数值代数课设

1. 用matlab编写一个Gauss消去法的程序求解方程组=程序： clear A=2 1 0;3 4 -1;5 2 6A = 2 1 0 3 4 -1 5 2 6 b=1;0;1b = 1 0 1 L,U=lu(A)L = 0.4000 0.0714 1.0000 0.6000 1.0000 0 1.0000 0 0U = 5.0000 2.0000 6.0000 0 2.8000 -4.6000 0 0 -2.0714 c=Lbc = 1.0000 -0.6000 0.6429 x=Ucx = 0.8621 -0.7241 -0.31032、列主元Gauss消去法求解方程组=程序：A=input(请输入线性方程组的增广矩阵A=);n=length(A)-1;x=zeros(n,1);aa=zeros(n,1);for j=1:nfor i=1:(n+1)AA(j,i)=abs(A(j,i);endendfor k=1:(n-1)for i=k:naa(i-(k-1)=AA(i,k);endfor i=k:nif AA(i,k)=max(aa)breakendendif AA(i,k)=0breakfprintf(方程组系数矩阵奇异n);elsefor j=k:(n+1)jh=A(i,j);A(i,j)=A(k,j);A(k,j)=jh;endendfenzi=A(k,k);for j=k:(n+1)A(k,j)=A(k,j)/fenzi;endfor p=(k+1):njj=A(p,k);for j=k:(n+1)A(p,j)=A(p,j)-jj*A(k,j);endendendif k=(n-1)x(n)=A(n,(n+1)/A(n,n);for i=(n-1):(-1):1he=0;for j=(i+1):nhe=he+A(i,j)*x(j);endx(i)=A(i,(n+1)-he;endendx请输入线性方程组的增广矩阵A=2 4 0 1;3 -5 1 1;1 7 8 1x = 0.4032 0.04840.03233、用LU分解求解线形方程组=程序： A=2 1 -1 5;1 6 4 -1;3 2 7 5;0 -1 8 2A = 2 1 -1 5 1 6 4 -1 3 2 7 5 0 -1 8 2 b=8;4;2;1b = 8 4 2 1 L,U=lu(A)L = 0.6667 -0.0625 -0.6692 1.0000 0.3333 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0 -0.1875 1.0000 0U = 3.0000 2.0000 7.0000 5.0000 0 5.3333 1.6667 -2.6667 0 0 8.3125 1.5000 0 0 0 2.5038 L,U,P=lu(A)L = 1.0000 0 0 0 0.3333 1.0000 0 0 0 -0.1875 1.0000 0 0.6667 -0.0625 -0.6692 1.0000U = 3.0000 2.0000 7.0000 5.0000 0 5.3333 1.6667 -2.6667 0 0 8.3125 1.5000 0 0 0 2.5038P = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 y=L(P*b)y = 2.0000 3.3333 1.6250 7.9624 x=Uyx = -5.3063 2.3333 -0.37843.18024、用Cholesky分解求解线形方程组=程序： clear A=6 3 -2;3 5 1;-2 1 7A = 6 3 -2 3 5 1 -2 1 7 b=2;-1;1b = 2 -1 1 L=chol(A)L = 2.4495 1.2247 -0.8165 0 1.8708 1.0690 0 0 2.2783 Y=LbY = 0.8165 -1.0690 1.2332 X=LYX = 0.9541 -0.8807 0.54135、利用Jacobic迭代法求解方程组=，eps=1.010，=程序：function x, k, index=Jacobi(A, b, eps, it_max)if nargin 4 it_max=100; endif nargin 3 eps; endn=length(A); k=0; x=zeros(n,1); y=zeros(n,1); index=1;while 1 for i=1:n y(i)=b(i); for j=1:n if j=i y(i)=y(i)-A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i)1e-10 | k=it_max index=0; return; end y(i)=y(i)/A(i,i); end if norm(y-x,inf) A=0.98 -0.05 -0.02;-0.04 -0.9 0.07;-0.02 0.09 0.94； b=1;1;1； x,k,index=Jacobi(A,b,1e-6,100)；x = 0.9904 -1.0628 1.1867k = 6index = 16、利用G-S迭代法求解方程组=，esp=1.010,=程序：function y=gaussseidel(A,b,x0,esp)D=diag(diag(A);U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);G=(D-L)U;f=(D-L)b;y=G*x0+f;n=1;while norm(y-x0)=esp&n=1000 x0=y; y=G*x0+f; n=n+1;endyn答案：A=10 3 1;2 -10 3;1 3 10; b=14;-5;14; x0=0;0;0; esp=1.0e-3; gaussseidel(A,b,x0,esp)y = 1.00003896860354 1.00002773079501 0.99998778390114n = 6ans = 1.00003896860354 1.00002773079501 0.999987783901147、利用SOR迭代法求解方程组 =Eps=1.0*10-6,取程序：function n,x=sor(A,b,X,nm,w,ww)%用超松弛迭代法求解方程组Ax=b%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为最大迭代次数，w为误差精度，ww为松弛因子%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数n=1;m=length(A);D=diag(diag(A); %令A=D-L-U,计算矩阵DL=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵LU=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵UM=inv(D-ww*L)*(1-ww)*D+ww*U); %计算迭代矩阵g=ww*inv(D-ww*L)*b; %计算迭代格式中的常数项%下面是迭代过程while n=nm x=M*X+g; %用迭代格式进行迭代 if norm(x-X,inf) A=0.78 -0.02 -0.12 -0.14;-0.02 0.86 -0.04 0.06;-0.12 -0.04 0.72 -0.08;-0.14 0.06 -0.08 0.74; b=0.76;0.08;1.12;0.68;c=1000; d=1e-6; f=1.03; k=0;0;0;0;g=sor(A,b,k,c,d,f)迭代次数为n = 7方程组的解为x = 1.5350 0.1220 1.9752 1.4130g = 7 8、用共轭梯度法求解上题的线性方程组，Eps=1.0*10-6,9、利用幂法求：的按模最大的特征值和对应的特征向量，限定最大的迭代步骤n=500，Eps=1.0，=程序：function k,lambda,Vk,Wc=mifa(A,x0,eps,n)lambda=0;k=1;Wc =1; state=1; V=x0;while(keps)state=1;endk=k+1;Wc=Wc;endif(Wc A=1 2 3;2 3 4;3 4 5;x0=1;1;1;esp=1.0e-6;n=500;k,lambda,xk,Wc=mifa(A,x0,eps,n),k,lambda,xk,Wc=mifa(A,x0,0.000001,500),x,D = eig (A), Dzd=max(diag(D), wuD= abs(Dzd- lambda), wux=x(:,2)./xk,答案：迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k = 500lambda = 9.6235xk = 0.5247 0.7623 1.0000Wc = 1.7764e-015迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k = 8lambda = 9.6235xk = 0.5247 0.7623 1.0000Wc = 1.5190e-007x = 0.8277 0.4082 0.3851 0.1424 -0.8165 0.5595 -0.5428 0.4082 0.7339D = -0.6235 0 0 0 -0.0000 0 0 0 9.6235Dzd = 9.6235wuD = 9.2421e-009wux = 0.7781 -1.0710 0.408210、利用反幂法求A=的按模最小的特征值和对应的特征向量，限定最大的迭代步骤n=500，Eps=1.0，=程序：function k,lambdan,Vk,Wc=ydwyfmf(A,V0,jlamb,jd,max1)n,n=size(A); A1=A-jlamb*eye(n); jd= jd*0.1;RA1=det(A1); if RA1=0disp(请注意：因为A-aE的n阶行列式hl等于零，所以A-aE不能进行LU分解.)returnendlambda=0;if RA1=0 for p=1:nh(p)=det(A1(1:p, 1:p);endhl=h(1:n);for i=1:nif h(1,i)=0disp(请注意：因为A-aE的r阶主子式等于零，所以A-aE不能进行LU分解.) returnendend if h(1,i)=0 disp(请注意：因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.)k=1;Wc =1;state=1; Vk=V0;while(kjd)state=1;endk=k+1;%Vk=Vk2,mk=mk1,endif(Wc=jd)disp(A-aE的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：) elsedisp(A-aE的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,按模最小特征值的迭代值lambda,特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：) endhl,RA1endendV,D=eig(A,nobalance),Vk;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk1;主程序：A=1 2 0;4 -3 2;5 1 4;x0=1;1;1;k,lambda,Vk,Wc=ydwyfmf(A,x0,0.2,0.000001,500)请注意：因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.A-aE的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：hl = 0.8000 -10.5600 -21.7280RA1 = -21.7280V = -0.1577 -0.5531 0.3776 -0.3243 -0.0508 -1.0000 -1.0000 1.0000 -0.1070D = 5.1127 0 0 0 1.1836 0 0 0 -4.2964k = 7lambda = 1.1836Vk = 0.5531 0.0508 -1.0000Wc = 5.3678e-009