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2002年 在 北京 召 开 的 国 际 数 学家 大 会 （ ） 。 在 那 个大 会 上 ， 到 处 可 以看 到 一 个 简 洁 优 美的 图 案 在 流 动 ， 那个 远 看 像 旋 转 的 纸风 车 的 图 案 就 是 大会 的 会 标 那 是 采 用 了 1700多 年 前 中 国 古 代 数 学家 赵 爽 用 来 证 明 勾 股 定 理 的 弦 图 探 索 勾 股 定 理 （ 1）1 教 学 目 标 ： 探 究 勾 股 定 理 ， 掌 握 勾 股 定 理 ，并 能 用 它 解 决 简 单 实 际 问 题 。重 点 ： 掌 握 勾 股 定 理 ， 并 能 用 它解 决 简 单 实 际 问 题 。 难 点 ： 用 面 积 探 究 勾 股 定 理 。 三 角 尺 直 角 边 a 直 角 边 b 斜 边 c 关 系12 三 角 尺 直 角 边 a、 直 角 边 b、 斜 边 c关 系 测 量 你 的 两 块 直 角 三 角 尺的 三 边 的 长 度 ， 并 将 各 边 的 长度 填 入 下 表 ：请 猜 想 三 边 的 长 度 a、 b、 c之 间 的 关 系 。 P 、 Q 、 R 的 面 积 有 什 么 关 系 ？直 角 三 角 形 三 边 有 什 么 关 系 ？等 腰 直 角 三 角 形 中 ， 两 直 角 边 的 平 方 和 等 于 斜 边 的 平 方 那 么 在 一 般 的 直 角 三 角 形 中 ， 两 直 角 边 的 平 方 和 是 否 等 于 斜 边 的 平 方 呢 ?A BCP QRP+Q=RAC2+BC2=AB2 正 方 形 P的 面 积 平 方 厘 米 ；正 方 形 Q的 面 积 平 方 厘 米 ；正 方 形 R的 面 积 平 方 厘 米 正 方 形 P、 Q、 R的 面 积 之 间 的 关 系是 直 角 三 角 形 的 三 边 的 长 度 之 间存 在 关 系 （ 每 一 小 方 格 表 示 1平 方 厘 米 ） 91625P+ Q= RAC2+BC2=AB2 在 一 般 的 直 角 三 角 形 中 ， 两 直 角 边 的 平 方 和 等 于 斜 边 的 平 方 也 成 立 ！ 分 “ 割 ” 成 若 干 个 直 角 边为 整 数 的 三 角 形 。 25 144321 R 在 方 格 图 中 ，用 三 角 尺 画 出 两 条直 角 边 分 别 为 5cm、 12cm的 直 角 三 角 形 ，然 后 用 刻 度 尺 量 出斜 边 的 长 ， 并 验 证关 系 “ 两 直 角 边 的平 方 和 等 于 斜 边 的平 方 ” 对 这 个 直 角三 角 形 是 否 成 立 5 1225 52+122= 325 = 252成 立 对 于 任 意 的 直 角 三 角 形 ， 如 果它 的 两 条 直 角 边 分 别 为 a、 b， 斜 边 为 c，那 么 一 定 有 a2 b2 c2。勾 股 定 理 揭 示 了 直 角 三 角形 三 边 之 间 的 关 系 勾 股 定 理 ：ab c a2+b2=c2ac b勾 股 定 理 直 角 三 角 形 两 直 角 边 的平 方 和 等 于 斜 边 的 平 方 .a2=c2 -b2b2=c2 - a2 做一做： P 625400 2 6x P的 面 积 =_X=_ 243226 22 x 24 225BAC AB=_AC=_BC=_251520 求 下 列 图 中 表 示 边 的 未 知 数 x、 y、 z的 值 .81 144x y z 625 576144169X=81+144 2 Y=169-144 Z=625-5762 2X=15 Y=5 Z=7 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7 比一比看看谁算得快 ！ 3.求 下 列 直 角 三 角 形 中 未 知 边 的 长 :可 用 勾 股 定 理 建 立 方 程 .方 法 小 结 :8 x17 1620 x 125x 例 1如 图 14.1.4， 将 长 为 5.41米 的 梯 子 AC斜 靠 在 墙 上 ， 长 为 2.16米 ， 求 梯 子 上 端 A到 墙 的 底 边 的 垂 直距 离 （ 精 确 到 0.01米 ）在 Rt 中 ， . 米 ， . 米 ，根 据 勾 股 定 理 可 得 . （ 米 ） 答 ： 梯 子 上 端 A到 墙 的 底 边 的 垂 直 距 离 约 为 4.96米 AC 22 22 . .5.142.16？ 解 1. 在 Rt 中 ， c， a， AC b， B 90 （ 1） 已 知 a 6， b 10， 求 c；（ 2） 已 知 a 24， c 25， 求 b3.小 波 家 买 了 一 部 新 彩 电 ,小 波 量 了 电 视 机 的 屏 幕 后 ， 发 现屏 幕 长 58厘 米 和 宽 46厘 米 ， 就 问 妈 妈 彩 电 是 多 少 英 寸 ,妈 妈告 诉 他 : “我 们 平 常 所 说 的 电 视 机 多 少 英 寸 指 的 是 屏 幕 对 角线 的 长 度 ,1英 寸 等 于 2.54厘 米 ,利 用 你 所 学 的 知 识 算 一 下 电视 机 是 多 少 英 寸 的 ?”练 习2. 如 果 一 个 直 角 三 角 形 的 两 条 边 长 分 别 是 3厘 米 和 4厘 米 ，那 么 这 个 三 角 形 的 周 长 是 多 少 厘 米 ? 用 四 个 完 全 相 同 的 直 角 三 角 形 ， 然 后 将 它 们 拼 成如 图 所 示 的 图 形 大 正 方 形 的 面 积 可 以 表 示 为 。又 可 以 表 示 为 对 比 两 种 表 示 方 法 ， 看 看 能 不 能得 到 勾 股 定 理 的 结 论 (a+b)2= 24 ab C 2a2+ b2c2 = (a+b)2cab 224 用 四 个 完 全 相 同 的 直 角 三 角 形 ， 还 可 以 拼 成 如 图所 示 的 图 形 大 正 方 形 的 面 积 可 以 表 示 为 。又 可 以 表 示 为 对 比 两 种 表 示 方 法 ， 看 看 能 不 能 得 到 勾 股定 理 的 结 论 22 )( abc 222 cba ab21422 )( abc ab214= 读 一 读 我 国 古 代 把 直 角 三 角 形 中 较 短 的 直 角 边 称 为 勾 ，较 长 的 直 角 边 称 为 股 ， 斜 边 称 为 弦 .图 1-1称 为 “ 弦 图” ， 最 早 是 由 三 国 时 期 的 数 学 家 赵 爽 在 为 周 髀 算 经 作 法 时 给 出 的 . 弦股勾 图 1-1 两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。 a2+b2=c2ac b 直 角 三 角 形 两 直 角 边 的 平 方 和等 于 斜 边 的 平 方 .勾 股弦 勾 股 定 理 (毕 达 哥 拉 斯 定 理 ) 如 图 ， 为 了 求 出 位 于 湖 两 岸 的 两 点 A、 B之 间 的 距 离 ，一 个 观 测 者 在 点 C设 桩 ， 使 三 角 形 恰 好 为 直 角 三 角形 通 过 测 量 ， 得 到 AC长 160米 ， 长 128米 问 从 点 A穿 过 湖 到 点 B有 多 远 ? 如 图 14.1.9， 在 直 角 三 角 形 中 ，AC 米 ， 米 ，根 据 勾 股 定 理 可 得 96（ 米 ） 答 ： 从 点 A穿 过 湖 到 点 B有 96米 22 BCAC 22 128160 解 例 如 图 ， 大 风 将 一 根 木 制 旗杆 吹 裂 ， 随 时 都 可 能 倒 下 ，十 分 危 急 。 接 警 后 “ 119”迅 速 赶 到 现 场 ， 并 决 定 从断 裂 处 将 旗 杆 折 断 。 现 在需 要 划 出 一 个 安 全 警 戒 区域 ， 那 么 你 能 确 定 这 个 安全 区 域 的 半 径 至 少 是 多 少米 吗 ？9m24m ? 1. 如 图 ， 小 方 格 都 是 边 长 为 1的 正 方 形 ， 求 四 边形 D的 面 积 与 周 长 练 习 2. 假 期 中 ， 王 强 和 同 学 到 某 海 岛 上 去 探 宝 旅 游 ， 按照 探 宝 图 （ 如 图 ） ， 他 们 登 陆 后 先 往 东 走 8千 米 ，又 往 北 走 2千 米 ， 遇 到 障 碍 后 又 往 西 走 3千 米 ， 再 折向 北 走 到 6千 米 处 往 东 一 拐 ， 仅 走 1千 米 就 找 到 宝 藏 ，问 登 陆 点 A到 宝 藏 埋 藏 点 B的 直 线 距 离 是 多 少 千 米 ? a bc bac S 梯形ABCD= 1 2 a+b 2 = 1 2(a 2+2ab+b2) 又 S梯形ABCD=S AED+S EBC+S CED = 1 2ab+ 1 2ba+ 1 2c 2= 1 2(2ab+c 2) 2=a2+b2 A BCD E总统证法
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