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第2讲 两直线的位置关系 不同寻常的一本书，不可不读哟！ 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2. 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 3点必须注意1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑2. 求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应先化为一般式3. 求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相同. 课前自主导学 1. 两条直线的位置关系(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1 l2 _，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为_ (2)两条直线垂直如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1 l2 _.如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为_ 两条不重合直线的斜率相等是这两条直线平行的什么条件？两条直线的斜率之积为1是这两条直线垂直的什么条件？ (1)已知两条直线l1：x2y10，l2：xmy0，若l1 l2，则实数m_.(2)过点A(2,6)，且垂直于直线xy20的直线方程为_ 2三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|_.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|_.(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d_.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离为d_. 在应用点到直线的距离公式与平行线之间的距离公式时应注意什么问题？ (1)两条平行直线5x12y20与5x12y240之间的距离等于_(2)与直线3x4y5平行，并且距离等于3的直线方程是_. 核心要点研究 例12012浙江高考设a R，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件审题视点由两直线的平行关系确定参数a的值，分清条件和结论，找出推出关系即可 法二：把命题“a1”看作集合M1，把命题“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”看作集合N1，2，易知M N，所以条件是结论的充分不必要条件，答案为A.答案A 奇思妙想：本例中的直线l2变为x2y40，其余条件不变，哪个选项正确呢？解：若a1，则直线l1：ax2y10与l2：x2y40平行；若直线l1：ax2y10与l2：x2y40平行，则2a20即a1.“a1”是“l1：ax2y10与l2：x2y40平行”的充要条件 (1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1l2 k1k2，l1l2 k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意(2)若直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1l2 k1k21.设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l 1l2 A1A2B1B20. 变式探究已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0.求满足下列条件的a，b的值(1)l1 l2，且l1过点(3，1)；(2)l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解析：(1)由已知可得l2的斜率必存在，k21a.若k20，则1a0，a1.l 1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过(3，1)，3ab40，即b3a4(不合题意) 例2已知点P(2，1)(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？审题视点(1)设直线方程时，注意直线的斜率是否存在；(2)作图可知所求直线l是过P点且与OP垂直的直线 奇思妙想：是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线之间的距离时，可先把两平行线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解也可转化成点到直线距离求解 变式探究已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2. 例32013南京检测已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程审题视点两点关于直线l对称等价于两点连线段被直线l垂直平分；直线关于直线对称转化为点关于直线对称 两直线l1、l2关于直线l的对称问题也可先在所求直线l1上任取一动点P(x，y)，P关于直线l的对称点设为Q(x0，y0)，则Q在直线l2上，利用PQ被直线l垂直平分，将Q点坐标用P点坐标表示，再利用Q点坐标满足直线l2的方程求出P点坐标满足的方程即所求的直线l1的方程，这种方法叫做坐标转移法(或代入法) 变式探究直线x2y30与直线ax4yb0关于点A(1,0)对称，则b_.答案：2 课课精彩无限 【选题热考秀】2013正定模拟已知两点A(2,3)、B(4,1)，直线l：x2y20，在直线l上求一点P.(1)使|PA|PB|最小；(2)使|PA|PB|最大 (2)由两点式求得直线AB的方程为y1(x4)，即xy50.直线AB与l的交点可求得为P(8，3)，它使|PA|PB|最大 【备考角度说】No.1角度关键词：审题视角当A、B在直线l的同侧，A点关于l的对称点A1，直线A1B与l的交点P使|PA|PB|最小直线AB与l的交点P使|PA|PB|最大当A、B在直线l的异侧，直线AB与l的交点P使|PA|PB|最小A点关于l的对称点A1，直线A1B与l的交点P使|PA|PB|最大 No.2角度关键词：技巧点拨许多问题都隐含着对称性，要注意深刻挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等，恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果. 经典演练提能 1. 直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()A. x2y10 B. 2xy10C. 2xy30D. x2y30答案：D 答案：B 3. 2013台州模拟已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是()A. 1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或2答案：C解析：解法一k3时，l1：y10，l2：2y30显然平行；k4时，l 1：x10，l2：2x2y30， 4. 2011北京高考已知点A(0,2)，B(2,0)若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1答案：A 5. 2011浙江高考若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_.答案：1
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