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MATLAB提供大量具有强大数值计算功能的函数。本章着重介绍关于数值计算的函数。 1多项式表示法 2多项式求值 3多项式乘法和除法 4多项式的微积分 5多项式的根和由根创建多 6多项式部分分式展开 7多项式曲线拟合 8多曲线拟合图形用户接口 MATLAB提供了关于多项式的函数： 多项式的值； 多项式的根和微分； 多项式拟合曲线； 部分分式。 多项式函数 MATLAB采用行向量表示多项式系数，多项式系数按降幂排列。 函数poly2str()将多项式系数向量转换为完整形式。 函数polyval()计算多项式的值，其具体使用方法如下： y = polyval(p,x)，p为多项式系数行向量，x代入多项式的值； Y = polyvalm(p,X)，把矩阵X代入多项式p中进行计算。 函数conv()和deconv()进行多项式乘法和除法，其具体使用方法如下： w = conv(u,v)，实现多项式乘法，返回结果多项式的系数行向量； q,r = deconv(u, v)，实现多项式除法。 （1）多项式的微分 函数polyder()计算多项式的微分，其具体使用方法如下： k = polyder(p)，返回多项式p微分的系数向量； k = polyder(a,b)，返回多项式a b乘积微分的系数向量； q,d = polyder(b,a)，返回多项式b/a微分的系数向量。 函数polyint()计算多项式的不定积分，其具体使用方法如下： s=polyint(p,k)，返回多项式p不定积分的系数向量。 （1）多项式的根 函数roots()求多项式的根，其具体使用方法如下： r = roots(c)，返回多项式c的所有根r。 （2）由根创建多项式 函数poly()实现由根创建多项式，其具体使用方法如下： p = poly(r)，输入r是多项式所有根，返回值为多项式的系数向量； p = poly(A)，输入A是方阵，返回值为A的特征多项式的系数向量。 函数residue()将多项式之比按部分分式展开，其具体使用方法如下： r,p,k = residue(b,a)，求多项式b/a的部分分式展开； b,a = residue(r,p,k)，从部分分式得到多项式向量。 函数polyfit()采用最小二乘法对给定数据进行多项式拟合，其具体使用方法如下： p = polyfit(x,y,n)，采用n次多项式p来拟合数据x和y。 运行结果如下图所示。 曲线拟合的图形用户接口可通过图形窗口的【Tools】菜单中【Basic Fitting】选项启动。 运行结果如下图所示。 6.2.1 一维插值6.2.2 二维插值 插值是根据已知输入/输出数据集和当前输入估计输出值。MATLAB提供大量的插值函数，如下表所示。插值函数 一维插值就是对函数y=f(x)进行插值，一维插值的原理如下图所示。 函数interp1()实现一维插值，其具体使用方法如下： yi=interp1(x,y,xi)，x，y是已知数据集且具有相同长度的向量； yi = interp1(y,xi)，默认x为1:n，其中n为向量y的长度； yi = interp1(x,y,xi,method)，method用于指定插值的方法。 运行结果如下图所示。 二维插值是对两变量的函数z=f(x,y)进行插值，二维插值的原理如下图所示： 函数interp2()实现二维插值,其具体使用方法如下： zi = interp2(x,y,z,xi,yi)，x,y,z为原始数据，返回值zi是插值结果； zi = interp2(z,xi,yi)，若z=nm，则x=1:n，y=1:m； zi = interp2(x,y,z,xi,yi,method)，method用于指定插值的方法 。 运行结果如下图所示。 6.3.1 基本数据分析函数 6.3.2 协方差和相关系数矩阵 6.3.3 有限差分和梯度 6.3.4 信号滤波和卷积 6.3.5 傅立叶变换 MATLAB提供大量数据分析的函数，首先给出如下约定： 一维数据分析时，数据可以用行向量或者列向量来表示； 二维数据分析时，数据可以用多个向量或者二维矩阵来表示。 1最大值、最小值、平均值、 中间值、元素求和 2标准差和方差 3元素排序 续表 运行结果如下，并如下图所示。 MATLAB提供对实数、复数和字符串的排序函数。 函数sort()实现数值的排序； 函数sortrows()实现对行的排序。 函数cov()计算随机变量的协方差矩阵，其具体使用方法如下： C = cov(X)，计算X代表的随机变量的协方差矩阵； C = cov(x,y)，x和y必须是具有相同长度的向量； C = cov(X,1)，计算X代表的随机变量的协方差矩阵； C = cov(x,y,1)，x和y必须是具有相同长度的向量。 函数corrcoef()计算随机变量的相关系数矩阵，其具体使用方法如下： R = corrcoef(X)，返回X代表的随机变量的相关系数矩阵； R = corrcoef(x,y)，x和y必须是具有相同长度的向量。 函数diff()计算差分，其具体使用方法如下： Y = diff(X) ，X可以是向量或矩阵； Y = diff(X,n) ，返回n阶差分 ； Y = diff(X,n,dim) ，返回在dim维上的n阶差分 。 运行结果如下图所示。 函数gradient()计算梯度，其具体使用方法如下： FX = gradient(F)，返回F在x方向上的梯度； FX,FY = gradient(F)，FX是F在x方向的近似偏导数，FY是F在y方向的近似偏导数； Fx,Fy,Fz,. = gradient(F)，返回N个方向的近似偏导数； . = gradient(F,h)，h用于指定所有方向上自变量的间距； . = gradient(F,h1,h2,.)，用多个标量来指定各个方向上自变量的间距。 运行结果如下图所示。 1一维数字滤波 2信号卷积 3去除信号直流或线性成分 MATLAB提供如下表所示的信号滤波和卷积的函数。信号滤波和卷积函数 函数filter()实现一维数字滤波，该函数的具体使用方法如下： y = filter(b,a,X)，X为用于滤波的数据，Y为数据X通过滤波器之后的值； y,zf = filter(b,a,X)，附加返回一个表示数据延迟时间的量zf； y,zf = filter(b,a,X,zi)，zi为初始数据延迟，zf等于最终数据延迟； y = filter(b,a,X,zi,dim)，在dim维上进行数据滤波。 函数conv()计算卷积。 运行结果如下图所示。 detrend()函数实现去除信号中的直流或者线性成分，其具体使用方法如下： y = detrend(x)，如果x是一个向量，从信号x中减去线性成分；如果x是一个矩阵，去除x所有列中的线性成分； y = detrend(x,constant)，如果x是一个向量，减去信号中的直流成分；如果x是一个矩阵，去除所有列中的直流成分； y = detrend(x,linear,bp)，从信号x中减去分段线性函数。 1一维傅立叶变换和逆变换2二维傅立叶变换和逆变换 傅立叶变换既可以对连续信号进行变换，也可以对离散信号进行变换。本小节只介绍离散傅立叶变换。 函数fft()实现一维离散傅立叶变换，其具体使用方法如下： Y = fft(X)，如果X是向量，返回向量X的傅立叶变换；如果X是矩阵，函数对矩阵X的每一列进行傅立叶变换； Y = fft(X,n)，用输入n指定傅立叶变换的长度； Y = fft(X,dim)，在dim维上进行傅立叶变换； Y = fft(X,n,dim)，在dim维上进行傅立叶变换，并指定傅立叶变换的长度。 函数ifft()实现一维离散傅立叶逆变换，其具体使用方法与函数fft()类似，只是添加一个选项。 y = ifft(., symmetric)； y = ifft(., nonsymmetric) 。 函数fft2()实现二维傅立叶变换，用函数ifft2来实现二维傅立叶逆变换。函数fft2()的具体使用方法如下： Y = fft2(X)，X是矩阵，对矩阵X进行二维傅立叶变换； Y = fft2(X,m,n)，m和n指定傅立叶变换的长度。 1函数的表示 2函数画图 3函数最小值和零点 4数值积分 5在功能函数中使用含参函数 函数可以通过以下方式来表示： M文件； 匿名函数； 函数inline()。 MATLAB提供函数画图的函数如下表所示。函数画图的函数 以函数fplot()为例介绍画图函数的用法，其具体使用方法如下： fplot(function,limits)，function为待画图的函数，limits是横坐标数值范围或横纵坐标数值范围； fplot(function,limits,LineSpec)，LineSpec指定画图的线条属性； fplot(function,limits,tol)，tol指定画图相对精度； fplot(function,limits,tol,LineSpec)，指定画图的线条属性和画图相对精度。 运行结果如下图所示。 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 函数y=cos(x+1)/(x2+1) x y 求函数的最小值和零点的函数，如下表所示。求函数最小值和零点 函数fminbnd()求一元函数在给定区间内的最小值，其具体使用方法如下： x = fminbnd(fun, ,x1,x2)，在区间x1 x2内寻找函数最小值； x = fminbnd(fun,x1,x2,options)，使用options选项来指定的优化器的参数； x,fval = fminbnd(.)，附加返回函数最小值。 函数fminsearch()求多元函数的最小值。其具体使用方法如下： x = fminsearch(fun,x0)，在初始x0附近寻找局部最小值； x = fminsearch(fun,x0,options)，使用options选项来指定优化器的参数； x,fval = fminsearch(.)，附加返回函数最小值。 函数fzero()求一元函数的零点，其具体使用方法如下： x = fzero(fun,x0)，在x0点附近寻找函数的零点； x = fzero(fun,x0,x1)，在x0,x1区间内寻找函数的零点； x = fzero(fun,x0,options)，用options指定寻找零点的优化器参数； x,fval = fzero(.)，附加自变量为x时的函数值。 函数optimset()设定优化器参数，其具体使用方法如下： o p t i o n s = optimset(param1,value1,param2,value2,.)，用参数名和对应的参数值设定优化器的参数； optimset，显示优化器的所有参数名和有效的参数值； options = optimset，返回一个优化器的结构体； options = optimset(optimfun)，返回函数optimfun()对应的优化器参数； o p t i o n s = optimset(oldopts,param1,value1,.)，在原优化器参数oldopts的基础上，改动指定优化器参数； options = optimset(oldopts,newopts)，用newopts的所有非空参数覆盖oldopts中的值。 在函数optimset()中常用的优化器参数如下表所示。优化器参数 函数optimget()得到目前优化器的参数，其具体使用方法如下： val = optimget(options,param)，返回优化器参数param的值； v a l = optimget(options,param,default)，返回优化器参数param的值。 MATLAB提供一些的数值积分函数，如下表所示。数值积分函数 函数quad()和函数quadl()来计算一元函数的积分。函数quad()的具体使用方法如下： q = quad(fun,a,b)，计算函数fun在a b区间内的定积分； q = quad(fun,a,b,tol)，以绝对误差容限tol计算函数fun在a b区间内的定积分； q = quad(fun,a,b,tol,trace)，当trace为非零值时，显示迭代过程的中间值。 矢量数值积分等价于多个一元定积分。 函数dblquad()计算二重积分。其具体使用方法如下： q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，计算二元函数的二重积分； q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)，用tol指定绝对计算精度； q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)，用method指定计算一维积分时采用的函数。 功能函数中的含参函数的两种解决方法：嵌套函数匿名函数 编写M文件的函数时： 首先将含参函数的参数作为输入； 其次在其中调用功能函数，形成嵌套； 最后通过调用该函数进行计算。 运行结果如下图所示。 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 b 零 点 用匿名函数提供函数参数的具体步骤如下： 创建一个含参函数，并保存为M文件格式； 调用功能函数的M文件中给参数赋值； 用含参函数创建匿名函数； 把匿名函数句柄传递给功能函数计算。 6.5.1 常微分方程组的初值问题 6.5.2 延迟微分方程的问题 6.5.3 常微分方程组的边界问题 在MATLAB中，可以计算微分方程数值解，如： 常微分方程组的初值问题； 延迟微分方程的问题； 常微分方程组的边界问题。 1显式常微分方程组 2设置解法器参数 3线性隐式常微分方程组 4完全隐式常微分方程组 在MATLAB中可以计算以下初值问题的数值解。显式常微分方程组；线性隐式常微分方程组；完全隐式常微分方程组。 在MATLAB中，用函数实现不同的解法，如下表所示。 函数odeset()设定解法器参数，其具体使用方法如下： o p t i o n s = odeset(name1,value1,name2, value2,)，用参数名和相应参数值设定解法器的参数； options= odeset(oldopts,name1, value1,)，修改原来的解法器options结构体oldopts； options = odeset(oldopts,newopts)，合并两个解法器options结构体oldopts和newopts； odeset，显示所有的参数值和它们的默认值。 常微分方程组解法器参数 线性隐式常微分方程组可以利用解法器参数options来求解。 运行结果如下图所示。 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 t y 函数ode15i()求解完全隐式常微分方程组，其具体使用方法如下： t,Y = ode15i(odefun,tspan,y0,yp0) ； t , Y = ode15i(odefun,tspan,y0,yp0,options) 。 函数decic()得到自洽初始值，其具体使用方法如下： y 0 m o d , y p 0 m o d = decic(odefun,t0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0)； y 0 m o d , y p 0 m o d = decic(odefun,t0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0,options) 。 运行结果如下图所示。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t y 函数dde23()求解延迟微分方程组，其具体使用方法如下： s o l = dde23(ddefun,lags,history,tspan)； s o l = dde23(ddefun,lags,history,tspan,option)，option结构体用于设置解法器的参数。 函数dde23()的返回值是一个结构体，它包含7个属性，其中重要的5个属性如下： sol.x，dde23选择计算的时间点； sol.y，在时间点x上的解y(x)； sol.yp，在时间点x上解的一阶导数y(x)； sol.history，方程初始值； sol.solver，解法器的名字dde23； 若需得到tint时刻的解，可以使用函数deval，即yint = deval(sol,tint)。 函数bvp4c()的具体使用方法如下： sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit)，odefun代表常微分方程组的函数，bcfun是描述边界条件的函数，solinit是对方程解的猜测解； s o l = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options)，使用options结构体来设定解法器的参数。 运行结果如下图所示。 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Mathieu方程在边界条件下的解 x y 4阶Mathieu方程的特征值 = 17.0973
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