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22最大值、最小值问题(二) 第四章 导数应用 学习导航 第四章 导数应用学习目标1.掌握利用导数解决实际生活中的优化问题(重点)2掌握导数在不等式问题中的应用(难点)学法指导1.通过利用导数解决实际生活中的优化问题，体会建模思想，掌握解决优化问题的基本思路2通过函数最值在不等式问题中的应用，提高转化思想的应用. 1.利用导数解决优化问题的基本思路2.导数在不等式问题中的应用利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基 本 思 路是转化为函数的_问题加以解决最值 3求函数最值的方法一般地，求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的 步 骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较, 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(1)若函数在闭区间a，b上连续单调，则最大、最 小值在 端点处取得(2)当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x) 在该 点处取得最大值(或最小值),这里(a，b)也可以是无穷区间. 4函数最值的实际应用问题(1)解有关函数最大值或最小值的实际问题，需 要根据问 题 中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系式， 并确定 函 数的定义域，借助函数的导数这一工具，从数学角度逐 步解 决实际问题，所求得的结果要符合问题的实际意义(2)求有关最大值或最小值的应用题的关键是建立问题的目 标函数，建立目标函数的一般步骤是：根据题意找出与问题有关的各个量，分清其中哪些是 变量,哪些是常量； 确定变量中的哪个量作为因变量，通常是取要求最 值 的那个变量作为因变量，而自变量一般有多种取法，自变量 是 否选取得当，与解题难易关系密切；利用问题的条件，结合平面几何、解析几何及物理学 中 有关力学、电学、光学等方面的知识，找出变量之间的依 存 关系，同时确定自变量的取值范围，这样便可得到目标函数.注意：解实际应用问题的关键在于数学模型的建立，要 建 立符合实际意义的数学模型，则需要准确把握实际问题中 量 与量之间的关系审题不严谨是解实际应用问题的易错点 解析：yx281，令y0，解得x9或x9(舍去).当0 x0；当x9时，y0.所以当x9时，y取得最大值C 2将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A2和6 B4和4C3和5 D以上都不对解析：设一个数为x，则另一个数为8x，其立 方 和yx3 (8x)383192x24x2且0 x8，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0 x4 时，y0； 当40,所以当x4时，y最小B A 4(2014南京市高二期末)已知圆柱的体积为16 cm3，则当底面半径r_ cm时，圆柱的表面积最小2 面积、体积最大(小)问题 (2013高考重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米,体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大(链接教材第四章2.2例5) 1.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，怎样截可使正方形与圆的面积之和最小？ 用料最省、节能减耗问题 方法归纳实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时唯一的极小值就是所求函数的最小值. 利润最大问题 方法归纳(1)求解利润最大问题，首先应理解相应的经济概念，如成本、利润、单价、销售量、边际利润、边际成本等，其次掌握相应的计算公式，如利润销售额成本，销售额单价销售量等(2)若求利润最大值，首先应将利润表示成某个变量的函数,然后利用导数或函数知识解决 导数在不等式中的应用 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，)f(x)0f(x) 极小值 方法归纳利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先要注意变量的取值范围，再正确地构造出函数，最后再求出函数的最值 技法导学利用导数解决不等式恒成立问题 设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.(1)若f(x)在x3处取得极值，求常数a的值；(2)若f(x)在(，0)上为增函数，求a的取值范围解(1)f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)f(x)在x3处取得极值， f(3)6(3a)(31)0，解得a3. (2)若f(x)在(，0)上为增函数，则只需f(x)6x2(a1)xa0在(，0)上恒成立即可令g(a)(1x)ax2x，则只需f(0)6a0即可(当x0)a的取值范围是a0.感悟提高不等式恒成立问题,一般都会涉及到求参数 的 取值范围,往往通过分离变量的方法转化为m f(x)(或m 0)；固定部分为a元(1)把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并 指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 本 部 分 内 容 讲 解 结 束按ESC键退出全屏播放
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