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第一章习题参考答案第一章习题1-1试举例证明,什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体,什么是非均 匀的各向异性体。1 均匀的各向异性体:如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成,故为均匀的。材料力学性质 沿纤维方向和垂直纤维方向不同,故为各向异性的。2 非均匀的各向同性体:实际研究中,以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的,或者说非均匀各 向同性体没有多少可讨论的价值,因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物 体非均匀(即点点材性不同),即使各点单独考察都是各向同性的, 也因各点的各向同性 的材料常数不同而很难加以讨论。实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体,密度由上到下逐渐加大,非均匀 但任取一点考察都是各向同性的。再考察素混凝土构件,由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响,则为 均匀的,同时也必然是各向同性的。反之,如果构件尺寸较小,粗骨料颗粒尺寸不允许 忽略,则为非均匀的,同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸,因 此也必然是各向异性体。因此,将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。3.非均匀的各向异性体:如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成,故为非均匀。材料 力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同,故为各向异性的。1-2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体? 一般的岩质地基和土质 地基能否作为理想弹性体?理想弹性体指:连续的、均匀的、各向同性的、完全(线)弹性的物体。一般的混凝土构件(只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小)可在开裂前可作为理想弹 性体,但开裂后有明显塑性形式,不能视为理想弹性体。一般的钢筋混凝土构件,属于非均匀的各向异性体,不是理想弹性体。一般的岩质地基,通常有塑性和蠕变性质,有的还有节理、裂隙和断层,一般不能 视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。一般的土质地基,虽然是连续的、均匀的、各向同性的,但通常具有蠕变性质,变 形与荷载历史有关,应力-应变关系不符合虎克定律,不能作为理想弹性体。在土力学中 有专门研究。1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途?连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全(线)弹性假定使应力应变关系明确为 虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样,可取任一点分析。各向同性使材料常数各 方向一样,坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性,且可采用变形前的尺寸列平衡方程。1-4 应力和面力的符号规定有什么区别?试分别画出正面和负面上的正的应力和正的 面力的方向。面力的正/负总是按与坐标轴正向是/否一致来确定,与所讨论的边界面的外法线方 向(可能与坐标轴正向一致或相反,或者与坐标轴呈一夹角)无关。对于平行于坐标面 的截面上的应力而言,其正负号取决于两方面,一是所讨论的截面的外法线方向是否与 坐标轴正向一致(即该截面是正面还是负面),二是应力本身方向与坐标轴正向是否一致。教材P4图1-3标出所有平行于坐标面的截面上的应力的正方向。 分别设想该图的某 一面为边界面,则右面、上面、前面的面力正方向与应力正方向一致,而左面、下面、 后面的面力正方向与应力正方向相反。1-5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。材力中切应力符号的规定,通常按使微元体顺 /逆时针转为+/-。弹力则规定正面上 切应力与坐标轴方向一致为+、负面上切应力与坐标轴方向相反为+。根据剪应力互等, 某个坐标面内的2对切应力总是一对顺时针一对逆时针,因此按材力规定则切应力变化 下标后,大小相等、符号改变,即切应力互等差一负号,而按弹力规定使切应力变化下 标后,大小相等、符号不变,即切应力互等绝对成立。1-6 试举例说明正的应力对应于正的形变。关于本题的理解:(1) “正的应力”包括正的正应力、正的剪应力(注意“正的应力” 不只等价于“正应力” );(2) “正的形变”包括正的线应变、正的切应变;(3)所谓“对应”是指应力、形变下标一致的两者对应,如二x对应;x、5对应yz等。参考答案 如下:(1)说明正的正应力对应正的线应变:以图3-1(a)简单拉伸问题为例,设a0,2a则有应力解答二y =2a0,匚x=0, xy=0。由物理方程(2-12)得;x =三 0 (此外还有 乞=-2a 0, jy=O),即板沿y轴伸长。可见,拉应力(即正的正应力)对应线段 的相对伸长(即正的线应变)。从本例也可见,正应力为零时对应的线应变不一定为零, 但正应力不为零时对应的线应变一定不为零,而且正负号一致。(2)说明正的切应力对应正的切应变: 以右图微元体纯剪切 问题为例,设b 0,则有;y=0,二x=0, .xyZyxHb。由物理 方程(2-12 )得5=九=匕0 (此外还有零=0、巨y=0)。可见,G正的切应力对应正的切应变。这里要对切应变的几何含义加以解释。右图为上述正的切应 力作用下的微元体变形后的图形。注意到/ DAB / DCB处直角变为锐角,与上述Yxy=?yx0也是一致的。但/ ABC / ADC处都是直角变为钝角,是否意味着xy二yx0从几何上看就是指微元体沿第三象限对角方向伸长,沿第二、四象限对角方向缩短的切变形,即如图所示的变形形式 就是正的切应变的几何含义。因此严格地讲,“切应变以直角变小时为正”中的“直角” 应是指从一点出发沿两坐标轴正向的线段之间的直角。按此定义,在考察图中的切变形 到底是正是负,只需考察/ DAE处的直角变化,因为点 A B、C、D中只有A点具有从该 点出发沿两坐标轴正向的线段。1-7 试画出图1-4中的矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。题为薄板,可认为不关心与z下标有关的物理量,只标出与x、y下标有关的物理量:薄板的正的体力薄板的正的面力微元体的正的应力5第一章习题参考答案#第一章习题参考答案容易犯的错误:1) 一个边界上,面力只标出一个方向的分量,少标一个; 2)只在 一个边界面上标面力分量;3)正的面力分量方向标反;4)正的体力分量方向标反。5) 各微元体截面上正的应力分量标反;6)将应力分量标在物体边界面上。1-8 试画出图1-5中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。题为薄板,可认为不关心与z下标有关的物理量,只标出与x、y下标有关的物理量yfxOz薄板的正的体力薄板的正的面力y容易犯的错误:1) 一个边界上,面力只标出一个方向的分量,少标一个;2)只在一个边界面上标面力分量;3)正的面力分量方向标反;4)斜面上面力分量沿斜面和斜 面法线方向标。6
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