资源描述
第 24章 圆小 结 与 复 习要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 一 .与 圆 有 关 的 概 念1.圆 :平 面 内 到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 所 有 点 组 成 的 图 形 .2.弦 :连 结 圆 上 任 意 两 点 的 线 段 .3.直 径 :经 过 圆 心 的 弦 是 圆 的 直 径 ， 直 径 是 最 长 的 弦 .4.劣 弧 :小 于 半 圆 周 的 圆 弧 .5.优 弧 :大 于 半 圆 周 的 圆 弧 .要 点 梳 理 6.等 弧 :在 同 圆 或 等 圆 中 ， 能 够 互 相 重 合 的 弧 .7.圆 心 角 :顶 点 在 圆 心 ， 角 的 两 边 与 圆 相 交 .8.圆 周 角 :顶 点 在 圆 上 ， 角 的 两 边 与 圆 相 交 .注 意 (1)确 定 圆 的 要 素 ： 圆 心 决 定 位 置 ， 半 径 决 定大 小 (2)不 在 同 一 条 直 线 上 的 三 个 点 确 定 一 个 圆 . 9.外 接 圆 、 内 接 正 多 边 形 :将 一 个 圆 n(n3)等 分 ， 依次 连 接 各 等 分 点 所 得 到 的 多 边 形 叫 作 这 个 圆 的 内 接正 多 边 形 ， 这 个 圆 是 这 个 正 多 边 形 的 外 接 圆 .10.三 角 形 的 外 接 圆 外 心 ： 三 角 形 的 外 接 圆 的 圆 心 叫 做 这 个 这 个 三 角 形的 外 心 .注 意 (1)三 角 形 的 外 心 是 三 角 形 三 条 边 的 垂 直 平分 线 的 交 点 (2)一 个 三 角 形 的 外 接 圆 是 唯 一 的 . 11.三 角 形 的 内 切 圆 内 心 ： 三 角 形 的 内 切 圆 的 圆 心 叫 做 这 个 这 个 三 角 形 的内 心 .注 意 (1)三 角 形 的 内 心 是 三 角 形 三 条 角 平 分 线 的交 点 (2)一 个 三 角 形 的 内 切 圆 是 唯 一 的 . 12.正 多 边 形 的 相 关 概 念(1)中 心 ： 正 多 变 形 外 接 圆 和 内 切 圆 有 公 共 的 圆心 ， 称 其 为 正 多 边 形 的 中 心 .(2)半 径 ： 外 接 圆 的 半 径 叫 做 正 多 边 形 的 半 径 .(3)边 心 距 ： 中 心 到 正 多 边 形 一 边 的 距 离 叫 做 正 多 边形 的 边 心 距 .(4)中 心 角 ： 正 多 边 形 每 一 条 边 对 应 所 对 的 外 接 圆的 圆 心 角 都 相 等 ， 叫 做 正 多 边 形 的 中 心 角 . 二 、 与 圆 有 关 的 位 置 关 系1.点 与 圆 的 位 置 关 系判 断 点 与 圆 的 位 置 关 系 可 由 点 到 圆 心 的 距 离 d与 圆的 半 径 r比 较 得 到 设 O的 半 径 是 r， 点 P到 圆 心 的 距 离 为 d， 则 有点 P在 圆 内 ；d r 点 P在 圆 上 ；d=r 点 P在 圆 外 .d r 注 意 点 与 圆 的 位 置 关系 可 以 转 化 为 点 到 圆 心的 距 离 与 半 径 之 间 的 关系 ； 反 过 来 ， 也 可 以 通过 这 种 数 量 关 系 判 断 点与 圆 的 位 置 关 系 2.直 线 与 圆 的 位 置 关 系设 r为 圆 的 半 径 ， d为 圆 心 到 直 线 的 距 离直 线 与 圆 的位 置 关 系 图 形 d与 r的 关 系 公 共 点 个 数 公 共 点 名 称 直 线 名 称 2个交 点割 线1个切 点切 线0个相 离 相 切 相 交d r d=r d r 三 、 圆 的 基 本 性 质1. 圆 的 对 称 性圆 是 轴 对 称 图 形 ， 它 的 任 意 一 条 _所 在 的 直线 都 是 它 的 对 称 轴 . 直 径2. 有 关 圆 心 角 、 弧 、 弦 的 性 质 .(1)在 同 圆 中 ， 如 果 圆 心 角 相 等 ， 那 么它 们 所 对 的 弧 相 等 ， 所 对 的 弦 也 相 等 .(2)在 同 圆 或 等 圆 中 ， 如 果 两 个 圆 心 角 、两 条 弧 和 两 条 弦 中 有 一 组 量 相 等 ， 那 么它 们 所 对 应 的 其 余 各 组 量 都 分 别 相 等 . 圆 心 角相 等 弧相 等 弦相 等 (2)垂 径 定 理 的 推 论 ： 平 分 弦 (不 是 直 径 )的 直 径 垂 直 于这 条 弦 ， 并 且 平 分 这 条 弦 所 对 的 两 条 弧 ； 平 分 弧 的 直 径 垂 直 平 分 这 条 弧 所 对 的 弦 .三 、 有 关 定 理 及 其 推 论1.垂 径 定 理(1)垂 径 定 理 ： 垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 这 条 弦 ， 并 且平 分 弦 所 对 的 .注 意 条 件 中 的 “ 弦 ” 可 以 是 直 径 ； 结 论中 的 “ 平 分 弧 ” 指 平 分 弦 所 对 的 劣 弧 、 优 弧 两 条 弧 2.圆 周 角 定 理(1)圆 周 角 定 理 ： 圆 周 角 的 度 数 等 于 它 所 对 弧 上 的圆 心 角 度 数 的 一 半 .(3)推 论 2： 90 的 圆 周 角 所 对 的 弦 是 直 径 .注 意 “ 同 弧 ” 指 “ 在 一 个 圆 中 的 同 一 段 弧 ” ；“ 等 弧 ” 指 “ 在 同 圆 或 等 圆 中 相 等 的 弧 ” ； “ 同 弧或 等 弧 ” 不 能 改 为 “ 同 弦 或 等 弦 ” (4)推 论 3： 圆 的 内 接 四 边 形 的 对 角 互 补 .(2)推 论 1： 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 同 弧 或 等 弧 所 对 的圆 周 角 相 等 ； 相 等 的 圆 周 角 所 对 弧 相 等 . 3.与 切 线 相 关 的 定 理(1)判 定 定 理 ： 经 过 圆 的 半 径 的 外 端 且 垂 直 于 这条 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线 .(2)性 质 定 理 ： 圆 的 切 线 垂 直 于 经 过 切 点 的 半 径 .(3)切 线 长 定 理 ： 经 过 圆 外 一 点 所 画 的 圆 的 两 条切 线 ， 它 们 的 切 线 长 相 等 .这 一 点 和 圆 心 的 连 线平 分 这 两 条 切 线 的 夹 角 . 四 、 圆 中 的 计 算 问 题1.弧 长 公 式半 径 为 R的 圆 中 ， n 圆 心 角 所 对 的 弧 长 l=_.180n R2.扇 形 面 积 公 式半 径 为 R， 圆 心 角 为 n 的 扇 形 面 积 S= _.2360n R 12 lR或3.弓 形 面 积 公 式 OO弓 形 的 面 积 =扇 形 的 面 积 三 角 形 的 面 积 (3)圆 锥 的 侧 面 积 为 .(4)圆 锥 的 全 面 积 为 .lr 2lr r 4.圆 锥 的 侧 面 积(1)圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 .(2)如 果 圆 锥 母 线 长 为 l， 底 面 圆 的 半 径 为 r， 那 么 这个 扇 形 的 半 径 为 ， 扇 形 的 弧 长 为 .扇 形l 2 r 5.圆 内 接 正 多 边 形 的 计 算(1)正 n边 形 的 中 心 角 为 360n(2)正 n边 形 的 边 长 a， 半 径 R， 边 心 距 r之 间 的 关 系 2 2 2( ) .2aR r (3)边 长 a， 边 心 距 r的 正 n边 形 的 面 积 为1 1 .2 2S nar lr 其 中 l为 正 n边 形 的 周 长 . 考点一 圆周角定理例 1 在 图 中 ， BC是 O的 直 径 ， AD BC,若 D=36 ,则 BAD的 度 数 是 （ ）A. 72 B.54 C. 45 D.36 AB CDB 1351.如 图 a， 四 边 形 ABCD为 O的 内 接 正 方 形 ， 点 P为劣 弧 BC上 的 任 意 一 点 （ 不 与 B,C重 合 ） ， 则 BPC的度 数 是 . CDBA PO图 a针对训练 2.如 图 b， 线 段 AB是 直 径 ， 点 D是 O上 一 点 ， CDB=20 ,过 点 C作 O的 切 线 交 AB的 延 长线 于 点 E,则 E等 于 .O CA B ED图 b50 考点二 垂径定理 例 2 工 程 上 常 用 钢 珠 来 测 量 零 件 上 小 圆 孔 的 宽 口 ， 假 设钢 珠 的 直 径 是 10mm,测 得 钢 珠 顶 端 离 零 件 表 面 的 距 离 为8mm,如 图 所 示 ， 则 这 个 小 圆 孔 的 宽 口 AB的 长 度 为 mm.8mmA B8CDO解 析 设 圆 心 为 O， 连 接 AO,作 出 过点 O的 弓 形 高 CD， 垂 足 为 D,可 知AO=5m m ,OD=3m m ,利 用 勾 股 定 理进 行 计 算 ， AD=4m m ， 所 以AB=8m m . 2AO BCE F图 a3.如 图 a， 点 C是 扇 形 OAB上 的 AB的 任 意 一 点 ， OA=2,连 接 AC,BC,过 点 O作 OE AC,OF BC， 垂 足 分 别 为E,F， 连 接 EF， 则 EF的 长 度 等 于 .（针对训练 3 A BC DP O图 b DP4.如 图 b,AB是 O的 直 径 ， 且 AB=2， C,D是 同 一 半 圆上 的 两 点 ， 并 且 AC与 BD的 度 数 分 别 是 96 和 36 ，动 点 P是 AB上 的 任 意 一 点 ， 则 PC+PD的 最 小 值是 . （ 例 3 如 图 ， O为 正 方 形 对 角 线 上 一 点 ， 以 点 O 为 圆 心 ，OA长 为 半 径 的 O与 BC相 切 于 点 M. (1)求 证 ： CD与 O相 切 ； AB CDOM(1)证 明 ： 过 点 O作 ON CD于 N.连 接 OM BC与 O相 切 于 点 M, OMC=90 , 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， 点 O在 AC上 . AC是 BCD的 角 平 分 线 ， ON=OM， CD与 O相 切 . N考点三 与圆有关的位置关系 AB CDOM(2)解 : 正 方 形 ABCD的 边 长 为 1,AC= . 设 O的 半 径 为 r,则 OC= .又 易 知 OMC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， OC= 因 此 有 ， 解 得 . 22 r 2r2 2r r 2 2r （ 2） 若 正 方 形 ABCD的 边 长 为 1， 求 O的 半 径 . 方法归纳（ 1） 证 切 线 时 添 加 辅 助 线 的 解 题 方 法 有 两 种 ： 有 公 共 点 ， 连 半 径 ， 证 垂 直 ； 无 公 共 点 ， 作垂 直 ， 证 半 径 ； 有 切 线 时 添 加 辅 助 线 的 解 题 方 法是 ： 见 切 点 ， 连 半 径 ， 得 垂 直 ；（ 2） 设 未 知 数 ， 通 常 利 用 勾 股 定 理 建 立 方 程 . 5. O的 半 径 为 R， 圆 心 到 点 A的 距 离 为 d， 且 R、 d分别 是 方 程 x2 6x 8 0的 两 根 ， 则 点 A与 O的 位 置关 系 是 （ ）A 点 A在 O内 部 B 点 A在 O上C 点 A在 O外 部 D 点 A不 在 O上解 析 ： 此 题 需 先 计 算 出 一 元 二 次 方 程 x2 6x 8 0的两 个 根 ， 然 后 再 根 据 R与 d的 之 间 的 关 系 判 断 出 点 A与 O的 关 系 .D针对训练 6.（ 多 解 题 ） 如 图 ， 直 线 AB,CD相 交 于 点 O， AOD=30 ,半 径 为 1cm 的 P的 圆 心 在 射 线 OA上 ， 且与 点 O的 距 离 为 6cm ,如 果 P以 1cm /s的 速 度 沿 由 A向 B的方 向 移 动 ， 那 么 秒 钟 后 P与 直 线 CD相 切 .4或 8解 析 ： 根 本 题 应 分 为 两 种 情 况 ： (1) P在 直 线 AB下 面 与直 线 CD相 切 ； (2) P在 直 线 AB上 面 与 直 线 CD相 切 .A BD CP P2P1E 例 4 已 知 ： 如 图 ， PA， PB是 O的 切 线 ， A、 B为 切 点 ，过 上 的 一 点 C作 O的 切 线 ， 交 PA于 D， 交 PB于 E.(1)若 P 70 ， 求 DOE的 度 数 ；AB解 ： (1)连 接 OA、 OB、 OC， O分 别 切 PA、 PB、 DE于 点 A、 B、 C， OA PA， OB PB， OC DE,AD CD,BE CE， OD平 分 AOC， OE平 分 BOC. DOE AOB. P AOB 180 ， P 70 ， DOE 55 .1 2 (2) O分 别 切 PA、 PB、 DE于 A、 B、 C， AD CD， BE CE. PDE的 周 长 PD PE DE PD AD BE PE 2PA 8(cm )(2)若 PA 4 cm ， 求 PDE的 周 长 例 5 如 图 ， 四 边 形 OABC为 菱 形 ， 点 B、 C在 以 点 O为 圆心 的 圆 上 , OA=1, AOC=120 ， 1= 2， 则 扇 形OEF的 面 积 ？解 ： 四 边 形 OABC为 菱 形 OC=OA=1 AOC=120 ， 1= 2 FOE=120 又 点 C在 以 点 O为 圆 心 的 圆 上 2120 1= 360 3S扇 形 OEF p p创 = 考点四 圆中的计算问题 7.（ 1） 一 条 弧 所 对 的 圆 心 角 为 135 ， 弧 长 等 于 半 径为 5cm 的 圆 的 周 长 的 3倍 ， 则 这 条 弧 的 半 径 为 . （ 2） 若 一 个 正 六 边 形 的 周 长 为 24， 则 该 正 六 边 形 的 面积 为 _. 40cm24 3针对训练 8.如 图 ， 已 知 C， D是 以 AB为 直 径 的 半 圆 周 上 的 两 点 ， O是 圆 心 ， 半 径 OA=2， COD=120 ， 则 图 中 阴 影 部 分的 面 积 等 于 _23p 例 6 如 图 所 示 ， 在 正 方 形 ABCD内 有 一 条 折 线 段 ， 其中 AE EF， EF FC， 已 知 AE=6， EF=8， FC=10，求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 . 解 ： 将 线 段 FC平 移 到 直 线 AE上 ， 此 时 点 F与 点 E重 合 ， 点 C到 达 点 C的 位 置 .连 接 AC， 如 图 所 示 .根 据 平 移 的 方 法 可 知 ， 四 边 形 EFCC是 矩 形 . AC=AE+EC=AE+FC=16， CC=EF=8.在 Rt ACC中 ， 得 2 2 2 2AC= AC +CC = 16 +8 =8 5 正 方 形 ABCD外 接 圆 的 半 径 为 4 5 正 方 形 ABCD的 边 长 为 ACAB= 4 102 2 2= 4 5 4 10 =80 160S 阴 影 （ ） （ ） 当 图 中 出 现 圆 的 直 径 时 ， 一 般 方 法 是 作 出直 径 所 对 的 圆 周 角 ， 从 而 利 用 “ 直 径 所 对 的 圆周 角 等 于 ” 构 造 出 直 角 三 角 形 ， 为 进 一 步 利用 勾 股 定 理 或 锐 角 三 角 函 数 提 供 了 条 件 .方法总结90 9. 如 图 ， 正 六 边 形 ABCDEF内 接 于 半 径 为 5的 O，四 边 形 EFGH是 正 方 形 求 正 方 形 EFGH的 面 积 ；解 ： 正 六 边 形 的 边 长 与 其 半 径 相 等 ， EF=OF=5. 四 边 形 EFGH是 正 方 形 ， FG=EF=5， 正 方 形 EFGH的 面 积 是 25.针对训练 正 六 边 形 的 边 长 与 其 半 径 相 等 ， OFE=600. 正 方 形 的 内 角 是 900， OFG= OFE + EFG=600+900=1500.由 得 OF=FG， OGF= （ 1800- OFG） = （ 1800-1500） =150.1212 连 接 OF、 OG， 求 OGF的 度 数 考点五 与圆有关的作图 ab c d a例 7 如 何 解 决 “ 破 镜 重 圆 ” 的 问 题 ：O 例 8 如 何 作 圆 内 接 正 五 边 形 怎 么 作 ？O E72B A DC （ 1） 用 量 角 器 作 72 的 中 心 角 ，得 圆 的 五 等 分 点 ；（ 2） 依 次 连 接 各 等 分 点 ， 得 圆的 内 接 正 五 边 形 . 圆 圆 的 性 质与 圆 有 关 的位 置 关 系弧 长 与 扇 形 面 积 的 计 算圆 的 对 称 性 圆 是 中 心 对 称 图 形垂 径 定 理四 边 形 的 内 接 圆 、 三 角 形 的 外 接 圆直 线 与 圆 的位 置 的 关 系 切 线 长 定 理课 堂 小 结圆 的 概 念 圆 心 角 、 圆 周 角 、 弧 与 弦 之 间 的 关 系圆 是 轴 对 称 图 形 ， 任 意 一条 直 径 所 在 直 线 都 是 它 的对 称 轴切 线 三 角 形 的 内 切 圆正 多 边 形 与 圆作 图
展开阅读全文