讲授通解通法提高教学效率

讲授通解通法，提高教学效率 摘要】在高中数学教学过程中，教师要尽可能地向学生讲授“通解通法.让学生不仅学会一道题目，而是一类题目.对教学中，课堂上讲的每一道题目，都要给予认真全面地思考，才能真正做到“授业解惑，真正实现高效教学，建设一个和谐、完美的课堂.【关键词】通解通法;函数;不等式;单调性等众所周知，在教学过程中，教师应该掌握并向学生讲授一定的解题技巧.但如何实现真正的高效教学，却值得我们一线教师更多思考.笔者认为需要向学生传授必要且适宜的“通解通法.现在的课外市场充满着各类质量参差不齐的教学参考书，提供的某些问题的解决方法，貌似是“通解通法，实那么不然.作为一线教师，我们需要认真思考，仔细钻研，引导学生，并给出学生易于接受的，且能够举一反三的“通解通法.以下笔者通过几个例题来和大家一起探讨.例1定义在R上的函数y=fx，满足当x0时，fx1，且对任意的x，yR，都有fx+y=fxfy，求证：对任意的xR，都有fx0.分析此题是人教版必修一函数章节中常见的一类题型，以下提供两种方法供读者体会.解法一对任意的xR，都有fx=fx2+x2=fx2fx2=f2x20.假设存在x0R，使fx0=0，那么对任意的xR，都有fx=fx-x0+x0=fx-x0fx0=0.这与条件“当x0时，fx1矛盾，所以假设不成立，所以对任意的xR，都有fx=f2x20.解法二在fx+y=fxfy中，令y=0，有fx=fxf0.x0时，fx1，f0=1.设x0，f-x1，那么f0=fx+-x=fxf-x，fx=f0f-x=1f-x0.综上所述，对任意的xR，都有fx0.比拟，解法二更为通用，利用x0时，fx1，再求证x=0，x0时，fx0也满足，也符合我们在类似题目中常和学生提到的“求什么，设什么的解题思路.例2在ABC中，A，B，C的对边的边长分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，求B的取值范围.分析此题是高三复习课比拟常见的一道题目，它考查了等差数列、三角函数、解不等式等核心知识点，是一道区分度很高的题目.一般的解法是：因为a，b，c成等差数列，所以b=a+c2，所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac=34a2+c22ac-14，根据根本不等式，a2+c22ac，所以cosB34-14=12，又B0，且函数y=cosx在x0，上是减函数，所以B0，3.评注上述解法很巧妙地利用了根本不等式.很多人认为这就是解决本类题目的“通解通法，殊不知此法并不严谨.原因在于此法只考虑了cosB的下限，上限没有确定.也就是说，根据题目的条件，cosB的上限是否一定是1呢？当然，我们可以从cosB=34a2+c22ac-14出发，cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14，如果根据条件，得出ac的取值范围，再利用函数的单调性，cosB的范围就确定了，问题就迎刃而解了.解析b=a+c2，不妨设abc.因为a，b，c是ABC的三边长，所以a+bc，故a+a+c2c，整理得13cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14.令t=ac，則t13，1，所以，y=cosB=38t+1t-14，当t13，1时，y=381-1t2=38t2-1t20，所以y=38t+1t-14在t13，1上是减函数，所以cosB12，1，所以B0，3.评注通过推导，我们发现，cosB的上限确实是1.有些人会认为，这样的考虑根本没有必要.实际上，我们看了以下的变式，就知道，如此考虑是非常有必要的.变式1在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边边长分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，求B的取值范围.分析本变式与上题不同的地方是多了“锐角两个字.要保证ABC是锐角三角形，只需要ABC的三个角都是锐角，也就是三个角中最大的角是锐角即可.虽然还是考虑利用余弦定理求出cosB的范围，但是不能单纯地依赖根本不等式了.解析因为a，b，c成等差数列，所以b=a+c2，不妨设abc.因为a，b，c是锐角三角形ABC的三边长，所以，a+bc，1cosC0.而cosC=a2+b2-c22ab，所以a+a+c2c，a2+b2-c20，a2+b2-c235，又ac，所以1ac35，cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14，令t=ac，那么t35，1，所以y=cosB=38t+1t-14，当t35，1时，y=381-1t2=38t2-1t20，所以y=38t+1t-14在t35，1上是减函数，所以cosB12，35，所以，Barccos35，3.评注此题如果不考虑cosB的上限，直接用根本不等式，那么此题就会出错.也就是说，原来利用根本不等式的方法对变式1已经不适合了.利用函数单调性的解法才是真正的“通解通法.变式2在钝角三角形ABC中，A，B，C的对边的边长分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，求B的取值范围.答案B0，arccos35.过程留给读者.变式3在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边的边长分别是a，b，c，且a，b，c成等比数列，求B的取值范围.解析因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，不妨设abc.因为a，b，c是锐角三角形ABC的三边长，所以a+bc，1cosC0.而cosC=a2+b2-c22ab，所以a+acc，a2+b2-c20，a2+b2-c25-12，又ac，所以1ac5-12，cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12a2+c2ac-12=12ac+ca-12，令t=ac，那么t5-12，1，所以y=cosB=12t+1t-12，当t35，1时，y=121-1t2=12t2-1t20，所以y=38t+1t-14在t5-12，1上是减函数，所以cosB12，5-12，所以Barccos5-12，3.例3设fx=1+ax1-axa0且a1，当0分析此题是2021年高考理科四川卷22题第3问.它考查了函数、不等式等根底知识，是一道区分度很高的题目.参考书或者网络上给出的解法是：设a=11+p，那么p1，1当n=1时，|f1-1|=2p2当n2时，设k2kN*时，那么fk=1+pk+11+pk-1=1+21+pk-1=1+2C1kp+C2kp2+Ckkpk，所以1从而n-1所以n综上所述，总有nk=1fk-n评注这种构造a=11+p，然后利用二项式定理展开，从而放缩的证明方法很巧妙.这种技巧性非常强的证法很难想到，当然不是通解通法.其实，我们可以如此思考这道问题，从而给出适合此题的、更为通用的解法：fk=1+ak1-ak=1+2ak1-ak，kN*0|f1-1|=2a1-a=21a-12112-1=2当n=2时，|f1+f2-2|=2a1-a+2a21-a2=21a-1+21a2-12112-1+21122-1=83于是，我们会猜想nk=1fk-n事实上，nk=1fk-n=nk=12ak1-ak，而ga=2ak1-ak在a0，12上是增函数，故ga0，22k-1，从而nk=1fk-n=nk=12ak1-ak=nk=12ak1-aknk=122k-1，关于nk=122k-1解析nk=122k-1=2nk=112k-1=2nk=12k+1-12k-12k+1-1=41-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=41-12n+1-1ga=2ak1-ak在a0，12上是增函数，故ga0，22k-1，从而nk=1fk-n=nk=12ak1-ak=nk=12ak1-aknk=122k-1评注如此的分析和解答，才是此题的常规解答方法，才是适合此题的“通解通法.方法方法，利用的函数单调性，从而精准地确定cosB的取值范围，进而确定B的取值范围，这才是本类题目的“通解通法.对例3来说，参考书或者网络上给出的解法具有太强的技巧性，而本文提供的思路和方法是学生易于接受的，也是考生能够“想得到，做得出的.诚然，我们也需明白，没有适合所有题型的通解通法，因为题目条件千變万化，但我们对教学中、课堂上讲的每一道题目，只有给予认真全面地思考，才能真正做到“授业解惑，才能实现真正的高效教学.建设一个和谐，完美，高效的课堂，不正是每一名优秀教师所期待的嘛！【参考文献】【1】丁聪颖.一道函数高考题的别解、巧解与通解J.福建中学数学，20212：45-47.【2】李建潮.函数问题的通法通解J.中学生数学：高中版，20217：26.【3】孙娜.高中数学教学中“通解通法能力的培养J.高中数理化，20212：5.