第1部分第一章 §1 分类加法计数原理和分布乘法计数原理

第1部分第一章1理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 返回 返回 返回 返回 返回 1刘翔为了备战2012年伦敦奥运会，需要从北京到A地进行封闭式训练，每天有7次航班，5列动车 问题1：刘翔从北京到A城的方法可分几类？ 提示：两类，即乘飞机、乘动车 问题2：这几类方法都能完成“从北京到A城”这件事吗？ 提示：都能 问题3：刘翔从北京到A城共有多少种不同的方法？ 提示：7512(种) 返回 2若你班有男生26人，女生24人，从中选一名同学担任班长 问题4：不同的选法的种数为多少？ 提示：262450. 返回 分类加法计数原理(加法原理) 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法那么，完成这件事共有 N 种方法.m1m2mn 返回 1刘翔从北京到A城需在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有5列动车 问题1：刘翔从北京到A城需要经历几个步骤？ 提示：两个，即从北京到B城，从B城到A城 返回 问题2：这几个步骤中的某一步能完成“从北京到A城”这件事吗？ 提示：不能必须“从北京到B城”“从B城到A城”这两步都完成后才能完成“从北京到A城”这件事 问题3：刘翔从北京到A城共有多少种不同的方法？ 提示：7535(种) 返回 2若你班有男生26人，女生24人，从中选一名男生和一名女生担任班长 问题4：不同的选法的种数为多少？ 提示：2624624. 返回 分步乘法计数原理(乘法原理) 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法那么，完成这件事共有 N 种方法m1m2mn 返回 1分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步乘法计数原理的每一个步骤都是完成这件事情的中间环节，都不能独立完成这件事情 2分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步乘法计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积 返回 返回 例1高二一班有学生50人，男生30人；高二二班有学生60人，女生30人；高二三班有学生55人，男生35人 (1)从中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高二一班、二班男生中，或从高二三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 返回 思路点拨(1)完成的一件事是从三个班级中选一名学生任学生会主席；(2)完成的一件事是从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，因而可按当选学生来自不同班级分类，利用分类加法计数原理求解 返回 精解详析(1)选一名学生任学生会主席有3类不同的选法： 第一类，从高二一班选一名，有50种不同的方法； 第二类，从高二二班选一名，有60种不同的方法； 第三类，从高二三班选一名，有55种不同的方法 故任选一名学生任学生会主席的选法共有 506055165种不同的方法 返回(2)选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法：第一类，从高二一班男生中选，有30种不同的方法；第二类，从高二二班男生中选，有30种不同的方法；第三类，从高二三班女生中选，有20种不同的方法故选一名学生任学生会体育部长共有30302080种不同的方法 返回 一点通如果完成一件事有n类不同的办法，而且这n类办法是相互独立的，无论用哪一类办法中的哪一种方法都能独立地完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总种数 返回1上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等房10间，中等房20间，一般房25间，则客人选一间房的选法有 ()A500种B5 000种C55种 D10种解析：选法为10202555种答案：C 返回 2设x，y N，且xy3，则直角坐标系中满足条件的点M(x，y)共有 ()A3个 B4个C5个 D10个解析：第一类x0，y0,1,2,3，共4个；第二类x1，y0,1,2，共3个；第三类x2，y0,1，共2个；第四类x3，y0,1个满足条件的点M(x，y)共有432110个答案：D 返回3在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有多少个？解：依据“十位数字大于个位数字”进行分类，令十位数字为 m，个位数字为n，则有当 m1时，n0，有1个；当 m2时，n0,1，有2个；当 m3时，n0,1,2，有3个；当 m9时，n0,1,2,38，有9个所有这样的两位数共有123945个 返回 例2某中学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤现要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制成多少种不同的套餐？ 思路点拨“配制成一荤一素一汤的套餐”，需分步完成，考察每步有多少种选择方法，然后根据分步乘法计数原理计数即可 返回 精解详析共分三步： 第一步：配一个荤菜有6种选择； 第二步：配一个素菜有5种选择； 第三步：配一个汤有3种选择 根据分步乘法计数原理，共有65390种不同的套餐 一点通利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积，注意各步之间的相互联系，每步都完成后，才能完成这件事 返回4现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同配法的种数为 ()A7 B12C64 D81 返回解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步：选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；第二步：选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法故共有4312种不同的配法答案：B 返回5将3封信投到4个邮筒，所有投法有 ()A24种 B4种C64种 D81种解析：分三步完成投信这件事第一步投第1封信有4种方法，第二步投第2封信有4种方法，第三步投第3封信有4种方法，故共有N44464种方法答案：C 返回6从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数 返回解：(1)三位数有三个数位：百位，十位，个位，故可分三步完成：第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法依据分步乘法计数原理，共有43224个满足要求的三位数 返回(2)分三步完成：第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法故共有23212个三位数的偶数. 返回 例3(12分)如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法 返回 思路点拨本题可以先分类，由A，C是否种相同的花分为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类 精解详析法一：分为两类： 第一类：当花坛A，C中种的花相同时有431336种； 第二类：当花坛A，C中种的花不同时有432248种 共有364884种 返回 法二：分为四步： 第一步：考虑A，有4种； 第二步：考虑B，有3种； 第三步：考虑C，有两类：一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种共有43(1322)84种 一点通综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤 返回7已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为 ()A18 B16C14 D10 返回解析：分为两大类：第一类，以集合M中的元素为点的横坐标，集合N中的元素为点的纵坐标由分步乘法计数原理，有326个不同的点第二类，以集合N中的元素为点的横坐标，集合M中的元素为点的纵坐标由分步乘法计数原理，有428个不同的点由分类加法计数原理，第一、二象限内不同的点共有N6814个答案：C 返回8有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有_种不同的选法解析：分为三类，每一类再分两步第一类选中文、英文书各一本有7535种选法，第二类选中文、法文书各一本有7321种选法，第三类选英文、法文书各一本有5315种选法，所以总共有35211571种不同的选法答案：71 返回9如图所示，从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地直接到达丙地有2条水路可走(1)从甲地经过乙地到丙地有多少种不同的走法？(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 返回解：(1)由分步乘法计数原理知，从甲地经过乙地到达丙地共有236种不同的走法(2)从甲地到丙地可分两类：第一类：由甲地直接到丙地，共有2种不同的走法；第二类：由甲地经乙地到丙地，共有236种不同的走法由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有268种不同的走法 返回1两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事有n类不同的办法，关键词是“分类”完成一件事需要n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，即缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 返回 2.“分类”“分步”应注意 (1)分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数 (2)分步要做到“步骤完整”完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数 返回点击下图