赵树嫄-《微积分(第四版)》第七章 无穷级数

1 第 七 章 无 穷 级 数 2 齐 诺 悖 论 阿 基 里 斯 与 乌 龟 公 元 前 五 世 纪 ， 以 诡 辩 著 称 的 古 希 腊 哲 学 家 齐诺 (Zeno)用 他 的 无 穷 、 连 续 以 及 部 分 和 的 知 识 ，引 发 出 以 下 著 名 的 悖 论 ： 如 果 让 阿 基 里 斯 (Achilles， 古 希 腊 神 话 中 善 跑 的 英 雄 )和 乌 龟之 间 举 行 一 场 赛 跑 ， 让 乌 龟 在 阿 基 里 斯 前 头 1000米 开 始 ， 假 定阿 基 里 斯 能 够 跑 得 比 乌 龟 快 10倍 ， 也 永 远 也 追 不 上 乌 龟 .齐 诺 的理 论 依 据 是 ： 当 比 赛 开 始 的 时 候 ， 阿 基 里 斯 跑 了 1000米 ， 此 时乌 龟 仍 然 前 于 他 100米 ； 当 阿 基 里 斯 跑 了 下 一 个 100米 时 ， 乌 龟仍 然 前 于 他 10米 ， ， 如 此 分 析 下 去 ， 显 然 阿 基 里 斯 离 乌 龟 越 来 越 近 ， 但 却 是 永 远也 追 不 上 乌 龟 的 .这 个 结 论 显 然 是 荒 谬 的 ， 但 奇 怪 的 是 ， 这 种 推 理 在 逻 辑 上 却 没 有 任 何 毛 病 .那 么 ， 问 题 究 竟 出 在 哪 儿 呢 ？ 3 第 一 节 无 穷 级 数 的 概 念 无 穷 级 数 是 高 等 数 学 的 一 个 重 要 组 成 部 分 ，它 是 表 示 函 数 、 研 究 函 数 的 性 质 以 及 进 行 数 值计 算 的 一 种 工 具 。计 算 圆 的 面 积 R正 六 边 形 的 面 积正 十 二 边 形 的 面 积 1a 21 aa 正 形 的 面 积n23 naaa 21 naaaA 21即 4 1、 级 数 的 定 义 ： nn n uuuuu 3211 (常 数 项 )无 穷 级 数 ni inn uuuuS 121 ,11 uS ,212 uuS ,3213 uuuS ,21 nn uuuS 通 项级 数 的 前 n 项 部 分 和 数 列 nS 5 2、 级 数 的 收 敛 与 发 散 ：对 于 级 数 1n nu ,如 果 它 的 前 n 项 部 分 和 数 列 nS 收 敛 如 果 数 列 nS 没 有 极 限 ,则 称 该 无 穷 级 数 发 散 . 即 SSnn lim , Sun n 1定 义(设 极 限 为 S ) ， 则 称 该 无 穷 级 数 收 敛 ， 且 称 S 为 该 级 数 的 和 ， 并 记 为 6 解 )1( 1 nnun ,111 nn )1(1321211 nnSn )111()3121()211( nn111 n ,)(1 n例 1 讨 论 无 穷 级 数 )1(1321211 nn的 收 敛 性 . 所 以 级 数 收 敛 ， 且 和 为 1。 7 讨 论 级 数 1 )11ln(n n 的 敛 散 性 . 解例 2 )11ln( nun )1ln( n nnSn ln)1ln(2ln3ln1ln2ln n所 以 级 数 发 散 . ,ln)1ln( nn 所 以 8 解 ，如 果 1q 12 nn aqaqaqaS ，qqaa n 1,1| 时当 q 0lim nn q qaSnn 1lim,1| 时当 q nn qlim nn Slim 收 敛发 散 例 3 讨 论 等 比 级 数 (几 何 级 数 ) 121 1 nn n aqaqaqaaq )0( a的 收 敛 性 . 9 ，如 果 1| q ,1时当 q ,1时当 q anSn 发 散 aaaa级 数 变 为 ,lim 不 存 在 nn S 发 散综 上 所 述 ， qa1 发 散当 收 敛当 时时 ,1| ,1|1 1 qqaqn n 121 1 nn n aqaqaqaaq )0( a，为 偶 数为 奇 数 nnaS n ,0 , 10 齐 诺 悖 论 阿 基 里 斯 与 乌 龟 阿 基 里 斯 是 希 腊 传 说 中 跑 得 最 快 的 人 。一 天 他 正 在 散 步 ， 忽 然 发 现 在 他 前 面 一千 米 远 的 地 方 有 一 只 大 乌 龟 正 在 缓 慢 地 向 前 爬 。 乌 龟 说 ： “ 阿基 里 斯 ， 谁 说 你 跑 得 最 快 ？ 你 连 我 都 追 不 上 ！ ” 阿 基 里 斯 说 ：“ 胡 说 ！ 我 的 速 度 比 你 快 何 止 上 百 倍 ！ 就 算 刚 好 是 你 的 十 倍 ，我 也 马 上 就 可 以 超 过 你 ！ ” 乌 龟 说 ： “ 就 照 你 说 的 ， 咱 们 来 试一 试 吧 ！ 当 你 跑 到 我 现 在 这 个 地 方 ， 我 已 经 向 前 跑 了 一 百 米 。当 你 向 前 跑 过 这 一 百 米 时 ， 我 又 爬 到 前 面 去 了 。 每 次 你 追 到 我刚 刚 爬 过 的 地 方 ， 我 都 又 向 前 爬 了 一 段 距 离 。 你 只 能 离 我 越 来越 近 ， 却 永 远 也 追 不 上 我 ！ ” 阿 基 里 斯 说 ： “ 哎 呀 ， 我 明 明 知道 能 追 上 你 ， 可 是 你 说 的 好 像 也 有 道 理 耶 。 这 到 底 是 怎 么 回 事 呢 ？ 11A B 假 定 阿 基 里 斯 现 在 A处 ， 乌 龟 现 在 B处 . 为 了 赶 上 乌 龟 ， 阿基 里 斯 先 跑 到 乌 龟 的 出 发 点 B， 当 他 到 达 B点 时 ， 乌 龟 已 前进 到 B1点 ； 当 他 到 达 B1点 时 ， 乌 龟 又 已 前 进 到 B2点 ， 如 此 等等 。 当 阿 基 里 斯 到 达 乌 龟 前 次 到 达 过 的 地 方 ， 乌 龟 已 又 向 前爬 动 了 一 段 距 离 .因 此 ， 阿 基 里 斯 是 永 远 追 不 上 乌 龟 的 ！B B 1B1 B2 12 如 果 我 们 从 级 数 的 角 度 来 分 析 这 个 问 题 ， 齐 诺 的 这个 悖 论 就 会 不 攻 自 破 。 101001000 这 是 一 个 公 比 为 110 1 q 的 几 何 级 数 ,易 求 得 它 的 和 为 ，91111191000010111000 设 阿 基 里 斯 的 速 度 为 乌 龟 速 度 的 10倍 ， 则 他 跑 完1000米 时 ， 乌 龟 又 爬 了 100米 ； 等 阿 基 里 斯 跑 完 这 段 路 ，乌 龟 又 向 前 爬 了 10米 ， 依 次 类 推 ， 阿 基 里 斯 需 要追 赶 的 全 部 路 程 为 13 也 就 是 说 ,如 果 赛 程 比 这 个 距 离 短 ,则 乌 龟 胜 ； 如 果 赛程 恰 好 等 于 这 个 距 离 ,则 双 方 平 分 秋 色 ； 否 则 ,阿 基 里 斯 就 要 在 距 离 起 点 911111 处 追 上 并 超 过 乌 龟 . ，91111191000010111000 思 考 题 ： 还 有 没 有 其 他 方 法 解 此 题 ？ ,100010 tt ,91000t .91000010 ts这 里 已 经 假 定 可 以 追 上 。 14 研 究 课 题 1： 无 限 循 环 小 数 转 化 为 分 数1999.0 999.0 009.009.09.0 n109109109109 32 1011 109109lim 1 nn .1 15 把 循 环 小 数 232323.0 表 示 成 分 数 解例 4 232323.0 32 100231002310023 (公 比 为 1001 的 等 比 级 数 ,收 敛 ) 10011 10023 .9923小 课 题 ： 请 编 写 一 套 把 循 环 小 数 转 化 为 分 数 的 方 法 。324.0 9904423 .990419 16 循 环 小 数 转 化 为 分 数 的 方 法 ：第 一 型 ： naaa 21.0 n nn n aaaaaa 22121 1010 nn naaa 1011 1021 11021 n naaa .99921 个n naaa 个n nn aaaaaa 999.0 2121 17,9 770. ,9923320. .9994577540. 例 如 ： 个n nn aaaaaa 999.0 2121 18 第 二 型 ： nm aaabbb 2121.0 nm nnm nm m aaaaaabbb 2212121 101010 nnm nm m aaabbb 10111010 2121 mn nm m aaabbb 10111010 2121 个个 mn nnm aaabbb 000999 )110( 2121 .000999 212121 个个 mn mnm bbbaaabbb 19 例 如 ： 个个 mn mnmnm bbbaaabbbaaabbb 000999.0 2121212121 124.0 ,9904179904421 38756.0 ,9990056727999005656783 612045.0 .999000451719990004545216 20 第 二 节 无 穷 级 数 的 基 本 性 质 设 级 数 1n nu 、 1n nv 及 1 )(n nn vu 的 部 分 和 分 别 为nnn BA 及, ， 如 果 级 数 1n nu 、 1n nv 都 收 敛 ,则 1 )(n nn vu .)( 111 n nn nn nn vuvu也 收 敛 ， 且 有性 质 1证 且 ,lim,lim BBAA nnnn ni iin vu1 )( ni ini i vu 11nn lim )(lim nnn BA ,limlim BABA nnnn .)( 111 n nn nn nn vuvu此 即 ,nn BA 21 说 明 ：(1) 不 能 由 1 )(n nn vu 收 敛 推 出 1n nu 、 1n nv 收 敛 ； (2) 若 1n nu 收 敛 ,而 1n nv 发 散 ,则 1 )(n nn vu 必 发 散 . 证 假 设 1 )(n nn vu 收 敛 , 由 nnnn uvuv )( , 而 已 知 1n nu 收 敛 , 由 上 述 性 质 得 1n nv 收 敛 , 矛 盾 . 所 以 1 )(n nn vu 发 散 . 22 设 k 是 非 零 常 数 , 则 级 数 1n nu 与 级 数 1n nuk 具 有 相 同 的 敛 散 性 ， 且 当 1n nu 收 敛 时 ， 等 式 11 n nn n ukuk 成 立 性 质 2证 设 级 数 1n nu 收 敛 , 且 Sun n 1 , 又 设 1n nu 与 1n nuk 的 部 分 和 分 别 为 nnS 及 ， ni in uk1 ni iuk 1 ,nSknnnn Sk limlim ,lim SkSk nn 23 ni in uk1 ni iuk 1 ,nSknnnn Sk limlim ,lim SkSk nn 所 以 级 数 1n nuk 收 敛 ， 且 11 n nn n ukuk 反 之 ， 若 1n nuk 收 敛 （ 0k ） ， 则 11 1 n nn n uukk 也 收 敛 24 性 质 3 去 掉 、 添 加 或 改 变 级 数 中 的 有 限 项 ， 不 会 影响 它 的 敛 散 性 . 这 是 因 为 ， 去 掉 、 添 加 或 改 变 级 数 中 的 有 限 项 后 所得 数 列 的 部 分 和 数 列 与 原 级 数 的 部 分 和 数 列 只 相 差一 个 常 数 ， 所 以 具 有 相 同 的 敛 散 性 。注 意 ： 原 级 数 若 收 敛 ， 则 改 变 级 数 中 的 有 限 项 后 ， 一般 要 改 变 它 的 和 . 25 性 质 4 收 敛 级 数 任 意 加 括 号 后 仍 收 敛 ， 且 其 和 不 变 .证 记 级 数 1n nu 的 部 分 和 数 列 为 nk kn uS 1 , 加 括 号 后 的 级 数 的 部 分 和 数 列 记 为 nA , )()()( 987654321 uuuuuuuuu,21 SA ,52 SA ,93 SA 例 如 ， , 26 证 则 nA 实 际 上 是 nS 的 一 个 子 数 列 , 故 由 nS 的 收 敛 性 可 知 nA 的 收 敛 性 ,且 其 极 限 不 变 . 记 级 数 1n nu 的 部 分 和 数 列 为 nk kn uS 1 , 加 括 号 后 的 级 数 的 部 分 和 数 列 记 为 nA , 性 质 4 收 敛 级 数 任 意 加 括 号 后 仍 收 敛 ， 且 其 和 不 变 .注 收 敛 级 数 去 括 弧 后 所 成 的 级 数 不 一 定 收 敛 . )11()11(推 论 发 散 级 数 去 括 号 仍 发 散 。例 如 27 性 质 5 (级 数 收 敛 的 必 要 条 件 )若 级 数 1n nu 收 敛 ,则 必 有 0lim nn u . 证 , 1 nnn SSu )(limlim 1 nnnnn SSu SS .01limlim nnnn SS设 1n nu 的 部 分 和 数 列 为 nS ， 且 SSnn lim ， 此 定 理 说 明 ， 0lim nn u 是 级 数 1n nu 收 敛 的 必 要 条 件 . 28 说 明 ：1、 如 果 级 数 的 一 般 项 不 趋 于 零 ， 则 级 数 发 散 ； 1)1(433221 1 nnn例 如 级 数 发 散 ；,0nu所 以,1| nu n2cos8cos4cos2cos ，再 如 ,012coslim n 级 数 发 散 。 若 级 数 1n nu 收 敛 , 则 必 有 0lim nn u . ?1)1( 1 nnn 29 2、 必 要 条 件 不 充 分 ：若 0lim nn u ,级 数 却 不 一 定 收 敛 . 再 举 一 个 重 要 例 子 ： 1 1312111n nn , 01lim nn ,但 级 数 是 否 收 敛 ? 如 1 )11ln(n n ： ,)(0)11ln( nn 但 级 数 发 散 。 调 和 级 数 调 和 级 数 增 加 的 速 度 非 常 缓 慢 ， 例 如 ,3011010 10 110 n nS ,3001100100 10 110 n nS那 么 调 和 级 数 到 底 的 收 敛 还 是 发 散 ？ 调 和 级 数 1 1312111n nn 31 证 明 ： 调 和 级 数 发 散 。nn SS 2 nn2）（ nnn SS 2lim SS 0于 是 矛 盾 ， 调 和 级 数 ,21假 设 调 和 级 数 收 敛 ， 其 和 为 S ，所 以 级 数 发 散 。 nnn 212111 1 1312111n nn ,21证因 为 进 一 步 的 研 究 可 以 发 现 ， 虽 然 调 和 级 数 发 散 到 正 无穷 大 ， 但 其 发 散 的 速 度 却 是 惊 人 的 缓 慢 。 这 说 明 调 和 级 数 发 散 到 正 无 穷 大 实 在 不 是 直 接 的 计算 所 能 得 到 的 ， 由 于 调 和 级 数 发 散 到 正 无 穷 大 的 缓 慢性 ， 我 们 也 可 形 象 地 称 调 和 级 数 为 一 “ 坚 韧 不 拔 ” 的级 数 ， 另 一 方 面 它 又 提 醒 我 们 ： 人 不 可 “ 貌 相 ” ， 级数 的 敛 散 性 不 可 凭 “ 想 象 ” ， 需 要 严 格 的 证 明 。调 和 级 数 1 1312111n nn 33 1. 0 )4531(n nn 649 . 例 1 判 断 下 列 级 数 的 敛 散 性 ： 因 为 ,310n n 0 41n n 都 收 敛 ， 故 原 级 数 收 敛 ，解且 和 为 0 )4531(n nn 00 41531 n nn n411 5311 1 34 2. 1100 5110321 n n 3. n21614121 1 121 n n 收 敛 ；发 散 。例 1 判 断 下 列 级 数 的 敛 散 性 ： 35 第 三 节 正 项 级 数1、 定 义 ： ，中 各 项 均 有如 果 级 数 01 nn n uu这 种 级 数 称 为 正 项 级 数 。2、 正 项 级 数 收 敛 的 充 要 条 件 ：定 理(一 ) 正 项 级 数 的 收 敛 问 题 正 项 级 数 收 敛 的 充 分 必 要 条 件 是 它 的 部 分 和 数 列 nS 有 上 界 . 这 是 因 为 0nu ,所 以 nS 单 调 不 减 ,因 此 它 有 极 限 当 且 仅 当 它 有 上 界 . 36 (二 )比 较 判 别 法 且 ),2,1( nvu nn , 证 明 , 1 nk kn uS设 , nn vu .1 也 收 敛从 而 n nu 均 为 正 项 级 数 ，和设 11 n nn n vu则 (1) 若 1n nv 收 敛 ,则 1n nu 收 敛 ； (2) 若 1n nu 发 散 ， 则 1n nv 发 散 . 定 理 , 1 nk kn vT, nn TS (1) ),2,1( n 因 为 1n nv 收 敛 ， 所 以 nT 有 上 界 M， , MTS nn 所 以 nS 也 有 上 界 M， 37 (一 )比 较 判 别 法证 明 则 (1) 若 1n nv 收 敛 ,则 1n nu 收 敛 ； (2) 若 1n nu 发 散 ， 则 1n nv 发 散 . (2)是 (1)的 等 价 命 题 。 从 某 项 起 ,恒 有 nn vku , )0( k . 注 ： 定 理 的 条 件 可 放 宽 为 ： 均 为 正 项 级 数 ，和设 11 n nn n vu 且 ),2,1( nvu nn , 定 理 38 判 断 级 数 1 21sinn n 的 收 敛 性 . 因 为 nn 2 121sin0 , 而 1 21n n 收 敛 , 解例 1所 以 原 级 数 收 敛 . ,|sin| xx Rx 39 讨 论 p-级 数 1 1n pn 的 收 敛 性 ( 0p ). oy x)1(1 pxy p1 2 3 4 当 1p 时 , 而 调 和 级 数 1 1n n 发 散 , 当 1p 时 ,用 积 分 判 别 法 ： 当 nxn 1 时 , pp xn 11 , nn pp nxn 1 d1 nn pxx1 d 解例 2 ，nnp 11 故 原 级 数 发 散 ； 于 是 有 40故 当 1p 时 ,1 1n pn 收 敛 . nn pp nxn 1 d1 nn pxx1 d 所 以 nk kk pnk p xxk 2 12 d11 xxn p d11)11(11 1 pnp ,11 p于 是 ,1111 1 pkS nk pn 即 nS 有 上 界 ， 41 总 结 : 发 散收 敛 10 1 11 ppnn p 重 要 参 考 级 数 ： 几 何 级 数 ， p - 级 数 ， 调 和 级 数 。比 较 ： 发 散收 敛，10 1 d11 ppxxp 42 因 为 nn 111 , 而 2 1n n 发 散 , （ 但 2 11n n 如 何 ？ ） 因 为 22 111 nn , 而 1 21n n 收 敛 , （ 但 2 2 11n n 如 何 ？ ） 解例 3 2 11n n例 4 1 2 11n n解所 以 原 级 数 发 散 。所 以 原 级 数 收 敛 。 43 设 N ， 当 Nn 时 ， 恒 有 0nu 、 0nv ， 则 (1) 若 0lim lvunnn ， 则 正 项 级 数 1n nu 与 1n nv 同 敛 散 ； (2) 若 0lim nnn vu ， 则 当 1n nv 收 敛 时 ， 1n nu 也 收 敛 ； (3) 若 nnn vulim ， 则 当 1n nv 发 散 时 ， 1n nu 也 发 散 . 比 较 判 别 法 的 极 限 形 式 ： 44 证 明 ,0lim )1( lvunnn由 ,02 l取,N ,时当 Nn ，有 2| llvunn ,22 llvull nn )(232 Nnvluvl nnn 即 45 )(232 Nnvluvl nnn 即可 知 两 级 数 有 相 同 的 敛 散 性 。)(23 Nnvlu nn 由 )(2 Nnuvl nn 由则 由 1n nv 收 敛 ， 可 推 出 1n nu 也 收 敛 ； 则 由 1n nu 收 敛 ， 可 推 出 1n nv 也 收 敛 ； 46 由 极 限 定 义 ,取 1 ,存 在 自 然 数 N, 当 Nn 时 ,恒 有 1n nvu , 即 nn vu , 当 1n nv 收 敛 时 , 1n nu 也 收 敛 。 证 明 ,0lim )2( nnn vu若由 比 较 判 别 法 可 知 ， (注 意 ： 单 向 ) ,lim )3( nnn vu若 ,0lim nnn uv则由 (2)即 得 结 论 。 47 而 2 1n n 发 散 , 例 5 1 11n n ，1111lim nnn例 6 2 2 11n n ，1111lim 22 nnn所 以 原 级 数 发 散 。 而 1 21n n 收 敛 , 所 以 原 级 数 收 敛 。 解解 48 例 7 1 2 11n nn ，1111lim 2 nnnn例 8 1 2 )11ln(n n ，11)11ln(lim 22 nnn 发 散解 而 2 1n n 发 散 , 所 以 原 级 数 发 散 。解 而 1 21n n 收 敛 , 所 以 原 级 数 收 敛 。?)11ln(1 n n 49 常 用 等 价 无 穷 小 ： ,0时当 x,sin xx ,)1ln( xx ,tan xx )0(1)1( xx ,1e xx ,21cos1 2xx ,arcsin xx ,arctan xx 50 判 断 级 数 1 21sinn n 的 收 敛 性 . 因 为 121/21sinlim nnn , 而 1 21n n 收 敛 , 解例 1所 以 原 级 数 收 敛 . 51 例 9解 设 常 数 0p ,试 判 别 级 数 1 1lnn ppnn 的 敛 散 性 。 11)11ln(lim ppn nn 原 级 数 与 1 1n pn 同 敛 散 ， 0,)1ln( xxx 所 以 原 级 数 当 1p 时 收 敛 ， 当 10 p 时 发 散 。 52 例 10 1 )cos1(n n 21)cos1(lim nnn 22 1)(21lim nnn ,22收 敛 ，解 0,21cos1 2 xxx 1 21n n 所 以 原 级 数 收 敛 。 53 而 1 31n n 收 敛 , 例 11 1 3 1n n n ，1313 1lim nnn n nnn n 313 1lim nn nn 3 3lim nn n31 1lim nn n3lim xx x3lim 3ln3 1lim xx .0 .1 所 以 原 级 数 收 敛 。 54 讨 论 2 1n nan 的 敛 散 性 )0( a . (1) 当 1a 时 , 而 2 1n na 收 敛 , (2) 当 10 a 时 , 例 12解 ，111lim nnn aan ,111lim nan nn所 以 原 级 数 收 敛 。所 以 原 级 数 发 散 。 55 试 证 ：均 收 敛与设 正 项 级 数 ,11 n nn n vu证 11 均 收 敛 ，与 n nn n vu ,)1( 21 2nunu nn ,)(21 nnnn vuvu 。收 敛 1 n nnu 例 13 ， 收 敛 1 1 2n n由 基 本 不 等 式 ，收 敛且 已 知 1n nu . 1 收 敛n nnvu , )( 1 收 敛 n nn vu也 收 敛 。收 敛 ， 11 n nn nn nuvu 56 (三 )比 值 判 别 法 (达 朗 贝 尔 比 值 判 别 法 ) 设 1n nu 是 正 项 级 数 , 若 nnn uu 1lim ,则 （ 1） 当 1 时 ， 级 数 收 敛 ； （ 2） 当 1 时 ， 级 数 发 散 ； （ 3） 当 1 时 ， 此 法 不 能 确 定 级 数 收 敛 性 . ,11 发 散级 数 n n ,11 2 收 敛级 数 n n 1 证 略 57 nnn uu 1lim 因 为 11lim nn 0例 14 判 别 级 数 下 列 级 数 的 敛 散 性 1 ! 1 )1( n n1 2 )2( n nn nnn uu 1lim 因 为 nnn 1lim21 所 以 级 数 收 敛 。 解解 ,121 ,1所 以 级 数 收 敛 。 !1 !)1( 1lim nnn nn n nn 22 1lim 1 58 nnnnnnnn nnn nuu ! 3)1( ! )1(3limlim 111 因 为 nnn n n )1( 3lim e31 ! 3 )3( n nnnn解 nn n)11( 3lim nnnnnnnn nnn nuu ! 2)1( ! )1(2limlim 111 因 为 nnn n n )1( 2lim e21 ! 2 )4( n nnnn解 nn n)11( 2lim ,1 所 以 级 数 发 散 .,1 所 以 级 数 收 敛 . ? ! e1n nnnn nnn nn! 3lim 0! 2lim nnn nn 59 解练 习 ： 1 1 !)1(n nnn 12 !)1()1( !)2(lim nnn nnnnnnn uu 1lim e1所 以 级 数 收 敛 。 ,11)11(12lim nn nnn )11()11( nn n 60实 际 上 ,且 和 为 21S . 1 )12)(12( 1 )5( n nn解 )32)(12( )12)(12(limlim 1 nn nnaa nnnn所 以 用 比 值 法 无 法 判 断 .用 比 较 法 ， ，411)12)(12( 1lim 2 nnnn ,1而 级 数 1 21n n 收 敛 ， 所 以 原 级 数 收 敛 。 61 假 设 0 ,讨 论 1 1n p nn 的 收 敛 性 . （ 1） 若 1 ,则 级 数 收 敛 ； （ 2） 若 1 ,则 级 数 发 散 ； （ 3） 若 1 , 原 级 数 为 1 11n pn , 所 以 1p 时 收 敛 , 1p 时 发 散 . 例 15解 nppnnnnn nnuu 11)1(limlim 11 1)1( 1lim ppn nn ， ,11 11lim ppn nn 62 (四 )根 值 判 别 法 (柯 西 根 值 判 别 法 ) 设 1n nu 是 正 项 级 数 , 如 果 n nn ulim ,则 （ 1） 当 1 时 ， 级 数 收 敛 ； （ 2） 当 1 时 ， 级 数 发 散 ； （ 3） 当 1 时 ， 此 法 不 能 确 定 级 数 收 敛 性 . 证 略 63 例 16解 12limlim nnu nn nn 21 1 )12(n nnn ，1所 以 级 数 收 敛 . 例 17 1 12)13(n nnn解 nnnn nn nnu 12)13(limlim 91 ，1所 以 级 数 收 敛 . 64 解例 18 )0( )1(1 annan n 所 以 当 10 a 时 级 数 收 敛 , 当 1a 时 级 数 发 散 ； 当 1a 时 ， nnnn nnu )1(limlim 级 数 发 散 。 e)11(lim nn nn nn ulim 1lim nnan ,a ,0e1 nn n)11( 1lim 65 第 四 节 任 意 项 级 数 ， 绝 对 收 敛定 义 ： 正 、 负 项 相 间 的 级 数 称 为 交 错 级 数 。nn n u 1 1)1(定 理 (莱 布 尼 茨 判 别 法 ) )0( nu其 中 （ 1） 1 nn uu ,即 nu 单 调 减 少 ； （ 2） 0lim nn u , 则 交 错 级 数 1 1)1(n nn u 收 敛 , 且 其 和 1uS ， 级 数 的 称 莱 布 尼 茨型 级 数 如 果 交 错 级 数 满 足 条 件nn n u 1 1)1( 余 项 nR 的 绝 对 值 1| nn uR 4321 uuuu(一 )交 错 级 数 即 2mS 有 上 界 , 故 2mS 收 敛 , 记 SS mm 2lim , 显 然 有 1uS . 而 12212 mmm uSS , 所 以 SSnn lim , 且 其 和 1uS . ,)()()( 21243212 mmm uuuuuuS 证 所 以 2mS 单 调 不 减 ； 另 一 方 面 ， mmmm uuuuuuuuS 21222543212 )()()( ,1u由 条 件 (2)可 知 ， ,lim 12 SS mm 即 原 级 数 收 敛 ， 而 余 项 nR 仍 是 一 个 莱 布 尼 茨 型 级 数 ， 所 以 有 1| nn uR 由 条 件 (1)可 知 ， ,212 kk uu 67 注 意 ： 莱 布 尼 兹 判 别 法 所 给 的 条 件 只 是 交 错 级 数 收 敛 的充 分 条 件 ， 而 非 必 要 条 件 。nn n u 1 1)1( )0( nu定 理 (莱 布 尼 茨 判 别 法 )（ 1） 1 nn uu ,即 nu 单 调 减 少 ； （ 2） 0lim nn u , 则 交 错 级 数 1 1)1(n nn u 收 敛 , 且 其 和 1uS ， 级 数 的 如 果 交 错 级 数 满 足 条 件nn n u 1 1)1( 余 项 nR 的 绝 对 值 1| nn uR 4321 uuuu 68 n1 单 调 减 少 , 且 01lim nn , 1 1 1)1(n pn n 例 19解 这 是 交 错 级 数 ， 由 莱 布 尼 茨 定 理 知 ， 级 数 收 敛 。一 般 地 ， 称 为 交 错 p - 级 数 . 当 0p 时 ， ,0 1lim1 pnp nn 单 调 减 少 且所 以 级 数 收 敛 。 1 1 1)1(n n n证 明 级 数 收 敛 。 69 判 别 级 数 2 1)1(n nn n的 收 敛 性 。 解 ,1)( x xxf设 )2( x,1)( 单 调 减 少故 函 数 x xxf 1limlim n nu nnn又 ,0 由 莱 布 尼 茨 定 理 知 级 数 收 敛 。所 以 数 列 1n n 单 调 减 少 , 练 习 2)1(2 )1()( xx xxf则 ,0 70 (二 )任 意 项 级 数 的 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛正 项 和 负 项 任 意 出 现 的 级 数 称 为 任 意 项 级 数 。 定 义 若 1 |n nu 收 敛 ,则 称 1n nu 绝 对 收 敛 ； 若 1n nu 绝 对 收 敛 ,则 1n nu 本 身 也 收 敛 . 定 理 ：绝 对 收 敛 必 收 敛 。 71 若 1n nu 绝 对 收 敛 ,则 1n nu 本 身 也 收 敛 . 证 明定 理 ： ,|2|0 nnn uuu 如 果 级 数 1n nu 绝 对 收 敛 ， 即 1 |n nu 收 敛 ， 则 1 |2n nu 也 收 敛 ， 由 比 较 判 别 法 得 正 项 级 数 1 )|(n nn uu 收 敛 ,|)|( nnnn uuuu 而 由 级 数 性 质 知 ， 级 数 1n nu 收 敛 72例 如 , 1 21 1)1(n n n 绝 对 收 敛 , 而 1 1 1)1(n n n 条 件 收 敛 . 定 义 若 1 |n nu 发 散 , 但 1n nu 收 敛 ,则 称 1n nu 条 件 收 敛 . 说 明 ：(1) 定 理 不 可 逆 ： 级 数 收 敛 ， 未 必 绝 对 收 敛 ；如 1 1 1)1(n n n 收 敛 , 但 1 1n n 发 散 . 73 (2) 若 1 |n nu 发 散 , 不 能 推 出 1n nu 发 散 . 但 如 果 是 用 比 值 判 别 法 或 根 值 判 别 法 判 定 1 |n nu 发 散 , 则 立 刻 可 以 断 定 1n nu 发 散 ， 从 而 nu 也 不 趋 向 于 零 . 一 般 项 | nu 不 趋 向 于 零 , 这 是 因 为 它 们 的 依 据 是 说 明 ： 但 1 1 1)1(n n n 收 敛 。 1 1n n 发 散 , 74 因 为 22 1sin nnn , 而 1 21n n 收 敛 , 例 20 判 定 下 列 级 数 是 绝 对 收 敛 、 条 件 收 敛 或 发 散 . 1 2sin )1( n nn解 故 原 级 数 绝 对 收 敛 . 1 2)11(31)1( )2( n nnn n解 n nn a |lim 3e ，1故 级 数 绝 对 收 敛 . nn n)11(31lim 75 1 2)11(21)1( )3( n nnn n解 nnn nn na )11(21lim|lim 2e ，1 故 级 数 发 散 . 解所 以 原 级 数 绝 对 收 敛 。 所 以 1 10n nn 收 敛 , nn nnn 1010 1lim 1 1 310 )5(cos )4( n nnn ,1101 因 为 nn nnn 1010 )5(cos 3 , ? 101n nn 76 例 21 若 1 ,则 原 级 数 发 散 ； 若 1 ,原 级 数 为 1 )1(n p nn , 因 此 当 1p 时 绝 对 收 敛 ； 当 10 p 时 条 件 收 敛 . 设 0,0 p ,讨 论 1 )(n p nn 的 收 敛 性 . 若 1 ,则 原 级 数 绝 对 收 敛 ； 解 nnn aa 1lim ppnnn nn )1(lim 1 , 77 ？条 件 收 敛 还 是 绝 对 收 敛 敛 ？ 如 果 收 敛 ， 是是 否 收判 断 级 数 1 ln)1( n nnn例 22解 ,11 发 散而 n n ,ln1ln)1( 11 发 散 nn n nnnn即 原 级 数 非 绝 对 收 敛 ; x xnn xn lnlimlnlim ,01lim xxnnnn 1ln1lim nnn ln1 1lim ,1 78 ,ln)1(1 级 数是 交 错 n nnn nnn ln1lim ,)0(ln)( xxxxf令 ,)1(011)( xxxf则nnnn ln1 1lim ,0,),1()( 上 单 增在 xf ,1ln1 时 单 减当故 数 列 nnn由 莱 布 尼 茨 定 理 ， 此 交 错 级 数 收 敛 ，故 原 级 数 条 件 收 敛 79 判 断 1 )12()1(n n nn 的 敛 散 性 ； 若 收敛 ， 指 出 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 。 例 23解 原 级 数 改 写 为 1 12 )1(n nnn ， 1 12 1n nn 与 1 1n n 同 敛 散 ， 即 发 散 ， 而 原 级 数 为 莱 布 尼 兹 级 数 ， 故 收 敛 ， 即 条 件 收 敛 。 ,211/12 1lim nnnn 80 讨 论 级 数 )1( 1 11 xxn n 的 收 敛 范 围 . 若 1| x , 则 011 1lim nn x , 若 1| x , 则 11 1 1limlim nnnnnn xxuu 最 后 ,若 1x ,则 2 1nu ,发 散 . 所 以 级 数 的 收 敛 范 围 为 1| x . 例 24解 | 1x ，1所 以 级 数 发 散 ；故 级 数 绝 对 收 敛 ； 81 小 结 ： 判 定 数 项 级 数 敛 散 性 的 思 路 ：正 项 ？Y比 较 判 别 法比 值 判 别 法 N绝 对 收 敛 ？YEND N若 用 比 值法 ， 发 散 若 用 比 较 法 ，莱 布 尼 茨 定 理?0lim nn u N 发 散Y 82 第 五 节 幂 级 数 (一 )幂 级 数 及 其 收 敛 半 径 和 收 敛 域1、 幂 级 数 的 定 义 其 中 na 称 为 幂 级 数 系 数 . nn n xxa )(0 0 nn xxaxxaa )()( 0010 010 n nnnn xaxaxaa 级 数称 为 关 于 0 xx 的 幂 级 数 ； 特 别 ， 取 00 x ， 称 为 关 于 x 的 幂 级 数 。 83 2、 幂 级 数 的 收 敛 半 径 和 收 敛 域 ,1 20 xxxn n例 如 级 数 ;,1| 收 敛时当 x ;,1| 发 散时当 x.)1,1(收 敛 域 为 显 然 ， 任 何 幂 级 数 0n nnxa 在 0 x 处 收 敛 ； 下 面 证 明 ， 在 不 考 虑 端 点 的 情 况 下 ， 0n nnxa 的 收敛 域 关 于 原 点 对 称 。 84 (1) 如 果 级 数 0n nnxa 在 )0( 11 xxx 处 收 敛 , (2) 如 果 级 数 0n nnxa 在 )0( 22 xxx 处 发 散 ,则 它 在 满 足 不 等 式 | 2xx 的 一 切 x 处 发 散 . 证 ,0lim 1 nnn xa , )1( 0 1 收 敛n nnxa O 定 理 (阿 贝 尔 Abel定 理 ) 则 它 在 满 足 不 等 式 | 1xx 的 一 切 x处 绝 对 收 敛 ； 1x 85 ),2,1,0(| 1 nMxa nn使 得,0M | nnxa nnn xxxa | 11 nxxM | 1|,| 1xx ,| 0 1 收 敛等 比 级 数 n nxxM , |0 收 敛n nn xa;)(0 收 敛绝 对因 此 级 数 n nnxa由 正 项 级 数 的 比 较 判 别 法 知 , 证 ,0lim 1 nnn xa, )1( 0 1 收 敛n nnxa | 11 nnnn xxxa 86 , )2( 2时 级 数 发 散设 当 xx 假 如 有 一 点 0 x 适 合 | 20 xx 使 级 数 收 敛 , 则 级 数 当 2xx 时 应 收 敛 , 由 (1)结 论 , x R R几 何 说 明 ： 收 敛 区 域 发 散 区 域发 散 区 域这 与 所 设 矛 盾 . O 87 幂 级 数 0n nnxa 的 收 敛 情 况 必 为 以 下 三 种 情 形 之 一 ： （ 1） 仅 在 0 x 处 收 敛 ； （ 3） 0R ,在 Rx | 处 绝 对 收 敛 ,在 Rx | 处 发散 ,在 Rx | 处 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 . 此 时 正 数 R 称 为 幂 级 数 的 收 敛 半 径 . ;0R规 定 ,R 收 敛 域 ),( . (1) 幂 级 数 只 在 0 x 处 收 敛 : (2) 幂 级 数 对 一 切 x 都 收 敛 : 问 题 ： 如 何 求 幂 级 数 的 收 敛 半 径 ? （ 2） 在 整 个 数 轴 上 收 敛 ； 88 如 果 幂 级 数 0n nnxa 的 所 有 系 数 0na , 则 幂 级 数 0n nnxa 的 收 敛 半 径 为 设 |lim 1nnn aa (或 n nn a |lim ) 定 理 , 0 0 , 0 , 1/R .|lim 1 nnn aaR直 接 地 讲 ， 就 是 89 证 | |lim 11 nn nnn xa xa |lim 1 xaa nnn ,| x (1) 如 果 0 当 1| x 时 , 0n nnxa 发 散 ； 当 1| x 时 ,0n nnxa 绝 对 收 敛 ； 故 0 时 , 1R ； |lim 1nnn aa对 级 数 0 |n nnxa 应 用 比 值 判 别 法 ， 90 ,0 )2( 如 果 .)(0 收 敛绝 对级 数 n nnxa ;R收 敛 半 径, )3( 如 果 .0R收 敛 半 径 证 毕 . 则 对 0 x , 则 对 0 x , 级 数 0n nnxa 发 散 ， ,10 ,| |lim 11 nn nnn xa xa |lim 1 xaa nnn | |lim 1 1 nn nnn xa xa |lim 1 xaa nnn |lim 1nnn aa 91 求 下 列 幂 级 数 的 收 敛 半 径 和 收 敛 域 。例 1 1n nnx1x 时 , 级 数 为 1 1n n , 1x 时 , 级 数 为 1 )1(n nn , 所 以 收 敛 域 为 )1,1 . 解 |lim 1 nnn aaR 111lim nnn 发 散 ；收 敛 。 ，11lim nnn 92 求 下 列 幂 级 数 的 收 敛 半 径 和 收 敛 域 。例 1 一 般 ， ,1n pnnx ，1)1(lim p pn nn 若 1p , 收 敛 域 为 1,1 ； 若 10 p , 收 敛 域 为 )1,1 ； 若 0p , 收 敛 域 为 )1,1( . |lim 1 nnn aaR1x 时 , 级 数 为 1 1n pn ； 1x 时 , 级 数 为 1 )1(n p nn , 93 解 1x , 1 1)1(n nn nx收 敛 半 径 ,11limlim 1 nnaaR nnnn端 点 处 ： 1 1)1(n nn 收 敛 ；1x , 1 1n n 发 散 ； 所 以 收 敛 域 为 1,1( . 例 2 94 解 1 11)1(n nn x收 敛 半 径 ,1lim 1 nnn aaR端 点 处 明 显 发 散 ， 所 以 收 敛 域 为 )1,1( . 例 3 95 即 收 敛 域 为 ),( . 仅 在 0 x 处 收 敛 . 例 4解 0n nnnx 1)1( 11lim nnn nnR例 5 nn xn ! 0解 ，!)1( !lim nnR n ,011lim nn )1()11(lim nn nn 96 12 12lim nnn nn ，2,2|1| 收 敛即 x ,)3,1( 收 敛x .)1(2)1(1 nnn n xn ,1时当 x ,1n n级 数 为,3时当 x ,)1( 1 n n n级 数 为 发 散 ；发 散 ，故 收 敛 域 为 (-1, 3) . 例 6解 |lim 1 nnn aaR 97 求 幂 级 数 1 21 3)1(n nnn nx 的 收 敛 域 。 ,327293 642 xxx级 数 为 缺 少 偶 次 幂 的 项|)( )(|lim 1 xu xu nnn | 2221 3/13lim nxn x nnnnn ,3 2x级 数 收 敛 ；,13 2 x当 ,31| 时即 x 例 7解直 接 应 用 比 值 判 别 法 ， 级 数 发 散 ； ,13 2 x当 ,31| 时即 x 98 ,31 时当 x ,1)1(1 1 n n n级 数 为 级 数 收 敛 ，所 以 原 级 数 的 收 敛 域 为 .31,31 1 21 3)1(n nnn nx级 数 收 敛 ；,13 2 x当 ,31| 时即 x 级 数 发 散 ；,13 2 x当 ,31| 时即 x 99 (二 )幂 级 数 的 性 质幂 级 数 的 加 减 法 ： .,min 21 RRR收 敛 半 径 为 ,2100 RRxbxa n nnn nn 和的 收 敛 半 径 分 别 为和设 加 法 ： 0 .)(n nnn xba 00 n nnn nn xbxa减 法 ： 0 .)(n nnn xba 00 n nnn nn xbxa 100 幂 级 数 和 函 数 的 分 析 性 质 设 幂 级 数 0n nnxa 的 收 敛 半 径 为 R, 收 敛 域 为 I，且 和 函 数 为 )(xS .下 面 介 绍 )(xS 的 三 个 性 质 . 性 质 1 )(xS 在 0n nnxa 的 收 敛 域 I 内 连 续 . IxxaxS n nn ,)( 0在 收 敛 域 上 ， 幂 级 数 的 和 是 x 的 函 数 S(x)， 称S(x)为 幂 级 数 的 和 函 数 。 101 性 质 2 )(xS 在 ),( RR 内 可 导 ,且 有 逐 项 求 导 公 式 ： 且 收 敛 半 径 仍 为 R. 0 )()( n nnxaxS 0 )(n nnxa ， 1 1n nnxna IxxaxS n nn ,)( 0 注 ： (1) 实 际 上 ， )(xS 在 ),( RR 内 任 意 阶 可 导 ； (2) 逐 项 求 导 后 ， 原 来 收 敛 的 端 点 可 能 变 发 散 。 102注 ： 逐 项 积 分 后 ， 原 来 发 散 的 端 点 可 能 变 收 敛 。 性 质 3 )(xS 在 0n nnxa 的 收 敛 域 I 内 可 积 ,且 有 逐 项积 分 公 式 ： x xxS0 d)( 0 0 dn x nn xxa，1 0 1 nn n xna 且 收 敛 半 径 仍 为 R. x n nn xxa0 0 d)( IxxaxS n nn ,)( 0 103 解 求 幂 级 数 1 1n nxn 的 收 敛 域 及 和 函 数 ， 并 求 级 数 例 81 2n nn 的 和 。 收 敛 半 径 ,11limlim 1 nnaaR nnnn端 点 处 明 显 发 散 ， 所 以 收 敛 域 为 )1,1( . 104 解 求 幂 级 数 1 1n nxn 的 收 敛 域 及 和 函 数 ， 并 求 级 数 例 81 2n nn 的 和 。 ,)1( 1 2xx xxS0 d)( )11 1()( xxS ,)( 1 1 n nxnxS设 1n nx xx 1所 以 )1,1(x ,11 1 x 取 21x , 得 4)211( 12 21 1 n nn , 所 以 221 n nn 。 两 边 从 0 到 x 积 分 , 105 收 敛 半 径 为 1R , (1)解 )1,1x逐 项 求 导 , ,)( 1 n nnxxS设 1 1)( n nxxS ,1 1x 1| x收 敛 域 为 )1,1 , x xxS0 d)( 所 以 ,)1ln( x,0)0( S ,)1ln()( xxS 例 9 求 下 列 幂 级 数 的 收 敛 域 及 和 函 数 ： 32 321 xxxnxn n )0()( SxS x xx0 d1 1 106 (2)解 收 敛 半 径 1 3n nnnx ,3R 收 敛 域 为 )3,3 . 设 1 3)( n nnnxxS ,逐 项 求 导 得 1 1)3(31)( n nxxS 3/1 131 x ,3 1 x )3,3(x)0(d)()( 0 SxxSxS x .)3 ,3x03d0 x xxxx 0)3ln( ,3ln)3ln( x 107 (3)解 收 敛 半 径 为 1R , 收 敛 域 为 )1,1( , )1,1(x ,)1ln(21 2x,1 2xx 1 122n nnx ,21 2 n nnxx 1 122n nnx ,2)( 1 2 n nnxxS设 1 12)( n nxxS则 )0(d1)( 0 2 SxxxxS x 于 是 )1,1(x ,)1ln(212 2 1 12 xxnxn n 所 以 108)1,1(x x n n xxx 0 1 12 d,)1ln(21 2xx x xxxx 0 2 d1 1 122n nnx 1 22n nnxx 简 便 写 法 ：解 收 敛 半 径 为 1R , 收 敛 域 为 )1,1( , (3) 1 122n nnx 10