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2.7 二 次 根 式第 二 章 实 数第1课时 二次根式及其化简北 师 大 版 八 年 级 数 学 上 册 学习目标1.了 解 二 次 根 式 的 定 义 及 最 简 二 次 根 式 ； （ 重 点 ）2.运 用 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 解 决 相 关 问 题 .（ 难 点 ） 导入新课（ 1） 如 左 图 所 示 ， 礼 盒 的 上 面 是正 方 形 ， 其 面 积 为 5， 则 它 的 边 长是 .如 果 其 面 积 为 S， 则 它的 边 长 是 .5 S（ 2） 如 左 图 所 示 ， 一 个 长 方 形 的围 栏 ， 长 是 宽 的 2倍 ， 面 积 为130m 2,则 它 的 宽 为 m .65 观察与思考 （ 3） 一 个 物 体 从 高 处 自 由 落 下 ， 落 到 地 面 所 用 的 时间 t(单 位 ： s)与 开 始 落 下 时 离 地 面 的 高 度 h（ 单 位 ：m )满 足 关 系 式 h=5t2.如 果 用 含 有 h的 式 子 表 示 t,那 么 t为 .5h 问 题 ： 如 图 ， 正 方 形 ABCD的 边 长 为 2， 它 的 对 角线 AC的 长 是 多 少 ？ 2 2 2 2AC 2 2 8;AB BC 2 2 2 2 2OA OB OC OD AC BD,OA OB AB 2 OA 4 , OA 2 OA 2,AC 2OA 2 2. ， 即，乙 同 学 ：甲 同 学 ：由 此 可 见 : =O 讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一问 题 1 上 面 问 题 的 结 果 分 别 是 ， 它 们 表 示 一 些正 数 的 算 术 平 方 根 .那 么 什 么 样 的 数 有 算 术 平 方 根 呢 ？3, , 65 5hs ， 我 们 知 道 ， 负 数 没 有 平 方 根 .因 此 ， 在 实 数 范 围 内 开 平方 时 ， 被 开 方 数 只 能 是 正 数 或 0.问 题 2 上 面 问 题 的 结 果 分 别 是 ， 分 别 从 形 式 上和 被 开 方 数 上 看 有 什 么 共 同 特 点 ？3, , 65 5hs ， 含 有 “ ” 被 开 方 数 a 0 归纳总结u二 次 根 式 的 定 义 一 般 地 ， 我 们 把 形 如 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 . “ ” 称 为 二 次 根 号 ， a叫 做 被 开 方 数 .( 0)a a要点提醒两 个 必 备 特 征 外 貌 特 征 ： 含 有 “ ” 内 在 特 征 ： 被 开 方 数 a 0 例 1 下 列 各 式 是 二 次 根 式 吗 ?典例精析 (1) 32, (2) 6, (3) 12,1a 2 3(6) , (7) 5是 不 是 不 是m xy(4) - (5) ，（ x,y异 号 ）不 是 不 是是 不 是 不 含 二 次 根 号 被 开 方 数 是 负 数当 m0时 被 开方 数 是 负 数 xy 0 非 负 数 +正 数恒 大 于 零 根 指 数 是 3 解 ： 由 x-20， 得 x2.例 2 (1)当 x取 何 值 时 , 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ?2x当 x2时 ， 在 实 数 范 围 内 有 意 义 .2x 当 x=9时 ， 2 9 2 7.x A. x1 B. x-1 C. x 1 D. x -1A（ 2） 当 x=0， 9时 ， 求 二 次 根 式 的 值 .2x（ 3） 要 使 式 子 有 意 义 ， 则 x的 取 值 范 围 是 （ ）11x当 x=0时 ， x-2=-2 0， 此 时 二 次 根 式 无 意 义 ； 要 使 二 次 根 式 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 即 需 满 足 被 开 方 数 0， 列 不 等 式 求 解 即 可 .若 二 次 根 式 处 在 分 母 的 位 置 ， 应 同 时 考 虑 分 母 不 为 零 .归纳 想 一 想 ：当 x是 怎 样 的 实 数 时 ， 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ？ 呢 ？ 2x3x前 者 x为 全 体 实 数 ； 后 者 x为 正 数 和 0. 二次根式的双重非负性二 思 考 : 二 次 根 式 的 实 质 是 表 示 一 个 非 负 数 （ 或 式 ） 的 算 术 平方 根 .对 于 任 意 一 个 二 次 根 式 ， 我 们 知 道 ：a（ 1） a为 被 开 方 数 ， 为 保 证 其 有 意 义 ， 可 知 a0；（ 2） 表 示 一 个 数 或 式 的 算 术 平 方 根 ， 可 知 0. a a二 次 根 式 的 被 开 方 数 非 负 二 次 根 式 的 值 非 负 二 次 根 式 的双 重 非 负 性 （ 2） 设 ， 试 求 2x+y的 值 .例 3（ 1） 若 ， 求 a -b+c的 值 .22 3 ( 4) 0a b c 解 ： （ 1） 由 题 意 可 知 a-2=0,b-3=0,c-4=0,解 得 a=2,b=3,c=4所 以 a-b+c=2-3+4=3;（ 2） 由 题 意 知 ， 1-x 0,且 x-10,联 立 解 得 x=1.从 而 知 y=2017,所 以 2x+y=2 1+2017=2019.1 1y x x+ +2017 多 个 非 负 数 的 和 为 零 ， 则 可 得 每 个 非 负 数 均 为 零 .初中 阶 段 学 过 的 非 负 数 主 要 有 绝 对 值 、 偶 次 幂 及 二 次 根 式 .归纳 二次根式的性质及化简二（ 1） ， ； ， ； ， ； ， 6 620 2094 942516 251694 942516 2516填 一 填 有 何 发 现 ？ ，6.480 ；（ 2） 用 计 算 器 计 算 ： ， 6.4800.9255 0.925576 7676 76 有 何 发 现 ？ 要点归纳 （ a 0， b 0） ，（ a 0， b 0） baab baba 商 的 算 术 平 方 根 等 于 算 术 平 方 根 的 商积 的 算 术 平 方 根 等 于 算 术 平 方 根 的 积 例 4： 化 简解 ： (1)(2)(3)典例精析（ 1） ； （ 2） ； （ 3） . 6481 625 95;65625625 728964816481 359595 最 简 二 次 根 式 ： 一 般 地 ， 被 开 方 数 不 含 分 母 ， 也 不 含 能 开得 尽 方 的 因 数 或 因 式 ， 这 样 的 二 次 根 式 ， 叫 做最 简 二 次 根 式 .要点归纳 例 5： 化 简 ：(1) 50 25 2 25 2 5 2; 解 : 2 2 2 7 1(2) 14;7 77 7 7 1 1 3 1(3) 3.33 3 3 2 1(1) 50 (2) (3) .7 3； ； 例 6. 化 简 : 22 17-25 )00(4 2 baba ， 2028 32616934 原 式解 ： 21484217-25(1725 ）（原 式 baba 24 2 原 式 最 简 二 次 根 式 的 条 件 ： 是 二 次 根 式 ； 被 开 方 数 中 不 含 分 母 ； 被 开 方 数 中 不 含 能 开 得 尽 方 的 因 数 或 因 式 要点归纳 当堂练习2.式 子 有 意 义 的 条 件 是 （ ） 23 6xA.x 2 B.x 2 C.x 2 D.x 23.若 是 整 数 ， 则 自 然 数 n的 值 有 （ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个95 n D1. 下 列 式 子 中 ， 不 属 于 二 次 根 式 的 是 （ ）C Da CA 4.当 x_， 在 实 数 范 围 内 有 意 义 解 析 ： 要 使 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 必 须 同 时 满 足 被开 方 数 x 30和 分 母 x 10， 解 得 x 3且 x 1.方 法 总 结 ： 使 一 个 代 数 式 有 意 义 的 未 知 数 的 取 值范 围 通 常 要 考 虑 三 种 情 况 ： 一 是 分 母 不 为 零 ， 二 是偶 次 方 根 的 被 开 方 数 是 非 负 数 ， 三 是 零 次 幂 的 底 数不 为 零 113 xx 6. 设 ， 化 简 下 列 二 次 根 式 .解 ： 1 72; 2 32 8 .a b 6 2; 2 2 .ab b 6 2 解 :原 式 = +1-3=3+1-3=1.5.计 算 ： 能力提升 化 简 ： 121解 ： 12 1 1 2-1= 2+1 2-1 2 22-1= 2 -1= 2-1 二 次 根 式 二 次 根 式 的 定 义 ： 形 如（ a0） 的 式 子二 次 根 式 的 性 质最 简 二 次 根 式 a课 堂小 结 再 见
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