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第 四 讲二 次 根 式 一 、 二 次 根 式 的 相 关 概 念1.二 次 根 式 :形 如 _(_)的 代 数 式 .2.二 次 根 式 的 性 质 :(1) (a 0)是 _数 ;(2) (a 0)=_;(3)( )2=_(a 0).aa 2aa a 0非 负 aa 二 、 二 次 根 式 的 运 算1.最 简 二 次 根 式 :最 简 二 次 根 式 要 同 时 具 备 下 列 两 个 条 件 :(1)被 开 方 数 不 含 _.(2)被 开 方 数 中 不 含 _的 因 数 或 因 式 .分 母 能 开 得尽 方 2.二 次 根 式 的 乘 除 :(1) =_(a 0,b 0).(2) =_(a 0,b0).3.积 、 商 平 方 根 的 性 质 :(1) =_(a 0,b 0).(2) =_(a 0,b0).a b abab aba b a bab ab 4.二 次 根 式 的 加 减 :先 将 二 次 根 式 化 成 _,再 将 _相 同 的 二 次 根 式 合 并 . 最 简 二 次 根 式被 开 方 数 【 自 我 诊 断 】 (打 “ ” 或 “ ” )1.要 使 式 子 有 意 义 ,则 m的 取 值 范 围 是 m -1且 m 1. ( )2.计 算 的 结 果 是 . ( )3. 是 最 简 二 次 根 式 . ( )m 1m 12 3 613 4. ( )5. ( )6. ( )7.计 算 的 结 果 是 -3. ( )a b ab ab a b 3 a a 3 23 考 点 一 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 【 示 范 题 1】 (1)(2017 济 宁 中 考 )若 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ,则 x满 足 的 条 件 是 ( )A.x B.x C.x= D.x 2x 1 1 2x 1 1212 1212 (2)(2017 日 照 中 考 )若 式 子 有 意 义 ,则 实 数 a的 取 值 范 围 是 ( )A.a -1 B.a 2C.a -1且 a 2 D.a2 a 1a 2 【 思 路 点 拨 】 (1)根 据 被 开 方 式 大 于 或 等 于 0,列 不 等式 组 求 解 .(2)根 据 被 开 方 式 大 于 或 等 于 0,且 分 母 不 等 于 0列 不 等式 组 求 解 . 【 自 主 解 答 】 (1)选 C.由 题 意 可 知 : 解得 :x= .(2)选 C.式 子 有 意 义 ,则 a+1 0,且 a-2 0,解 得 :a -1且 a 2. 2x 1 01 2x 0, 12 a 1a 2 【 答 题 关 键 指 导 】 二 次 根 式 有 无 意 义 的 条 件 需 注 意 的 两 个 问 题(1)如 果 一 个 式 子 中 含 有 多 个 二 次 根 式 ,那 么 它 们 有 意义 的 条 件 是 :各 个 二 次 根 式 中 的 被 开 方 数 都 必 须 是 非负 数 . (2)如 果 所 给 式 子 中 含 有 分 母 ,则 除 了 保 证 被 开 方 数 为非 负 数 外 ,还 必 须 保 证 分 母 不 为 零 . 【 变 式 训 练 】1.(2017 成 都 中 考 )二 次 根 式 中 ,x的 取 值 范围 是 ( )A.x 1 B.x1C.x 1 D.x1 D.x2 x 2x 1 【 解 析 】 选 B.根 据 题 意 得 ,解 得 ,所 以 x 2. x 2 0 x 1 0 x 2x 1 3.(2017 天 水 中 考 )若 式 子 有 意 义 ,则 x的 取值 范 围 是 _.【 解 析 】 根 据 题 意 得 所 以 x -2且 x 0.答 案 :x -2且 x 0 x 2xx 2 0 x 2x 0 x 0 解 得， ， 考 点 二 二 次 根 式 的 性 质 【 示 范 题 2】 (1)(2017 枣 庄 中 考 )实 数 a,b在 数 轴 上对 应 点 的 位 置 如 图 所 示 ,化 简 |a|+ 的 结 果 是 ( )A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b 2a b (2)(2017 东 营 中 考 )若 |x2-4x+4|与 互 为 相反 数 ,则 x+y的 值 为 ( )A.3 B.4 C.6 D.92x y 3 【 思 路 点 拨 】 (1)直 接 利 用 数 轴 上 a,b的 位 置 ,得 出a0,进 而 得 出 a-b0,再 利 用 绝 对 值 和 二 次 根 式 的性 质 进 行 化 简 得 答 案 .(2)先 根 据 互 为 相 反 数 的 定 义 列 出 式 子 ,再 根 据 两 个 非负 数 的 和 等 于 0,每 一 个 非 负 数 都 等 于 0,求 解 . 【 自 主 解 答 】 (1)选 A.由 题 图 可 知 :a0,得 a-b0),利 用 这 两 个 等 式可 以 化 简 二 次 根 式 . ab a b a ab b (2)运 算 结 果 应 尽 可 能 化 简 .在 解 决 实 际 问 题 时 ,二 次根 式 的 结 果 可 按 要 求 取 近 似 值 (将 无 理 数 转 化 为 有 理数 ).(3)在 二 次 根 式 的 运 算 或 化 简 过 程 中 ,乘 法 公 式 、 因 式分 解 等 相 关 法 则 、 方 法 均 可 使 用 . 【 变 式 训 练 】1.(2017 枣 庄 中 考 )下 列 计 算 ,正 确 的 是 ( )13 1 3A. 8 2 6B.| 2|2 21C. 8 2 2D.( ) 22 【 解 析 】 选 D. ,A错 误 ; ,B错 误 ; =2,C错 误 ; ,D正 确 .8 2 2 2 2 2 1 3| 2|2 2 3 8 11( ) 22 2.(2017 滨 州 中 考 )下 列 计 算 :(1)( )2=2.(2) =2.(3)(-2 )2=12.(4) =-1,其 中 结 果 正 确 的 个 数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.42 22 3 2 3 2 3 【 解 析 】 选 D.(1)根 据 “ ( )2=a” 可 知 ( )2=2成立 .(2)根 据 “ =|a|” 可 知 =2成 立 .(3)根 据“ (ab)2=a2b2” 可 知 ,计 算 (-2 )2,可 将 -2和 分 别平 方 后 ,再 相 乘 .所 以 这 个 结 论 正 确 .(4)根 据“ (a+b)(a-b)=a2-b2” ,( + )( - )=( )2-( )2=2-3=-1,所 以 正 确 .a 22a 2( 2)3 32 3 2 32 3 3.(2017 山 西 中 考 )计 算 : =_.【 解 析 】 答 案 :3 4 18 9 2 4 18 9 2 12 2 9 2 12 9 2 3 2. 2 4.(2017 南 京 中 考 )计 算 的 结 果 是_.【 解 析 】 答 案 : 12 8 6 12 8 6 2 3 4 3 6 3. 6 3
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