2018中考数学专题复习第二讲整式、因式分解

第 二 讲整 式 、 因 式 分 解 一 、 整 式 的 有 关 概 念 积 数 字 因 数字 母 指 数 2.同 类 项 :所 含 字 母 _,且 相 同 字 母 指 数 也 _的 单 项 式 . 相 同 相 同 二 、 整 式 的 有 关 运 算运 算 性 质 或 法 则幂 的 运 算(m,n为 正整 数 ,且 mn) 同 底 数 幂 相 乘 am an=_同 底 数 幂 相 除 am an=_(a 0)幂 的 乘 方 (am)n=_积 的 乘 方 (ab)n=_am+nam-namnanbn 运 算 性 质 或 法 则整式的乘法 单 项 式 乘单 项 式 _分 别 相 乘 ,只在 一 个 单 项 式 中 出 现 的 字 母 ,连 同 它的 _一 起 作 为 积 的 一 个 因 式单 项 式 乘多 项 式 m(a+b+c)=_多 项 式 乘多 项 式 (a+b)(m+n)=_平 方 差 公 式 :(a+b)(a-b)=_完 全 平 方 公 式 :(a b)2=_系 数 、 相 同 字 母 的 幂指 数 ma+mb+mcam+an+bm+bna2-b2a2 2ab+b2 三 、 因 式 分 解 的 定 义把 一 个 多 项 式 化 成 几 个 整 式 的 _的 形 式 ,这 种 变 形叫 做 多 项 式 的 因 式 分 解 . 积 四 、 因 式 分 解 的 方 法1.提 公 因 式 法 :am+bm+cm=_.2.运 用 公 式 法 :平 方 差 公 式 :a2-b2=_;完 全 平 方 公 式 :a2 2ab+b2=_.m(a+b+c)(a+b)(a-b)(a b)2 五 、 因 式 分 解 的 步 骤1.若 多 项 式 的 各 项 有 公 因 式 ,则 应 先 _,首 项 是 负 的 ,可 将 负 号 一 并 提 取 .2.若 多 项 式 的 各 项 没 有 公 因 式 ,则 可 以 考 虑 用 _法 来 分 解 因 式 .3.检 查 因 式 分 解 是 否 彻 底 . 提 取 公 因 式公 式 【 自 我 诊 断 】 (打 “ ” 或 “ ” )1.同 底 数 幂 相 乘 ,底 数 不 变 ,指 数 也 相 乘 ,即 am an=amn. ( )2.x3+y3是 6次 多 项 式 . ( )3.-3(x-1)=-3x-1. ( )4.如 果 (a-3b)=-3,那 么 代 数 式 5-a-3b的 值 是 2. ( ) 5.计 算 :3a+2a=5a. ( )6.多 项 式 3m2-6mn+3n2各 项 的 公 因 式 是 3mn. ( )7.多 项 式 -y2+9能 用 平 方 差 公 式 分 解 因 式 . ( )8.把 代 数 式 2x2-18分 解 因 式 ,结 果 是 2(x+3)(x-3).( ) 考 点 一 代 数 式 求 值 【 示 范 题 1】 (1)(2017 重 庆 中 考 A卷 )若 x=- ,y=4,则 代 数 式 3x+y-3的 值 为 ( )A.-6 B.0 C.2 D.6 13 (2)(2017 十 堰 中 考 )若 a-b=1,则 代 数 式 2a-2b-1的 值为 _.(3)(2017 白 银 中 考 )如 果 m是 最 大 的 负 整 数 ,n是 绝 对值 最 小 的 有 理 数 ,c是 倒 数 等 于 它 本 身 的 自 然 数 ,那 么代 数 式 m2015+2016n+c2017的 值 为 _. 【 思 路 点 拨 】 (1)直 接 将 x,y的 值 代 入 求 出 答 案 .(2)原 式 前 两 项 提 取 2变 形 后 ,将 a-b=1代 入 计 算 即 可 求出 值 .(3)根 据 题 意 求 出 m,n,c的 值 ,然 后 代 入 原 式 即 可 求 出答 案 . 【 自 主 解 答 】 (1)选 B. x=- ,y=4, 代 数 式 3x+y-3=3 +4-3=0.(2) a-b=1, 原 式 =2(a-b)-1=2-1=1.答 案 :1 131( )3 (3)由 题 意 可 知 :m=-1,n=0,c=1, 原 式 =(-1)2015+2016 0+12017=0.答 案 :0 【 答 题 关 键 指 导 】 整 体 代 入 法 求 代 数 式 值 的 三 种 方 法(1)直 接 整 体 代 入 求 值 :如 果 已 知 的 代 数 式 与 要 求 的 代数 式 之 间 都 含 有 相 同 的 式 子 ,只 要 把 已 知 式 子 的 值 直接 代 入 到 要 求 的 式 子 中 ,即 可 得 出 结 果 . (2)把 已 知 式 子 变 形 后 再 整 体 代 入 求 值 :如 果 题 目 中 所求 的 代 数 式 与 已 知 代 数 式 成 倍 数 关 系 ,各 字 母 的 项 的系 数 对 应 成 比 例 ,就 可 以 把 这 一 部 分 看 作 一 个 整 体 ,再把 要 求 值 的 代 数 式 变 形 后 整 体 代 入 计 算 求 值 . (3)把 所 求 式 子 和 已 知 式 子 都 变 形 ,再 整 体 代 入 求 值 :将 已 知 条 件 和 所 求 的 代 数 式 同 时 变 形 ,使 它 们 含 有 相同 的 式 子 ,再 将 变 形 后 的 已 知 条 件 代 入 变 形 后 的 要 求的 代 数 式 ,计 算 得 出 结 果 . 【 变 式 训 练 】1.(2017 重 庆 中 考 B卷 )若 x=-3,y=1,则 代 数 式 2x-3y+1的 值 为 ( )A.-10 B.-8 C.4 D.10【 解 析 】 选 B. x=-3,y=1, 2x-3y+1=2 (-3)-3 1+1=-8. 2.(2017 宿 迁 中 考 )若 a-b=2,则 代 数 式 5+2a-2b的 值是 _.【 解 析 】 a-b=2, 原 式 =5+2(a-b)=5+4=9.答 案 :9 考 点 二 幂 的 运 算 【 示 范 题 2】 (2017 德 州 中 考 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.(a2)m=a2m B.(2a)3=2a3C.a3 a-5=a-15 D.a3 a-5=a-2 【 思 路 点 拨 】 根 据 幂 的 乘 方 ,积 的 乘 方 ,同 底 数 幂 的 乘法 ,同 底 数 幂 的 除 法 法 则 进 行 计 算 判 断 .【 自 主 解 答 】 选 A.B.(2a)3=23a3=8a3,故 B不 正 确 ; C.a3 a-5=a-2,故 C不 正 确 ;D.a3 a-5=a3-(-5)=a8,故 D不正 确 . 【 答 题 关 键 指 导 】 幂 的 运 算 的 应 用(1)同 底 数 幂 的 乘 除 法 应 用 的 前 提 是 底 数 必 须 相 同 ,若底 数 互 为 相 反 数 时 ,要 应 用 积 的 乘 方 处 理 好 符 号 问 题 ,转 化 成 同 底 数 ,再 应 用 法 则 . (2)同 底 数 幂 的 乘 法 、 幂 的 乘 方 、 积 的 乘 方 混 合 运 算的 时 候 要 注 意 三 个 方 面 :一 是 运 算 顺 序 ,二 是 正 确 选 择法 则 ,三 是 运 算 符 号 . 【 变 式 训 练 】1.(2017 临 沂 中 考 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.-(a-b)=-a-b B.a2+a2=a4C.a2 a3=a6 D.(ab2)2=a2b4 【 解 析 】 选 D.A.括 号 前 是 负 号 ,去 括 号 全 变 号 ,故 A不符 合 题 意 ;B.不 是 同 底 数 幂 的 乘 法 指 数 不 能 相 加 ,故 B不 符 合 题 意 ;C.同 底 数 幂 的 乘 法 底 数 不 变 指 数 相 加 ,故C不 符 合 题 意 ;D.积 的 乘 方 等 于 乘 方 的 积 ,故 D符 合 题 意 . 2.(2017 潍 坊 中 考 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.a3 a2=a6 B.a3 a=a3C.a2+a2=a4 D.(a2)2=a4 【 解 析 】 选 D.选 项 A是 同 底 数 幂 的 乘 法 ,结 果 为 a5,故选 项 A错 误 ;选 项 B是 同 底 数 幂 的 除 法 ,结 果 为 a2,故 选项 B错 误 ;选 项 C是 合 并 同 类 项 ,结 果 为 2a2,故 选 项 C错误 ;选 项 D是 幂 的 乘 方 ,底 数 不 变 ,指 数 相 乘 ,故 选 项 D正确 . 3.(2017 威 海 中 考 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.3x2+4x2=7x4 B.2x3 3x3=6x3C.a a-2=a3 D. 2 3 6 31 1( a b) a b2 6 【 解 析 】 选 C.A.原 式 =7x2,不 符 合 题 意 ;B.原 式 =6x6,不 符 合 题 意 ;C.原 式 =a a2=a3,符 合 题 意 ;D.原 式 =- a6b3,不 符 合 题 意 .18 考 点 三 整 式 的 乘 除 及 乘 法 公 式 【 考 情 分 析 】 整 式 的 乘 除 及 乘 法 公 式 的 层 级 为 了 解 、理 解 并 能 应 用 ,在 各 地 的 中 考 考 查 中 均 有 体 现 ,特 别 是乘 法 公 式 的 应 用 是 一 个 重 要 的 考 向 ,考 查 的 方 式 为 直接 应 用 公 式 或 法 则 计 算 ,公 式 的 变 形 应 用 ,公 式 的 几 何背 景 及 计 算 几 何 图 形 的 面 积 等 ,主 要 以 选 择 、 填 空 题的 形 式 出 现 . 命 题 角 度 1:整 式 乘 除【 示 范 题 3】 (2017 济 宁 中 考 )计 算 (a2)3+a2 a3-a2 a-3的 结 果 为 ( )A.2a5-a B.2a5- C.a5 D.a6 1a 【 思 路 点 拨 】 按 照 幂 的 运 算 法 则 ,先 算 乘 方 ,再 算 乘 除 ,最 后 合 并 同 类 项 .【 自 主 解 答 】 选 D.(a2)3+a2 a3-a2 a-3=a6+a5-a5=a6. 命 题 角 度 2:乘 法 公 式 的 直 接 应 用【 示 范 题 4】 (2017 扬 州 中 考 )计 算 :a(3-2a) +2(a+1)(a-1).【 思 路 点 拨 】 根 据 平 方 差 公 式 以 及 单 项 式 乘 以 多 项 式的 法 则 即 可 求 出 答 案 . 【 自 主 解 答 】 原 式 =3a-2a2+2(a2-1)=3a-2a2+2a2-2=3a-2. 命 题 角 度 3:化 简 求 值【 示 范 题 5】 (2017 眉 山 中 考 )先 化 简 ,再 求值 :(a+3)2-2(3a+4),其 中 a=-2.【 思 路 点 拨 】 原 式 利 用 完 全 平 方 公 式 化 简 ,去 括 号 合并 得 到 最 简 结 果 ,把 a的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 . 【 自 主 解 答 】 原 式 =a2+6a+9-6a-8=a2+1,当 a=-2时 ,原 式 =4+1=5. 【 答 题 关 键 指 导 】 整 式 的 乘 法 运 算 中 的 四 点 注 意(1)单 项 式 乘 多 项 式 就 是 运 用 乘 法 分 配 律 将 其 转 化 成单 项 式 乘 单 项 式 ,再 把 所 得 的 积 相 加 . (2)在 运 算 时 ,要 注 意 每 一 项 的 符 号 .(3)单 项 式 乘 多 项 式 ,积 的 项 数 与 多 项 式 的 项 数 一 样 .(4)不 要 漏 乘 多 项 式 中 的 项 ,特 别 是 多 项 式 中 含 有 +1或-1的 项 . 命 题 角 度 :与 几 何 图 形 有 关 的 整 式 计 算【 示 范 题 】 (2017 衢 州 中 考 )如 图 ,从 边 长 为 (a+3)的正 方 形 纸 片 中 剪 去 一 个 边 长 为 3的 正 方 形 ,剩 余 部 分 沿虚 线 又 剪 拼 成 一 个 如 图 所 示 的 长 方 形 (不 重 叠 无 缝 隙 ),则 拼 成 的 长 方 形 的 另 一 边 长 是 _. 【 思 路 点 拨 】 根 据 拼 成 的 长 方 形 的 面 积 等 于 大 正 方 形的 面 积 减 去 小 正 方 形 的 面 积 列 式 整 理 即 可 得 解 .【 自 主 解 答 】 拼 成 的 长 方 形 的 面 积 =(a+3)2-32=(a+3+3)(a+3-3)=a(a+6), 拼 成 的 长 方 形 一 边 长 为 a, 另 一 边 长 是 a+6.答 案 :a+6 【 变 式 训 练 】1.(2017 青 岛 中 考 )计 算 6m6 (-2m2)3的 结 果 为 ( )A.-m B.-1 C. D. 【 解 析 】 选 D.6m6 (-2m2)3=6m6 (-8m6)=3434 3.4 2.(2017 台 州 中 考 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.(a+2)(a-2)=a2-2B.(a+1)(a-2)=a2+a-2C.(a+b)2=a2+b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2 【 解 析 】 选 D.A.原 式 =a2-4.错 误 ;B.原 式 =a2-a-2.错误 ;C.原 式 =a2+2ab+b2.错 误 ;D.原 式 =a2-2ab+b2.正 确 . 3.(2017 泰 州 中 考 )已 知 2m-3n=-4,则 代 数 式 m(n-4)-n(m-6)的 值 为 _.【 解 析 】 当 2m-3n=-4时 ,原 式 =mn-4m-mn+6n=-4m+6n=-2(2m-3n)=-2 (-4)=8.答 案 :8 4.(2017 荆 门 中 考 )先 化 简 ,再 求 值 :(2x+1)2-2(x-1)(x+3)-2,其 中 x= .【 解 析 】 原 式 =4x2+4x+1-2(x2+2x-3)-2=4x2+4x+1-2x2-4x+6-2=2x2+5.当 x= 时 ,原 式 =2 ( )2+5=2 2+5=9.22 2 考 点 四 因 式 分 解 【 示 范 题 6】 (1)(2017 菏 泽 中 考 )分 解 因 式 :x3-x=_.(2)(2017 潍 坊 中 考 )因 式 分 解 :x2-2x+(x-2)=_. (3)(2017 济 宁 中 考 )分 解 因 式 :ma2+2mab+mb2=_. 【 思 路 点 拨 】 (1)先 提 取 公 因 式 ,再 利 用 平 方 差 公 式 进行 分 解 .(2)通 过 两 次 提 取 公 因 式 ,来 进 行 因 式 分 解 .(3)先 提 取 公 因 式 ,再 利 用 完 全 平 方 公 式 进 行 分 解 . 【 自 主 解 答 】(1)x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).(2)原 式 =x(x-2)+(x-2)=(x+1)(x-2).(3)原 式 =m(a2+2ab+b2)=m(a+b)2. 答 案 :(1)x(x+1)(x-1)(2)(x+1)(x-2)(3)m(a+b)2 【 答 题 关 键 指 导 】 因 式 分 解 的 三 个 步 骤(1)先 看 各 项 有 无 公 因 式 ,有 公 因 式 的 先 提 取 公 因 式 . (2)提 公 因 式 后 看 多 项 式 的 项 数 . 若 多 项 式 为 两 项 ,则 考 虑 用 平 方 差 公 式 因 式 分 解 . 若 多 项 式 为 三 项 ,则 考 虑 用 完 全 平 方 公 式 因 式 分 解 . 若 多 项 式 有 四 项 或 四 项 以 上 ,就 考 虑 综 合 运 用 上 面的 方 法 . (3)若 上 述 方 法 都 不 能 分 解 ,则 考 虑 把 多 项 式 重 新 整 理 、变 形 ,再 按 上 面 步 骤 进 行 . 【 变 式 训 练 】1.(2017 日 照 中 考 )分 解 因 式 :2m2-8m=_.【 解 析 】 2m2-8m=2m(m-4).答 案 :2m(m-4) 2.(2017 临 沂 中 考 )分 解 因 式 :m3-9m=_.【 解 析 】 m3-9m=m(m2-9)=m(m+3)(m-3).答 案 :m(m+3)(m-3) 3.(2017 聊 城 中 考 )因 式 分 解 :2x2-32x4=_.【 解 析 】 2x2-32x4=2x2(1-16x2)=2x2(1+4x)(1-4x).答 案 :2x2(1+4x)(1-4x) 4.(2017 东 营 中 考 )分 解 因 式 :-2x2y+16xy-32y=_.【 解 析 】 -2x2y+16xy-32y=-2y(x2-8x+16)=-2y(x-4)2答 案 :-2y(x-4)2 考 点 五 规 律 探 索 问 题 【 示 范 题 7】 (2017 烟 台 中 考 )用 棋 子 摆 出 下 列 一 组图 形 : 按 照 这 种 规 律 摆 下 去 ,第 n个 图 形 用 的 棋 子 个 数 为 ( )A.3n B.6nC.3n+6 D.3n+3 【 思 路 点 拨 】 解 决 这 类 问 题 首 先 要 从 简 单 图 形 入 手 ,抓 住 随 着 “ 编 号 ” 或 “ 序 号 ” 增 加 时 ,后 一 个 图 形 与前 一 个 图 形 相 比 ,在 数 量 上 增 加 (或 倍 数 )情 况 的 变 化 ,找 出 数 量 上 的 变 化 规 律 ,从 而 推 出 一 般 性 的 结 论 . 【 自 主 解 答 】 选 D. 第 一 个 图 形 需 棋 子 3 1+3=6枚 ;第 二 个 图 形 需 棋 子 3 2+3=9枚 ;第 三 个 图 形 需 棋 子 3 3+3=12枚 ; 第 n个 图 形 需 棋 子 (3n+3)枚 . 【 答 题 关 键 指 导 】 1.数 形 结 合 是 探 求 规 律 的 常 见 题 型 ,解 决 这 类 问 题 的常 见 方 法 有 :(1)分 析 图 形 ,将 其 转 化 为 有 规 律 的 几 部 分 用 代 数 式 表示 ,再 求 和 . (2)从 简 单 图 形 入 手 ,抓 住 随 着 “ 编 号 ” 或 “ 序 号 ” 增加 时 ,后 一 个 图 形 与 前 一 个 图 形 相 比 ,通 过 类 比 、 计 算等 方 法 找 出 数 量 上 的 变 化 规 律 ,从 而 推 出 一 般 性 的 结论 ,再 验 证 所 总 结 规 律 的 正 确 性 . 2.(1)探 索 规 律 题 常 采 用 的 方 法 :探 求 规 律 运 用 从 特 殊 到 一 般 的 数 学 思 想 方 法 寻 找 规 律 .一 般 需 要 经 过 观 察 、 计 算 、 猜 想 、 验 证 等 手 段 来 完 成 .(2)差 相 等 的 一 列 数 的 规 律 :若 a1,a2, ,an是 差 相 等 的 一 列 数 ,其 差 是 b,则an=a1+(n-1)b. 【 变 式 训 练 】(2017 德 州 中 考 )观 察 下 列 图 形 ,它 是 把 一 个 三 角 形分 别 连 接 这 个 三 角 形 的 中 点 ,构 成 4个 小 三 角 形 ,挖 去中 间 的 小 三 角 形 (如 图 1);对 剩 下 的 三 角 形 再 分 别 重 复以 上 做 法 , ,将 这 种 做 法 继 续 下 去 (如 图 2,图 3 ),则图 6中 挖 去 三 角 形 的 个 数 为 ( )A.121 B.362 C.364 D.729 【 解 析 】 选 C.图 1挖 去 中 间 的 1个 小 三 角 形 ,图 2挖 去 中 间 的 (1+3)个 小 三 角 形 ,图 3挖 去 中 间 的 (1+3+32)个 小 三 角 形 ,则 图 6挖 去 中 间 的 (1+3+32+33+34+35)个 小 三 角 形 ,即 图6挖 去 中 间 的 364个 小 三 角 形 .