弹性力学课后习题详解

第一章习题参考答案第一章习题1-1试举例证明，什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什么是非均 匀的各向异性体。1 均匀的各向异性体：如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成，故为均匀的。材料力学性质 沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。2 非均匀的各向同性体：实际研究中，以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的，或者说非均匀各 向同性体没有多少可讨论的价值，因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物 体非均匀（即点点材性不同），即使各点单独考察都是各向同性的， 也因各点的各向同性 的材料常数不同而很难加以讨论。实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体，密度由上到下逐渐加大，非均匀 但任取一点考察都是各向同性的。再考察素混凝土构件，由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响，则为 均匀的，同时也必然是各向同性的。反之，如果构件尺寸较小，粗骨料颗粒尺寸不允许 忽略，则为非均匀的，同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸，因 此也必然是各向异性体。因此，将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。3.非均匀的各向异性体：如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成，故为非均匀。材料 力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。1-2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？ 一般的岩质地基和土质 地基能否作为理想弹性体？理想弹性体指：连续的、均匀的、各向同性的、完全（线）弹性的物体。一般的混凝土构件（只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小）可在开裂前可作为理想弹 性体，但开裂后有明显塑性形式，不能视为理想弹性体。一般的钢筋混凝土构件，属于非均匀的各向异性体，不是理想弹性体。一般的岩质地基，通常有塑性和蠕变性质，有的还有节理、裂隙和断层，一般不能 视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。一般的土质地基，虽然是连续的、均匀的、各向同性的，但通常具有蠕变性质，变 形与荷载历史有关，应力-应变关系不符合虎克定律，不能作为理想弹性体。在土力学中 有专门研究。1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全（线）弹性假定使应力应变关系明确为 虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样，可取任一点分析。各向同性使材料常数各 方向一样，坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性,且可采用变形前的尺寸列平衡方程。1-4 应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面和负面上的正的应力和正的 面力的方向。面力的正/负总是按与坐标轴正向是/否一致来确定，与所讨论的边界面的外法线方 向（可能与坐标轴正向一致或相反，或者与坐标轴呈一夹角）无关。对于平行于坐标面 的截面上的应力而言，其正负号取决于两方面，一是所讨论的截面的外法线方向是否与 坐标轴正向一致（即该截面是正面还是负面），二是应力本身方向与坐标轴正向是否一致。教材P4图1-3标出所有平行于坐标面的截面上的应力的正方向。 分别设想该图的某 一面为边界面，则右面、上面、前面的面力正方向与应力正方向一致，而左面、下面、 后面的面力正方向与应力正方向相反。1-5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。材力中切应力符号的规定，通常按使微元体顺 /逆时针转为+/-。弹力则规定正面上 切应力与坐标轴方向一致为+、负面上切应力与坐标轴方向相反为+。根据剪应力互等， 某个坐标面内的2对切应力总是一对顺时针一对逆时针，因此按材力规定则切应力变化 下标后，大小相等、符号改变，即切应力互等差一负号，而按弹力规定使切应力变化下 标后，大小相等、符号不变，即切应力互等绝对成立。1-6 试举例说明正的应力对应于正的形变。关于本题的理解：（1） “正的应力”包括正的正应力、正的剪应力（注意“正的应力” 不只等价于“正应力” ）；（2） “正的形变”包括正的线应变、正的切应变；（3）所谓“对应”是指应力、形变下标一致的两者对应，如二x对应；x、5对应yz等。参考答案 如下：（1）说明正的正应力对应正的线应变：以图3-1（a）简单拉伸问题为例，设a0，2a则有应力解答二y =2a0，匚x=0, xy=0。由物理方程（2-12）得；x =三 0 （此外还有 乞=-2a 0, jy=O），即板沿y轴伸长。可见，拉应力（即正的正应力）对应线段 的相对伸长（即正的线应变）。从本例也可见，正应力为零时对应的线应变不一定为零， 但正应力不为零时对应的线应变一定不为零，而且正负号一致。（2）说明正的切应力对应正的切应变： 以右图微元体纯剪切 问题为例，设b 0，则有；y=0，二x=0， .xyZyxHb。由物理 方程（2-12 ）得5=九=匕0 （此外还有零=0、巨y=0）。可见，G正的切应力对应正的切应变。这里要对切应变的几何含义加以解释。右图为上述正的切应 力作用下的微元体变形后的图形。注意到/ DAB / DCB处直角变为锐角，与上述Yxy=?yx0也是一致的。但/ ABC / ADC处都是直角变为钝角，是否意味着xy二yx0从几何上看就是指微元体沿第三象限对角方向伸长，沿第二、四象限对角方向缩短的切变形，即如图所示的变形形式 就是正的切应变的几何含义。因此严格地讲，“切应变以直角变小时为正”中的“直角” 应是指从一点出发沿两坐标轴正向的线段之间的直角。按此定义，在考察图中的切变形 到底是正是负，只需考察/ DAE处的直角变化，因为点 A B、C、D中只有A点具有从该 点出发沿两坐标轴正向的线段。1-7 试画出图1-4中的矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。题为薄板，可认为不关心与z下标有关的物理量，只标出与x、y下标有关的物理量:薄板的正的体力薄板的正的面力微元体的正的应力5第一章习题参考答案#第一章习题参考答案容易犯的错误：1） 一个边界上，面力只标出一个方向的分量，少标一个； 2）只在 一个边界面上标面力分量；3）正的面力分量方向标反；4）正的体力分量方向标反。5） 各微元体截面上正的应力分量标反；6）将应力分量标在物体边界面上。1-8 试画出图1-5中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。题为薄板，可认为不关心与z下标有关的物理量，只标出与x、y下标有关的物理量yfxOz薄板的正的体力薄板的正的面力y容易犯的错误：1） 一个边界上，面力只标出一个方向的分量，少标一个；2）只在一个边界面上标面力分量；3）正的面力分量方向标反；4）斜面上面力分量沿斜面和斜 面法线方向标。6