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32 0已 知 函 数 ( )= ， (0,1, ,若 ( )在 （ 0， 1上 是 增 函 数 ， 求 的 取 值 范 围练 。习 2 f x ax - x x af x a 3 )2 , 3 2 5例 1： 求 参 数 的 范 围若 函 数 f(x) 在 (- ,+ )上 单 调 递 增 ，求 a的 取 值 范 围ax - x x - 1.3.2函 数 的 极 值 与 导 数 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7a b x yO 0)( af 0)( bf0)( xaf 0)( xbf 0)( xaf 0)( xbf 0 x定 义 一 般 地 , 设 函 数 f (x) 在 点 x0附 近 有定 义 , 如 果 对 x0附 近的 所 有 的 点 , 都 有 )()( 0 xfxf 我 们 就 说 f (x0)是 f (x)的 一 个 极 大 值 , 点 x0叫 做 函 数 y = f (x)的 极 大 值 点 . 反 之 , 若 , 则 称 f (x0) 是 f (x) 的 一 个 极 小值 , 点 x0叫 做 函 数 y = f (x)的 极 小 值 点 .)()( 0 xfxf 极 小 值 点 、 极 大 值 点 统 称 为 极 值 点 , 极 大 值 和 极 小 值统 称 为 极 值 . y a bx 1 x2 x3 x4)( 1xf )( 4xf O x)( 2xf )( 3xf 观 察 上 述 图 象 ,试 指 出 该 函 数 的 极 值 点 与 极 值 ,并 说 出 哪 些 是 极 大 值 点 ,哪 些 是 极 小 值 点 . （ 1） 函 数 的 极 值 是 就 函 数 在 某 一 点 附 近 的 小 区 间而 言 的 ， 在 函 数 的 整 个 定 义 区 间 内 可 能 有 多 个 极 大值 或 极 小 值（ 2） 极 大 值 不 一 定 比 极 小 值 大（ 3） 可 导 函 数 f(x),点 是 极 值 点 的 必 要 条 件 是 在 该 点 的 导 数 为 0 例 ： y=x3 练 习 1 下 图 是 导 函 数 的 图 象 , 试 找 出 函 数 的 极 值 点 , 并 指 出 哪 些 是 极 大 值 点 , 哪 些 是 极 小 值 点 .)(xfy )(xfy a b xyx 1 O x2 x3 x4 x5 x6 )(xfy 因 为 所 以例 1 求 函 数 的 极 值 .4431)( 3 xxxf解 : ,4431)( 3 xxxf .4)( 2 xxf令 解 得 或,0)( xf ,2x .2x当 , 即 , 或 ;当 , 即 .0)( xf 0)( xf 2x 2x22 x当 x 变 化 时 , f (x) 的 变 化 情 况 如 下 表 :x (, 2) 2 (2, 2) 2 ( 2, +)0 0f (x) )(xf +单 调 递 增 单 调 递 减 单 调 递 增3/28 3/4所 以 , 当 x = 2 时 , f (x)有 极 大 值 28 / 3 ;当 x = 2 时 , f (x)有 极 小 值 4 / 3 . 求 解 函 数 极 值 的 一 般 步 骤 ：（ 1） 确 定 函 数 的 定 义 域（ 2） 求 方 程 f(x)=0的 根（ 3） 用 方 程 f(x)=0的 根 ， 顺 次 将 函 数 的 定 义 域 分 成若 干 个 开 区 间 ， 并 列 成 表 格（ 4） 由 f(x)在 方 程 f(x)=0的 根 左 右 的 符 号 ， 来 判 断f(x)在 这 个 根 处 取 极 值 的 情 况 练 习 2求 下 列 函 数 的 极 值 : ;27)( )2( ;26)( )1( 32 xxxfxxxf .3)( )4( ;126)( )3( 33 xxxfxxxf 解 : ,112)( )1( xxf 令 解 得 列 表 :,0)( xf .121xx 0f (x)(xf +单 调 递 增单 调 递 减 )121,( ),121( 121 2449所 以 , 当 时 , f (x)有 极 小 值121x .2449)121( f 练 习 2求 下 列 函 数 的 极 值 : ;27)( )2( ;26)( )1( 32 xxxfxxxf .3)( )4( ;126)( )3( 33 xxxfxxxf 解 : ,0273)( )2( 2 xxf令 解 得 列 表 :.3,3 21 xxx (, 3) 3 (3, 3) 3 ( 3, +)0 0f (x) )(xf +单 调 递 增 单 调 递 减 单 调 递 增54 54所 以 , 当 x = 3 时 , f (x)有 极 大 值 54 ;当 x = 3 时 , f (x)有 极 小 值 54 . 练 习 2求 下 列 函 数 的 极 值 : ;27)( )2( ;26)( )1( 32 xxxfxxxf .3)( )4( ;126)( )3( 33 xxxfxxxf 解 : ,0312)( )3( 2 xxf令 解 得 .2,2 21 xx所 以 , 当 x = 2 时 , f (x)有 极 小 值 10 ;当 x = 2 时 , f (x)有 极 大 值 22 .,033)( )4( 2 xxf令 解 得 .1,1 21 xx所 以 , 当 x = 1 时 , f (x)有 极 小 值 2 ;当 x = 1 时 , f (x)有 极 大 值 2 . 习 题 A组 #4下 图 是 导 函 数 的 图 象 , 在 标 记 的 点 中 , 在 哪 一 点 处(1)导 函 数 有 极 大 值 ?(2)导 函 数 有 极 小 值 ?(3)函 数 有 极 大 值 ?(4)函 数 有 极 小 值 ?)(xfy )(xfy )(xfy )(xfy )(xfy 2xx 1xx 4 xx 或 3xx 5xx
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