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复 习 ： 列 方 程 解 应 用 题 有 哪 些 步 骤 对 于 这 些 步 骤 ， 应 通 过 解 各 种 类 型 的问 题 ， 才 能 深 刻 体 会 与 真 正 掌 握 列 方 程 解应 用 题 。 上 一 节 ， 我 们 学 习 了 解 决 “ 平 均增 长 (下 降 )率 问 题 ” ， 现 在 ， 我 们 要 学习 解 决 “ 面 积 、 体 积 问 题 。实 际 问 题 与 一 元 二 次 方 程 （ 三 ）面 积 、 体 积 问 题 一 、 复 习 引 入 1 直 角 三 角 形 的 面 积 公 式 是 什 么 ？ 一 般 三 角 形 的 面 积 公 式 是 什 么 呢 ？ 2 正 方 形 的 面 积 公 式 是 什 么 呢 ？ 长 方 形 的 面 积 公 式 又 是 什 么 ？ 3 梯 形 的 面 积 公 式 是 什 么 ？ 4 菱 形 的 面 积 公 式 是 什 么 ？ 5 平 行 四 边 形 的 面 积 公 式 是 什 么 ？ 6 圆 的 面 积 公 式 是 什 么 ？ 要 设 计 一 本 书 的 封 面 ,封 面 长 27 ,宽 21 ,正 中央 是 一 个 与 整 个 封 面 长 宽 比 例 相 同 的 矩 形 ,如 果要 使 四 周 的 边 衬 所 占 面 积 是 封 面 面 积 的 四 分 之一 ,上 、 下 边 衬 等 宽 ,左 、 右 边 衬 等 宽 ,应 如 何 设计 四 周 边 衬 的 宽 度 ? 27 21分 析 :这 本 书 的 长 宽 之 比 是 9:7,依 题 知 正 中央 的 矩 形 两 边 之 比 也 为 9:7解 法 一 :设 正 中 央 的 矩 形 两 边 分 别 为 9xcm， 7xcm依 题 意 得 21274379 xx解 得 2331 x ),(2332 舍 去不 合 题 意x故 上 下 边 衬 的 宽 度 为 :左 右 边 衬 的 宽 度 为 : 8.14 327542 2339272927 x 4.14 321422 2337212721 x 要 设 计 一 本 书 的 封 面 ,封 面 长 27 ,宽 21 ,正 中央 是 一 个 与 整 个 封 面 长 宽 比 例 相 同 的 矩 形 ,如 果要 使 四 周 的 边 衬 所 占 面 积 是 封 面 面 积 的 四 分 之一 ,上 、 下 边 衬 等 宽 ,左 、 右 边 衬 等 宽 ,应 如 何 设计 四 周 边 衬 的 宽 度 ? 27 21分 析 :这 本 书 的 长 宽 之 比 是 9:7,正 中 央 的矩 形 两 边 之 比 也 为 9:7,由 此 判 断 上 下 边衬 与 左 右 边 衬 的 宽 度 之 比 也 为 9:7解 法 二 :设 上 下 边 衬 的 宽 为 9xcm， 左 右 边 衬 宽 为 7xcm依 题 意 得 212743)1421)(1827( xx解 方 程 得 4 336x(以 下 同 学 们 自 己 完 成 ) 方 程 的 哪 个 根 合乎 实 际 意 义 ?为 什 么 ? 例 2： 某 校 为 了 美 化 校 园 ,准 备 在 一 块 长 32米 ,宽 20米 的 长 方 形 场 地 上 修 筑 若 干 条 道 路 ,余下 部 分 作 草 坪 ,并 请 全 校 同 学 参 与 设 计 ,现 在有 两 位 学 生 各 设 计 了 一 种 方 案 (如 图 ),根 据 两种 设 计 方 案 各 列 出 方 程 ,求 图 中 道 路 的 宽 分别 是 多 少 ?使 图 (1),(2)的 草 坪 面 积 为 540米 2.(1) (2) (1)解 :(1)如 图 ， 设 道 路 的 宽 为x米 ， 则 540)220)(232( xx化 简 得 ， 025262 xx 0)1)(25( xx 1,25 21 xx其 中 的 x=25超 出 了 原 矩 形 的 宽 ， 应 舍 去 . 图 (1)中 道 路 的 宽 为 1米 . 则 横 向 的 路 面 面 积 为 ，分 析 ： 此 题 的 相 等 关 系是 矩 形 面 积 减 去 道 路 面积 等 于 540米 2。解 法 一 、 如 图 ， 设 道 路 的 宽 为 x米 ，32x 米 2纵 向 的 路 面 面 积 为 。20 x 米 2注 意 ： 这 两 个 面 积 的 重 叠 部 分 是 x2 米 2所 列 的 方 程 是 不 是 32 20 (32 20 ) 540 x x ？图 中 的 道 路 面 积 不 是 32 20 x x 米 2。(2) 解 法 二 ： 我 们 利 用 “ 图 形 经 过 移 动 ，它 的 面 积 大 小 不 会 改 变 ” 的 道 理 ，把 纵 、 横 两 条 路 移 动 一 下 ， 使 列方 程 容 易 些 （ 目 的 是 求 出 路 面 的宽 ， 至 于 实 际 施 工 ， 仍 可 按 原 图的 位 置 修 路 ） (2)草 坪 矩 形 的 长 （ 横 向 ） 为 ，草 坪 矩 形 的 宽 （ 纵 向 ） 。相 等 关 系 是 ： 草 坪 长 草 坪 宽 =540米 2(20-x)米（ 32-x)米即 32 20 540.x x 化 简 得 ： 2 1 252 100 0, 50, 2x x x x 再 往 下 的 计 算 、 格 式 书 写 与 解 法 1相 同 。 探 索 ： 新 思 路 1.如 图 是 宽 为 20米 ,长 为 32米 的 矩 形 耕 地 ,要 修 筑同 样 宽 的 三 条 道 路 (两 条 纵 向 ,一 条 横 向 ,且 互 相 垂直 ),把 耕 地 分 成 六 块 大 小 相 等 的 试 验 地 ,要 使 试 验地 的 面 积 为 570平 方 米 ,问 :道 路 宽 为 多 少 米 ?解 :设 道 路 宽 为 x米 ， 则 570)220)(232( xx化 简 得 ， 035362 xx 0)1)(35( xx 1,35 21 xx其 中 的 x=35超 出 了 原 矩 形 的 宽 ， 应 舍 去 .答 :道 路 的 宽 为 1米 . 2.如 图 ,长 方 形 ABCD,AB=15m,BC=20m,四 周 外围 环 绕 着 宽 度 相 等 的 小 路 ,已 知 小 路 的 面 积 为246m2,求 小 路 的 宽 度 . AB CD解 :设 小 路 宽 为 x米 ， 则 2015246)215)(220( xx化 简 得 ， 0123352 2 xx 0)412)(3( xx 舍 去 ）(241,3 21 xx答 :小 路 的 宽 为 3米 . 例 3. (2007年 ,舟 山 )如 图 ， 有 长 为 24米 的 篱 笆 ， 一 面利 用 墙 （ 墙 的 最 大 可 用 长 度 a为 10米 ） ， 围 成 中 间 隔有 一 道 篱 笆 的 长 方 形 花 圃 。 设 花 圃 的 宽 AB为 x米 ，面 积 为 S米 2， 如 果 要 围 成 面 积 为 45米 2的 花 圃 ， AB的 长 是 多 少 米 ？【 解 析 】 (1)设 宽 AB为 x米 ，则 BC为 (24-3x)米 ， 这 时 面 积S=x(24-3x)=-3x2+24x由 条 件 -3x2+24x=45化 为 ： x 2-8x+15=0解 得 x1=5， x2=3 0 24-3x 10得 14/3 x 8 x2不 合 题 意 ， AB=5， 即 花 圃 的 宽 AB为 5米 1.如 图 ， 用 长 为 18m的 篱 笆 （ 虚 线 部 分 ） ， 两 面 靠墙 围 成 矩 形 的 苗 圃 .要 围 成 苗 圃 的 面 积 为 81m2,应 该怎 么 设 计 ?解 :设 苗 圃 的 一 边 长 为 xm ,则 81)18( xx化 简 得 ， 081182 xx 0)9( 2 x答 :应 围 成 一 个 边 长 为 9米 的 正 方 形 .9 21 xx 4 如 图 ， 是 长 方 形 鸡 场 平 面 示 意 图 ， 一 边靠 墙 ， 另 外 三 面 用 竹 篱 笆 围 成 ， 若 竹 篱 笆 总长 为 35m， 所 围 的 面 积 为 150m2， 则 此 长 方形 鸡 场 的 长 、 宽 分 别 为 _ 这 里 要 特 别 注 意 :在 列 一 元 二 次 方程 解 应 用 题 时 ， 由 于 所 得 的 根 一般 有 两 个 ， 所 以 要 检 验 这 两 个 根是 否 符 合 实 际 问 题 的 要 求 列 一 元 二 次 方 程 解 应 用 题 的 步 骤 与 列 一 元 一 次 方 程 解 应 用 题 的 步 骤 类 似 ，即 审 、 设 、 列 、 解 、 检 、 答 小 结 1、 用 20cm长 的 铁 丝 能 否 折 成 面 积 为 30cm2的 矩 形 ,若 能 够 ,求 它 的 长 与 宽 ;若 不 能 ,请 说 明理 由 .解 :设 这 个 矩 形 的 长 为 xcm,则 宽 为 cm,)220( x30)220( xx 即 x2-10 x+30=0这 里 a=1,b= 10,c=30, 0203014)10(4 22 acb 此 方 程 无 解 . 用 20cm长 的 铁 丝 不 能 折 成 面 积 为 30cm 2的 矩 形 .
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