ， 过 渡 过 程 仍 为 2拍 ， 但 有 恒 定 的 稳 态 误 差 。 其输 出 变 化 的 动 态 过 程 如 图 4.6(b)所 示 。1 11 2 2 3 4 51 31 11 2 1 2 3 41 31 1 11 1 (1 )( ) ( ) ( ) (2 ) 3.5 7 11.52(1 )(1 )( ) ( ) ( ) (1 ) 0.52(1 )(1 )*( ) lim(1 ) ( ) lim 12eZ Z z zY z W z R Z z z z z z zzz zE z W z R z z z z z zzz ze z E z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 (a) 单 位 阶 跃 信 号 的 输 出 序 列 (b) 单 位 加 速 度 信 号 的 输 出 序 列0 T 2T 3Ty(kT) kT 0 T 2T 3T 4T8 6 4 2y(kT) kT图 4.6其 他 输 入 设 计 时 的 输 出 序 列2 1 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 4.1.3 任 意 广 义 对 象 的 最 少 拍 控 制 器 设 计当 三 个 假 设 条 件 不 满 足 时 ， 如 何 进 行 设 计 。如 图 4.1所 示 的 系 统 得 到 当 G(z)中 含 有 Z平 面 单 位 圆 外 或 圆 上 的 极 点 时 ， 并 且 该 极点 没 有 与 D(z)或 We(z)的 零 点 完 全 对 消 的 时 ， 则 它 将 成 为W(z)的 极 点 ， 从 而 造 成 整 个 闭 环 系 统 不 稳 定 。 )()()()()(1 )()()( zWzGzDzGzD zGzDzW e 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 又得 到 当 G(z)中 含 有 Z平 面 单 位 圆 外 或 圆 上 的 零 点 时 ， 并 且该 零 点 没 有 与 D(z)或 We(z)的 极 点 完 全 对 消 的 时 ， 则 它 将成 为 不 稳 定 的 极 点 ， 从 而 使 数 字 控 制 器 的 输 出 趋 向 于 无穷 大 ， 造 成 整 个 闭 环 系 统 不 稳 定 。 )()()()()( zUzGzRzWzY )()( )()( zRzG zWzU 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 为 保 证 闭 环 系 统 稳 定 ， 当 G(z)中 含 有 Z平 面 单 位 圆 外或 圆 上 的 零 、 极 点 时 ， 它 应 被 D(z) 或 We(z)的 极 、 零 点 相抵 消 。 而 用 D(z)的 零 点 或 极 点 抵 消 G(z)的 极 点 或 零 点 是 不允 许 的 ， 这 是 因 为 ， 简 单 地 利 用 D(z)的 零 点 或 极 点 去 对 消G(z)中 的 不 稳 定 零 点 或 极 点 ， 从 理 论 上 来 说 可 以 得 到 一 个稳 定 的 闭 环 系 统 ， 但 这 种 稳 定 是 建 立 在 零 极 点 完 全 对 消基 础 上 的 。 当 系 统 参 数 产 生 漂 移 ， 或 者 对 象 参 数 辨 识 有误 差 时 ， 这 种 零 极 点 对 消 就 不 可 能 准 确 实 现 ， 从 而 引 起闭 环 系 统 不 稳 定 。 所 以 建 立 在 零 极 点 对 消 基 础 上 的 稳 定系 统 实 际 上 是 不 可 能 稳 定 工 作 的 ， 没 有 实 用 价 值 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 设 最 少 拍 系 统 广 义 Z传 递 函 数 为 其 中 ， b1， b2， ， bu是 G(z)的 u个 不 稳 定 零 点 ， a1，a 2， ， av是 G(z)的 v个 不 稳 定 极 点 ， 是 G(z)中 不 包 含 Z平面 单 位 圆 外 或 圆 上 的 极 、 零 点 时 的 部 分 ， z-N为 G(z)中 含有 的 纯 滞 后 环 节 。 )()1( )1()()( 1 11 1110 110 zGzazbzzqzqq zpzppzzG vj jui iNnn mmN 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 为 避 免 发 生 D(z)与 G(z)的 不 稳 定 零 极 点 对 消 ， 应 满 足 如 下稳 定 性 条 件 ： 1 We(z)的 零 点 应 包 含 G(z)中 全 部 不 稳 定 的 极 点 。其 中 ， F1(z) 是 关 于 z-1的 多 项 式 且 不 包 含 G(z)中 的 不 稳 定极 点 a j（ 除 （ 1， j0） 外 ） 。 vj je zFzazW 1 11 )()1()( 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 2 G(z)在 单 位 圆 上 或 圆 的 零 点 应 全 部 包 含 在 希 望 闭 环 Z传递 函 数 W(z)的 零 点 中 。其 中 ， 是 关 于 z-1的 多 项 式 且 不 包 含 G(z)中 的 不 稳 定 零点 bi。 ui i zFzbzW 1 21 )()1()()( 2 zF 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 3 如 果 G(z)中 含 有 纯 滞 后 的 环 节 即 z-N（ N为 整 数 ） ， 则G(z)分 子 中 的 z-1因 子 应 全 部 包 含 在 W(z)分 子 中 ， 这 会 使系 统 过 渡 过 程 时 间 延 长 。其 中 ， F2(z)是 关 于 z-1的 多 项 式 且 不 包 含 G(z)中 的 纯 滞 后的 环 节 和 不 稳 定 零 点 b i。 因 此 ， 满 足 了 上 述 稳 定 性 条 件 后 的 D(z)不 再 包 含 G(z)的 Z平 面 单 位 圆 上 或 单 位 圆 外 零 极 点 和 纯 滞 后 的 环 节 。 ui iN zFzbzzW 1 21 )()1()( )()( )()()( )()( 1 2 zGzF zFzGzW zWzD e 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 综 上 分 析 ， 为 了 设 计 出 响 应 时 间 尽 可 能 短 的 计 算 机 控 制 系 统 ，在 选 择 希 望 闭 环 Z传 递 函 数 W(z)或 We(z)时 ， 应 满 足 如 下 限 制条 件 ：(1)We(z)的 零 点 中 应 含 G(z)的 全 部 不 稳 定 极 点 （ 除 （ 1， j0）外 ） 。(2)W(z)=1-We(z)的 零 点 中 应 含 G(z)的 全 部 单 位 圆 上 和 圆 外 的零 点 。(3) W(z)=1-We(z)与 G(z)的 z -1因 子 个 数 相 同 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 由 最 少 拍 系 统 的 设 计 原 则 可 知 ， 要 满 足 上 述 限 制 条 件 ，We(z)=(1-z-1)mF(z)中 的 F(z)不 能 简 单 地 使 F(z)=1， 而 应 选F(z)的 零 点 中 含 G(z)的 全 部 不 稳 定 极 点 ， 并 使 We(z)为 最 简单 形 式 ， 使 E(z)含 因 子 的 多 项 式 的 项 数 最 少 ， 使 误 差 以 最快 速 度 衰 减 到 零 。综 上 所 述 ， 得 到 满 足 上 述 限 制 条 件 的 闭 环 Z传 递 函 数 W(z)和 闭 环 误 差 Z传 递 函 数 We(z)的 一 般 形 式 为其 中 k为 常 系 数 。 ui iN zFzbzzW 1 21 )()1()( )1()( )1(1112 vmvm zczckzF 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 其 中 例 4.3 对 于 图 4.1所 示 的 系 统 ， 设 ： T=1s 试 求 数 字 控 制 器 D(z)使 系 统 在 单 位 阶 跃 输 入 作 用 下 ， 无 稳态 误 差 最 少 拍 。 解 ： vj jme zFzazzW 1 111 )()1()1()( )1(1111 1)( uNuN zdzdzF )105.0)(11.0( 10)( 0 ssssG 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 解 ：G(z)中 含 有 一 个 单 位 圆 外 的 零 点 -1.14、 一 个 z-1因 子 ， 没有 不 稳 定 的 极 点 。 m=1， u=1， v=0， N=1。根 据 上 述 条 件 ， 得1 10( ) (0.1 1)(0.05 1)TseG z s s s s )0183.01)(135.01)(1( )14.11)(045.01(76.0 111 111 zzz zzz 1 1 1 11( ) (1 1.14 )( ) (1 )(1 )eW z kz zW z z dz 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 1 2 1 21 1 1 ( ) 1 ( )(1 ) 1.140.470.53 eW z W zd z dz kz kzkd 由得 1 11 11 11 1( ) (1 )(1 0.53 )( ) 1 ( ) 0.47 (1 1.14 )1 ( ) 0.62(1 0.135 )(1 0.0183 )( ) ( ) ( ) (1 0.045 )(1 0.53 )e eeeW z z zW z W z z zW z z zD z G zW z z z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 得调 整 时 间 2拍 ， 无 超 调 。如 果 输 入 为 单 位 速 度 函 数 ， 则 1 111 2 3 40.47 (1 )( ) ( ) ( ) 10.47 z zY z W z R z zz z z z 1 1 111 2 111 2 3 1 2 31 1 1 1 1( ) (1 1.14 )(1 )( ) (1 ) (1 )( ) 1 ( )(1.14 ) 1.14 (2 ) (2 1)e e W z kz z czW z z dzW z W z kz k c z kcz = d z d z dz 又 1 1 0.6050.81651.184 cdk 得 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 1 2 11 1 1 1 1 11 1 1 ( ) (1 ) (1 0.8165 )( ) 1.184 (1 1.14 )(1 0.605 )1 ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1 ( )1.558(1 0.605 )(1 0.135 )(1 0.0183 )(1 0.045 )(1 0.8165 )(1 )e eeW z z zW z z z zW zD z G zW zW z G z W z z z z z z z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 4.2 无 波 纹 最 少 拍 计 算 机 控 制 系 统 设 计 按 最 少 拍 控 制 系 统 设 计 出 来 的 闭 环 系 统 ， 在 有 限 拍 后 即进 入 稳 态 。 这 时 闭 环 系 统 输 出 在 采 样 时 刻 精 确 地 跟 踪 输入 信 号 。然 而 ， 进 一 步 研 究 可 以 发 现 虽 然 在 采 样 时 刻 闭 环 系 统 输出 与 所 跟 踪 的 参 考 输 入 一 致 ， 但 是 在 两 个 采 样 时 刻 之 间 ，系 统 的 输 出 存 在 着 纹 波 或 振 荡 。 这 种 纹 波 不 但 影 响 系 统的 控 制 性 能 ， 产 生 过 大 的 超 调 和 持 续 振 荡 ， 而 且 还 增 加了 系 统 功 率 损 耗 和 机 械 磨 损 。 下 面 通 过 实 例 说 明 最 少 拍 系 统 波 纹 的 存 在 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 例 4.4 对 于 图 4.7所 示 的 系 统 ， 设 T=1s， 输 入 为 单 位 阶 跃 信 号 ， 试 确 定 最 少 拍 系 统 的 数 字控 制 器 D(z)， 并 分 析 系 统 输 出 响 应 。 )1(10)(0 sssG U(z)u *(t)E(z)R(z) e*(t) y(t)Tr(t) e(t) 图 4.7 例 4.4最 少 拍 系 统 框 图D(z) T ZOH G0(s) Y(z)G(z) 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 解 ：利 用 广 义 Z变 换 。 可 求 出 系 统 的 输 出 响 应 。 1 11 11 10 3.68 (1 0.718 )( ) ( 1) (1 )(1 0.368 )Tse z zG Z s s s z z Z 1 1 11( ) , ( ) 1( ) 0.272(1 0.368 )( ) ( ) ( ) 1 0.718eeW z z W z zW z zD z W z G z z 2 1 11 1 2 1 1 1( 1)( , ) 10(1 ) (1 ) 1 1z z e zG z z z z e z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 设 =0.5， 则 其 输 出 响 应 如 图 4.8所 示 ， 可 以 看 出 系 统 输 出 存 在 波 纹 。 2 1 111 1 1 1 21 21 2 3 4 5 610 6.065 (1 )( , ) 51 1 0.368( ) ( , )( , ) 1 ( ) ( ) 0.289 (1 4.42 0.512 )( , ) ( , ) ( ) 1 0.282 0.7180.289 1.359 0.738 1.184 0.864 1.093z z zG z zz zD z G zW z D z G z z z zY z W z R z z zz z z z z z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 进 一 步 分 析 可 知 ， 产 生 波 纹 的 原 因 是 数 字 控 制 器 D(z)输出 序 列 u *(t)在 系 统 输 出 y*(t)过 渡 过 程 结 束 后 ， 还 在 围 绕 其平 均 值 不 停 地 波 动 。 图 4.8 最 少 拍 系 统 输 出 响 应 t0 1 2 3 4 5 6 1 y(t) 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 其 输 出 如 图 4.9所 示 。 54321 1 1 078.0109.0152.0212.0295.0272.0 718.01 )368.01(272.0)()()()()()( zzzzz z zzRzWzDzEzDzU e 图 4.9 数 字 控 制 器 输 出 序 列 tu*(t)0 1 2 3 4 5 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 下 面 进 一 步 从 数 学 关 系 上 分 析 产 生 波 纹 的 原 因 和 消 除 波纹 的 方 法 。由 图 4.1可 得 到 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )Y z W z R zY z G zU zU z W zR z G z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) eeeU z D z E z D z W z R zU z D z W zR z W zD z W z G z 又 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 从 对 前 面 最 少 拍 系 统 的 分 析 可 知 ， 若 要 求 系 统 的 输 出 y*(t)在 有 限 拍 内 结 束 过 渡 过 程 ， 就 要 求 选 择 的 希 望 闭 环 Z传 递函 数 W(z)为 关 于 z-1的 有 限 多 项 式 。 如 果 要 求 u*(t)在 有 限 拍 内 结 束 过 渡 过 程 ， 就 要 求 为 关 于 z-1的 有 限 多 项 式 。 产 生 波 纹 的 原 因 是 因 为 不 是 关于 z -1的 有 限 多 项 式 ， 这 样 使 u*(t)的 过 渡 过 程 不 结 束 ， 从而 使 输 出 y*(t)产 生 波 动 。 要 想 消 除 波 纹 ， 就 要 求 u*(t)和 y*(t)同 时 结 束 过 渡 过 程 ，否 则 ， 就 会 产 生 波 动 现 象 ， 要 求 D(z)We(z)为 z-1的 有 限 多项 式 ， 即 W(z)能 G(z)被 整 除 即 可 。 )()()( )( zWzDzR zU e )()()( )( ZwZDZR ZU e 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 设 最 少 拍 系 统 广 义 Z传 递 函 数 为 其 中 ， b1， b2， ， bu是 G(z)的 u个 零 点 ， a1， a2， ， av是 G(z)的 v个 不 稳 定 极 点 ， f 1， f2， ， fw是 G(z)的 w个 稳 定极 点 ， k1为 常 系 数 ， 为 G(z)中 含 有 的 纯 滞 后 环 节 。 vj wp pjui iN zfza zbkzzG 1 1 111 11 )1()1( )1()( 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 则 可 得 其 中 k为 常 系 数 。 其 中由 此 得 到 数 字 控 制 器 ui iN zFzbzzW 1 21 )()1()( )1()( )1(1112 vmvm zczckzF vj jme zFzazzW 1 111 )()1()1()( )1(1111 1)( uNuN zdzdzF )()( )()( zGzW zWzD e 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 例 4.5 对 于 图 4.7所 示 的 系 统 ， 设 ， T=1s，试 按 输 入 为 单 位 阶 跃 信 号 ， 确 定 无 波 纹 最 少 拍 系 统 的 数字 控 制 器 D(z)。 解 ： )1(10)(0 sssG 1 1 1 11 11 111 10 3.68 (1 0.718 )( ) ( 1) (1 )(1 0.368 )( ) (1 0.718 )( ) (1 )(1 )Tse e z zG Z s s s z zW z kz zW z z dz Z1 1 1 21 1 1 ( ) 1 ( )(1 0.718 ) (1 )0.5820.418 e W z W z kz z d z dzkd 由 得 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 数 字 控 制 器 的 输 出 为 ：系 统 在 采 样 点 的 输 出 为 ： 可 见 D(z)We(z)为 关 于 的 有 限 多 项 式 ， 并 且 u *(t)经 过 2拍 后 过 渡 过 程 结 束 。 同 时 ， 经 过 两 拍 后 y*(t)的 过 渡 过 程 也结 束 了 ， 也 就 是 u*(t)与 y*(t)同 时 结 束 过 渡 过 程 。 1 11 1( ) 0.582 (1 0.718 )( ) (1 )(1 0.418 )eW z z zW z z z 111 2( ) 0.1582(1 0.368 )( ) ( ) ( ) 1 0.418( ) ( ) 0.1582(1 1.368 0.368 )ee W z zD z G zW z zD zW z z z 1058.01582.0)()()()( zzRzWzDzU e 1 2 3( ) ( ) ( ) 0.582Y z W z R z z z z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 利 用 广 义 Z变 换 。 可 求 出 系 统 的 输 出 响 应 。 由 此 可 见 ， 此 时 系 统 经 过 2拍 以 后 就 消 除 了 波 纹 ， 如 图4.10所 示 。 2 1 11 1 2 1 1 1 1 1 211 ( 1)( , ) 10(1 ) (1 ) 1 1( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )1.582 1 (2.368 1.368 2 ) (0.368 0.736 ) 11.582( 1 ) 1.582(1.368 0.368 )e z z e zGz z z z e zYz W zDzGz Rzz e e z e zze z e z 2 3 4z z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 如 果 所 求 得 的 系 统 在 单 位 速 度 信 号 输 入 下 ， 则 输 出的 广 义 Z变 换 为 其 输 出 响 应 如 图 4.11所 示 ， 可 以 看 出 ， 系 统 经 过 2拍 后 过渡 过 程 结 束 ， 但 始 终 存 在 稳 态 误 差 1.418。 5432 )582.2()582.1()582.0()1(582.1 )(),()()(),( zzzze zRzGzDzWzY e y(t) y(t) 图 4.10 输 入 为 单 位 阶 跃 时 的 输 出 响 应t0 1 2 3 4 1 图 4.11输 入 为 单 位 速 度 时 的 输 出 响 应t0 1 2 3 4 1 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 在 上 例 中 ， 如 果 按 输 入 为 单 位 速 度 信 号 ， 来 确 定 无波 纹 最 少 拍 系 统 的 数 字 控 制 器 D(z)， 则 有 ： 1 1 111 2 11 11 1 11 1( ) (1 0.718 )(1 )( ) (1 ) (1 )( ) 1 ( )1.4070.3750.593( ) 0.383(1 0.368 )(1 0.586 )( ) ( ) ( ) (1 )(1 0.593 )e eeW z kz z czW z z dz W z W zk cd W z z z D z G zW z z z 由得 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 输 出 的 广 义 Z变 换 为 由 此 可 知 ， 此 系 统 在 单 位 速 度 信 号 作 用 下 ， 过 渡 过程 为 3拍 ， 并 且 无 波 纹 ， 其 输 出 响 应 如 图 4.12所 示 。 如 果 所 求 得 的 系 统 在 单 位 阶 跃 信 号 输 入 下 ， 则 输 出的 广 义 Z变 换 为 其 输 出 响 应 如 图 4.13所 示 ， 可 以 看 出 ， 系 统 经 过 3拍 后 过 渡 过 程 结 束 ， 但 有 100%的 超 调 量 ， 并 且 无 波 纹 。 54 32)4()3( )24.2175.065.3()1(83.3),( zz zezezY 543 21 )24.265.0825.0( )07.665.348.7()1(83.3 )(),()()(),( zzze zeze zRzGzDzWzY e 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 图 4.12输 入 为 单 位 速 度 时 的 输 出 响 应t0 1 2 3 4 1y(t) 图 4.13输 入 为 单 位 阶 跃 时 的 输 出 响 应t0 1 2 3 4 1y(t)2 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 4.4 在 扰 动 作 用 下 计 算 机 控 制 系 统 的 设 计 实 际 的 控 制 系 统 中 ， 除 了 有 参 考 输 入 之 外 ， 常 常 还有 扰 动 作 用 。 干 扰 几 乎 在 任 何 处 即 可 进 入 系 统 ， 为 了 便于 讨 论 ， 可 将 干 扰 归 并 在 零 阶 保 持 器 和 被 控 制 对 象 之 间 ，如 图 4.15所 示 。 现 在 产 生 的 问 题 是 ， 针 对 参 考 输 入 而 设 计的 系 统 ， 是 否 能 有 效 地 克 服 干 扰 f(t)所 产 生 的 影 响 ? 在 很 多 情 况 下 ， 针 对 参 考 输 入 而 设 计 的 系 统 ， 对 抑制 较 弱 的 干 扰 作 用 所 产 生 的 影 响 ， 也 有 较 好 的 效 果 。 这正 是 负 反 馈 控 制 系 统 所 具 有 优 点 之 一 。 然 而 ， 如 果 干 扰作 用 较 严 重 ， 或 设 计 的 着 眼 点 主 要 是 针 对 干 扰 所 产 生 的影 响 ， 则 必 须 研 究 新 的 设 计 方 法 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 f(t) U(z)u*(t) Y(z)E (z)R(z) y(t)e*(t) r(t) T G0(s)图 4.15 存 在 干 扰 作 用 下 的 控 制 系 统ZOHTD(z) G(s) 由 于 负 反 馈 控 制 系 统 的 自 动 调 节 作 用 的 优 点 ， 按 前 面方 法 只 针 对 参 与 输 入 所 设 计 的 数 字 控 制 器 D(z)或 闭 环 Z传 递函 数 W(z)， 对 抑 制 弱 扰 动 作 用 的 影 响 是 很 有 效 的 ， 这 种 情况 下 不 必 修 改 原 设 计 的 D(z)或 W(z)， 但 在 强 扰 动 作 用 下 ， 一 般 就 须 修 改 原 设 计 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 4.4.1 针 对 扰 动 作 用 的 设 计 假 设 存 在 扰 动 的 控 制 系 统 如 图 4.15所 示 ， 当 只 存 在 扰动 作 用 时 （ 此 时 r(t)=0） ， 扰 动 系 统 的 等 效 图 如 图 4.16所 示 。 F(s) U(z)u *(t) Yf (z)yf (t)f (t) G0(s)图 4.16 扰 动 系 统 的 等 效 方 框 图D(z)TZOH 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 根 据 线 性 系 统 的 迭 加 原 理 ， 系 统 只 存 在 扰 动 时 的 输出 响 应 为 取 Z变 换 得 ： 其 中 得 到 )()(1)()( )(1)()()( * 00 *0 sUsGsesGsF sUsesFsGsY TsTsf )()()()( 0 zUzGzFGzYf 01( ) ( )TseG z G ss Z )()(1 )()( 0 zGzD zFGzYf 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 系 统 输 出 对 扰 动 的 闭 环 Z传 递 函 数 为 ： 于 是 得 到 数 字 控 制 器 ： 0( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) ( )ff Y z GF z F zW z F z D z G z 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ffG F z F z W zD z G zW z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 针 对 干 扰 作 用 的 系 统 的 设 计 方 法 是 ：(1)根 据 系 统 运 行 的 实 际 情 况 确 定 设 计 中 所 针 对 的 干 扰输 入 作 用 F(z)。(2)根 据 消 除 干 扰 所 引 起 的 输 出 响 应 的 要 求 (例 如 无 稳 态误 差 、 最 快 速 的 瞬 变 响 应 、 稳 定 性 等 )， 以 及 D(z)物 理 可实 现 的 约 束 ， 确 定 输 出 对 扰 动 的 闭 环 Z传 递 函 数 Wf(z)。所 采 用 的 方 法 与 前 几 节 介 绍 的 方 法 基 本 相 同 。(3)确 定 数 字 控 制 器 D(z)， 并 编 写 控 制 算 法 程 序 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 4.4.2 抑 制 扰 动 作 用 的 设 计 再 来 研 究 既 有 参 考 输 入 R(s)又 有 扰 动 作 用 F(s)的 系 统 的 设计 方 法 。 对 于 图 4.15所 示 的 系 统 ， 设 计 分 两 步 进 行 ：(1)首 先 针 对 参 考 输 入 ， 确 定 闭 环 Z传 递 函 数 W(z)。(2)然 后 考 虑 系 统 对 干 扰 F(s)的 抑 制 作 用 ， 修 改 设 计 的 结果 (有 时 不 需 要 修 改 )。 如 果 系 统 要 抑 制 扰 动 的 影 响 ， 则 对 W f(z)的 要 求 是 ： 对于 设 计 中 的 扰 动 作 用 ， 不 产 生 稳 态 响 应 。 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 不 失 一 般 性 ， 设 扰 动 信 号 具 有 以 下 形 式 ： 则 在 扰 动 作 用 下 产 生 稳 态 响 应 可 由 终 值 定 理 求 得若 要 求 Yf ( )=0， 则 要 求 扰 动 的 闭 环 Z传 递 函 数 Wf(z)具有 以 下 形 式 ：其 中 ， F f(z)为 不 含 (1-z-1)因 子 的 关 于 z-1的 有 限 多 项 式 。由 此 可 得 到 以 下 结 论 ： 若 系 统 的 扰 动 的 闭 环 Z传 递 函 数 Wf(z)可 以 表 示 成 以 上的 形 式 ， 则 就 不 必 修 改 针 对 参 考 输 入 所 确 定 的 数 字 控 制器 D(z)， 否 则 就 要 修 改 原 先 设 计 的 D(z)。 1( )( ) (1 )mA zF z z 1 11 1( ) lim(1 ) ( ) lim(1 ) ( ) ( )f f fz zY z Y z z W z F z 1( ) (1 ) ( )mf fW z z F z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 例 4.7 对 于 图 4.15所 示 的 系 统 ， 设T=0.025s， r(t)=1(t)， f(t)=1(t)。 设 计 无 稳 态 误 差 有波 纹 最 少 拍 系 统 的 数 字 控 制 器 D(z)。解 ： 根 据 最 少 拍 系 统 设 计 原 则 则 得 到 )1025.0( 10)(0 sssG 1 11 11 10 0.092(1 0.718 )( ) (0.025 1) (1 )(1 0.368 )Tse z zG z s s s z z Z 11 1 1( ) 1( ) ( ) 10.87(1 0.368 )( ) ( ) ( ) 1 0.718e eW z zW z z W z zD z G zW z z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 由 此 可 见 ， Wf(z)不 能 满 足 ， 则需 要 修 改 原 设 计 。 进 一 步 分 析 可 知 ： 显 然 不 符 合 设 计 要 求 ， 必 须 修 改 原 先 设 计 的 D(z) 0 0 1 10 1 2 11 1 111 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )10 1 0.092(1 0.718 )( ) (0.025 1) (1 ) (1 0.368 )1( ) 10.092(1 0.718 )( ) 1 0.368 eff W z G F z W z G F zW z F z F z z zG F z s s s z zF z z z zW z z Z )()1()( 1 zFzzW ff 11( ) lim(1 ) ( ) ( ) 0.25 0f fzY z W z F z 第 4章 计 算 机 控 制 系 统 离 散 化 设 计 则 其 中得 解 得 ： 则 )()1()(368.0