“数与代数、综合与实践“

“ 数 与 代 数 ” “ 综 合 与 实 践 ”版 块 内 容 分 析 及 教 学 建 议 1 第 二 学 段 1.数 的 认 识 2.数 的 运 算 3.式 与 方 程 4.正 比 例 、 反 比 例 5.探 索 规 律 第 一 学 段 1.数 的 认 识 2.数 的 运 算 3.常 见 的 量 4.探 索 规 律 数 与 代 数 1 调 整 的 内 容（ 1） 第 一 学 段 增 加 了 “ 知 道 用 算 盘 可 以 表 示 多 位 数 ” 。 这 一 要 求充 分 考 虑 了 中 国 传 统 文 化 的 因 素 ， 以 及 许 多 专 家 学 者 和 一 线 教 师对 珠 算 在 小 学 数 学 教 学 中 的 作 用 问 题 所 提 出 的 建 议 。（ 2） 将 第 二 学 段 中 “ 会 口 算 百 以 内 一 位 数 乘 、 除 两 位 数 ” 调 整 到了 第 一 学 段 ， 并 降 低 了 要 求 ， 调 整 为 “ 能 口 算 简 单 的 百 以 内 的 一位 数 乘 除 两 位 数 ” 。（ 3） 第 二 学 段 中 删 去 了 “ 会 比 较 百 分 数 的 大 小 ” ， 只 要 求 “ 能 比较 小 数 的 大 小 和 分 数 的 大 小 ” 。（ 4） 第 二 学 段 增 加 了 “ 经 历 与 他 人 交 流 各 自 算 法 的 过 程 ， 并 能 表达 自 己 的 想 法 。 ”新 课 标 中 关 于 “ 数 与 代 数 ” 的 要 求 与 以 往 有何 主 要 不 同 ？ 2 进 一 步 明 确 的 内 容（ 1） 目 标 的 表 述 更 加 准 确 和 完 整 第 一 学 段 ： 在 对 数 的 认 识 中 ， 更 加 强 调 了 “ 在 现 实 情 境 中 理 解 数 的 意 义 ” 。 将 “ 认 识 符 号 的 含 义 ” ， 调 整 为 “ 理 解 符 号 的含 义 ” 。 将 “ 能 结 合 具 体 情 境 初 步 理 解 分 数 的 意 义 ， 能 认 、 读 、 写 小 数 和简 单 的 分 数 ” ， 调 整 为 “ 能 结 合 具 体 情 境 初 步 认 识 小 数 和 分 数 ，能 读 、 写 小 数 和 分 数 ” 。 将 “ 体 会 四 则 运 算 的 意 义 ” ， 调 整 为 “ 体 会 整 数 四 则 运 算 的 意 义” 将 “ 能 结 合 具 体 情 境 进 行 估 算 ， 并 解 释 估 算 的 过 程 ” ， 调 整 为 “能 结 合 具 体 情 境 ， 选 择 适 当 的 单 位 进 行 简 单 估 算 ， 体 会 估 算 在 生活 中 的 作 用 ” 。 将 “ 能 灵 活 运 用 不 同 的 方 法 解 决 生 活 中 的 简 单 问 题 ， 并 能 对 结 果的 合 理 性 进 行 判 断 ” ， 调 整 为 “ 能 运 用 数 及 数 的 运 算 解 决 生 活 中的 简 单 问 题 ， 并 能 对 结 果 的 实 际 意 义 作 出 解 释 ” 。 第 二 学 段 ： 将 “ 进 一 步 体 会 数 在 日 常 生 活 中 的 作 用 ， 会 运 用 数 表 示 事 物， 并 能 进 行 交 流 ” ， 调 整 为 “ 会 用 数 描 述 事 物 的 某 些 特 征 ，进 一 步 体 会 数 在 日 常 生 活 中 的 作 用 ” 。 将 “ 知 道 整 数 、 奇 数 、 偶 数 、 质 数 、 合 数 ” ， 调 整 为 “ 了 解自 然 数 、 整 数 、 奇 数 、 偶 数 、 质 （ 素 ） 数 和 合 数 ” 。 将 “ 进 一 步 认 识 小 数 和 分 数 ， 认 识 百 分 数 ； 探 索 小 数 、 分 数和 百 分 数 之 间 的 关 系 ， 并 会 进 行 转 化 （ 不 包 括 将 循 环 小 数 化为 分 数 ） ” ， 调 整 为 “ 结 合 具 体 情 境 ， 理 解 小 数 和 分 数 的 意义 ， 理 解 百 分 数 的 意 义 ； 会 进 行 小 数 、 分 数 和 百 分 数 的 转 化（ 不 包 括 将 循 环 小 数 化 为 分 数 ） ” 。 将 “ 会 用 负 数 表 示 一 些 日 常 生 活 中 的 问 题 ” ， 调 整 为 “ 会 用 负 数 表 示 日 常 生 活 中 的 一 些 量 ” 。 将 “ 会 用 方 程 表 示 简 单 情 境 中 的 等 量 关 系 ” ， 调 整 为 “ 能用 方 程 表 示 简 单 情 境 中 的 等 量 关 系 ， 了 解 方 程 的 作 用 ” 。 将 “ 理 解 等 式 的 性 质 ， 会 用 等 式 的 性 质 解 简 单 的 方 程 ” ，调 整 为 “ 了 解 等 式 的 性 质 ， 能 用 等 式 的 性 质 解 简 单 的 方 程 ”。 将 “ 通 过 具 体 问 题 认 识 成 正 比 例 、 反 比 例 的 量 ” ， 调 整 为“ 通 过 具 体 情 境 ， 认 识 成 正 比 例 的 量 和 成 反 比 例 的 量 ” 。 将 “ 探 求 给 定 事 物 中 隐 含 的 规 律 或 变 化 趋 势 ” ， 调 整 为 “探 索 给 定 情 境 中 隐 含 的 规 律 或 变 化 趋 势 ” 。 （ 2） 目 标 的 要 求 更 加 明 确 对 教 学 中 已 有 的 内 容 ， 而 在 课 标 中 没 有 体 现 的 加 以 明 确 。 第 一 学 段 明 确 了 “ 能 结 合 具 体 情 境 比 较 两 个 一 位 小 数 的 大 小 ， 能 比 较 两个 同 分 母 分 数 的 大 小 。 ” 将 “ 能 计 算 三 位 数 的 加 减 法 ， 一 位 数 乘 三 位 数 、 两 位 数 乘 两 位数 的 乘 法 ， 三 位 数 除 以 一 位 数 的 除 法 ” ， 明 确 为 “ 能 计 算 两 位数 和 三 位 数 的 加 减 法 ， 一 位 数 乘 两 位 数 和 三 位 数 、 两 位 数 乘 两位 数 的 乘 法 ， 两 位 数 和 三 位 数 除 以 一 位 数 的 除 法 ” 。 明 确 了 “ 认 识 小 括 号 ， 能 进 行 简 单 的 整 数 四 则 混 合 运 算 （ 两 步） ” 。 第 二 学 段 明 确 了 “ 认 识 中 括 号 ” 。 明 确 了 “ 在 具 体 情 境 中 ， 了 解 常 见 的 数 量 关 系 ： 总 价 =单 价 数 量 、 路 程 =速 度 时 间 ， 并 能 解 决 简 单 的 实 际 问 题 ” 。 明 确 了 “ 结 合 简 单 的 实 际 情 境 ， 了 解 等 量 关 系 ， 并 能 用 字母 表 示 ” 。 明 确 了 “ 在 实 际 情 境 中 理 解 比 的 含 义 ” 。 关 键 的 变 化 之 处 :加 强 对 数 的 意 义 的 理 解 （ 数 感 、 符 号 意 识 ）注 重 提 高 学 生 的 运 算 能 力 第 二 学 段 1.数 的 认 识 2.数 的 运 算 3.式 与 方 程 4.正 比 例 、 反 比 例 5.探 索 规 律 第 一 学 段 1.数 的 认 识 2.数 的 运 算 3.常 见 的 量 4.探 索 规 律核 心 思 想 十 进 位 值 制 思 想代 数 思 想函 数 思 想 模 型思 想 研 讨 的 主 要 问 题如 何 在 “ 数 的 认 识 ” 教 学 中 帮 助 学 生 建 立 “ 数” 的 概 念 ？如 何 在 “ 数 的 运 算 ” 教 学 中 处 理 好 算 理 与 算 法的 关 系 ？如 何 在 “ 式 与 方 程 ” 教 学 中 帮 助 学 生 经 历 从 算术 思 维 向 代 数 思 维 过 渡 ？ 如 何 在 “ 正 、 反 比 例 ” 教 学 中 体 现 函 数 思 想 ？ 11 问 题 一 ： 如 何 在 “ 数 的 认 识 ” 教 学 中 帮 助 学 生 建 立 “ 数 ” 的 概 念 ？ 12 一 般 从 两 个 角 度 理 解 数 的 意 义“ 数 ” 的 本 质 结 构 即 “ 计 数 单 位 与 其 个 数 乘 积 的 累 加 ” 2034=2 1000+0 100+3 10+4 1联 系 生 活 实 际 来 体 会 建 立 数 概 念 是 数 的 认 识 教 学 重 点 在 数 概 念 建 立 的 过 程 中 要 注 意 的 问 题 ：1. 注 重 借 助 具 体 情 境 理 解 数 的 意 义2 2里 面 有 2个 一2个 一 组 成 2 2. 注 重 借 助 动 手 操 作 理 解 数 的 意 义心 理 学 家 皮 亚 杰 ： 智 慧 从 动 作 开 始 。数 是 数 sh出 来 的 243.注 重 借 助 多 种 模 型 理 解 数 的 意 义 125125是 由 1个 百 、 2个 十 和 5个 一 组 成 的 12151215是 由 1个 千 、 2个 百 、 1个 十 和 5个 一 组 成 的 分 数 的 面 积 模 型 ：用 面 积 的 “ 部 分 整 体 ” 表 示 分 数 分 数 的 集 合 模 型 ：用 集 合 的 “ 子 集 全 集 ” 来 表 示 分 数 3.分 数 的 “ 数线 模 型 ” ： 数线 上 的 点 表 示分 数 分 数 墙 （ 1） 重 视 10的 概 念 的 建 立（ 2） 重 视 计 数 单 位 的 累 加（ 3） 重 视 数 位 、 位 值 制 的 理 解（ 4） 重 视 数 位 顺 序 表 的 使 用4. 注 重 把 握 核 心 概 念 理 解 数 的 意 义 （ 1） 重 视 10的 概 念 的 建 立 经 历 “ 10”的 形 成 过 程 ， 感 受 10个 一 是 1个 十 。 在 数 的 组 成 中 ， 感 受 “ 10”的 作 用 。 借 助 手 中 的 学 具 摆 出 11， 并 想 办 法 让 别 人 一 眼 就 看 清 是 11 1个 十 1个 一10 1 比 眼 力 的 小 游 戏 ， 要 求 ： 只 给 2秒 钟 的 观 察时 间 ， 然 后 快 速 说 出 小 方 块 的 个 数 。 1个 十 （ 2） 重 视 计 数 单 位 的 累 加 数 位 是 指 各 个 不 同 的 计 数 单位 所 占 的 位 置 。 在 记 数 时 ，按 照 一 定 的 顺 序 把 各 个 数 字排 列 在 固 定 的 位 置 上 ， 一 个数 字 占 有 一 个 位 置 ， 以 区 别它 们 的 单 位 ， 这 些 位 置 都 称为 数 位 。 没 有 数 位 的 规 定 就没 有 办 法 表 示 更 大 的 数 。 （ 3） 重 视 数 位 、 位 值 制 的 理 解 99 位 值 制 亦 称 位 置 制 ： 指 确 定 数 字 值 的 一 种 原 则 。 数字 有 二 值 ， 一 是 位 置 值 ， 二 是 数 字 值 。 数 字 值 是 数学 本 身 所 表 示 的 值 。 例 如 数 字 6， 就 是 表 示 6个 单位 。 位 值 制 是 数 字 本 身 与 其 位 置 结 合 起 来 所 表 示 的值 。 例 如 ： 626这 个 数 中 ， 两 个 6都 表 示 6个 单 位 ，左 边 的 6表 示 6个 百 ， 右 边 的 6表 示 6个 一 。 这 种 对于 一 个 数 字 ， 由 其 本 身 和 位 置 结 合 起 来 确 定 数 值 的原 则 称 为 位 值 制 。 也 称 位 值 原 则 。 在 位 值 制 记 数 法中 ， 由 于 所 取 进 率 的 不 同 而 有 所 不 同 ， 其 中 十 进 位制 记 数 法 是 最 常 用 的 一 种 。 有 了 位 值 制 ， 就 可 以 用有 限 的 数 字 表 示 出 无 限 的 自 然 数 ， 这 是 计 数 历 史 上的 一 个 创 造 ， 一 个 奇 迹 。 因 此 马 克 思 在 他 的 数 学手 稿 一 书 中 称 十 进 位 值 制 记 数 法 为 “ 最 妙 的 发 明之 一 ” 。 整 数 部 分 小数点 小 数 部 分数位 千位 百位 十位 个位 . 十 分位 百 分位 千 分位 万 分位 计数单位 千 百 十 一（ 个） 十 分之 一 百 分之 一 千 分之 一 万 分之 一 7 2 0 . 5 8 （ 4） 重 视 数 位 顺 序 表 的 使 用 分 数 认 识 的 五 个 阶 段 ：平 均 分 ， 初 步 认 识 ， 意 义 、 性 质 ，与 除 法 的 关 系 ， 运 算 、 解 决 问 题 。5. 注 重 在 循 序 渐 进 中 理 解 数 的 意 义 两 个 基 本 线 索 ： 即 “ 比 的 线 索 ” 和 “ 数 的 线 索 ” 。“ 比 ” 指 的 是 一 部 分 与 另 一 部 分 之 间 的 关 系；“ 数 ” 指 的 是 以 有 理 数 形 式 出 现 的 分 数 ， 此时 的 分 数 表 现 的 是 一 个 结 果 。 四 个 基 本 维 度 ：“ 比 率 ” 是 指 部 分 与 整 体 的 关 系 和 部 分 与 部 分 的 关 系 。“ 度 量 ” 指 的 是 可 以 将 分 数 理 解 为 分 数 单 位 的 累 积 （ 突 出 分 数 单 位 的 作 用 ） 。 “ 运 作 ” 指 的 是 将 对 分 数 的 认 识 转 化 为 一 个 运 算 的 过 程。 “ 商 ” 是 指 分 数 转 化 为 除 法 之 后 运 算 的 结 果 。 它 使 学 生 对 于 分 数 的 认 识 由 “ 过 程 ” 凝 聚 到 “ 对 象 ” ， 即 分 数也 是 一 个 数 ， 也 可 以 和 其 他 数 一 样 进 行 运 算 。 1. 要 注 重 培 养 学 生 的 数 感 2. 要 整 体 把 握 内 容 之 间 的 联 系 3. 要 鼓 励 学 生 进 行 数 学 交 流 关 注 数 的 应 用对 如 何 建 立 数 概 念 的 教 学 建 议 ： 问 题 二 ： 如 何 在 “ 数 的 运 算 ”教 学 中 处 理 好 算 理 与 算 法 的关 系 ？ 35 课 标 对 “ 数 的 运 算 ” 有 什 么 新 要 求 ？ 36运 算 能 力 主 要 是 指 能 够 根 据 法 则 和 运 算 律 正 确 地 进 行运 算 的 能 力 。 培 养 运 算 能 力 有 助 于 学 生 理 解 运 算 的 算理 ， 寻 求 合 理 简 洁 的 运 算 途 径 解 决 问 题 。 应 当 淡 化 对 运 算 的 熟 练 程 度 的 要 求 ， 选 择 正 确 的 计 算方 法 ， 准 确 地 得 到 运 算 结 果 ， 比 运 算 的 熟 练 程 度 更 重要 。 应 当 重 视 学 生 是 否 理 解 了 运 算 的 道 理 ， 是 否 能 准确 地 得 出 运 算 的 结 果 ， 而 不 是 单 纯 地 看 运 算 的 速 度 。在 数 的 运 算 教 学 中 ， 不 能 仅 仅 关 注 于 学 生 运 算 技 能 的掌 握 ， 更 要 注 重 学 生 理 解 算 理 、 掌 握 算 法 的 学 习 过 程， 也 就 是 在 教 学 中 要 注 重 将 算 理 与 算 法 有 机 的 结 合 在一 起 ， 从 而 发 展 学 生 的 运 算 能 力 。 策 略 一 ： 借 助 动 手 操 作 或 直 观 情 境 ， 处 理 好 运 算 教 学 中 算 理 与 算 法 的 关 系 。 如 何 处 理 运 算 教 学 中 算 理 与 算 法 的 关 系 ？ 38 20以 内 的 进 位 加 法 北 京 小 学 魏 来 红 策 略 二 ： 借 助 直 观 模 型 ， 处 理 好 运 算 教 学 中 算 理 与 算 法 的 关 系 。 39 两 位 数 乘 两 位 数 皇 城 根 小 学 史 冬 梅方 法 一 ： 12 7 +12 7 方 法 二 ： 12 6+12 8 方 法 三 ： 12 4+12 10方 法 四 ： 14 7+145 方 法 六 ： 12 10+124方 法 五 ： 6 74 40 策 略 三 ： 借 助 学 生 已 有 的 认 知 基 础 和 生 活经 验 ， 处 理 好 运 算 教 学 中 算 理 与算 法 的 关 系 。 41 小 数 加 减 法 北 京 小 学 于 萍0.8+3.74= 0 .8+ 3 .7 4 4 .5 44.54 生 ： 整 数 的 末 位 是 个 位 ， 末位 对 齐 也 就 是 个 位 对 齐 了 。而 小 数 的 末 位 不 一 定 是 相 同的 ， 所 以 不 能 末 位 对 齐 。把 小 数 点 对 齐 ， 也 就 是相 同 数 位 对 齐 。如 果 不 把 小 数 点 对 齐 ， 而把 末 位 对 齐 的 话 ， 十 分 位的 8就 和 百 分 位 的 4对 齐 了 ，相 加 之 后 肯 定 就 不 对 了 。元 角 分小 数 点 对 齐 相 同 数 位 对 齐 计 数 单 位 42 对 “ 数 的 运 算 ” 教 学 的 建 议 ：1. 处 理 好 算 理 直 观 与 算 法 抽 象 的 关 系 。2. 处 理 好 算 法 多 样 与 算 法 优 化 的 关 系 。3. 处 理 好 技 能 训 练 与 思 维 训 练 的 关 系 。4. 注 重 计 算 与 日 常 生 活 及 解 决 问 题 的 联 系 。 43 问 题 四 ： 如 何 在 方 程 教 学 中 帮 助学 生 经 历 从 算 术 思 维 向 代 数 思 维过 渡 （ 渗 透 代 数 思 想 ） ？ 44 数 学 思 想 方 法 是 人 们 对 数 学 知 识 和 本 质 规 律 的 认 识， 是 分 析 、 处 理 与 解 决 数 学 问 题 的 根 本 途 径 。 代 数思 想 是 数 学 思 想 方 法 的 重 要 内 容 之 一 ， 也 是 培 养 学生 抽 象 思 维 能 力 重 要 素 材 。代 数 思 想 是 运 用 字 母 来 代 替 具 体 数 值 进 行 思 考 的 思维 形 式 。 它 是 一 种 特 殊 的 抽 象 思 维 形 式 。算 术 是 “ 数 ” 的 运 算 ， 代 数 是 “ 式 ” 的 运 算 ， 这 是算 术 与 代 数 的 一 个 根 本 的 差 别 。 算 术 是 代 数 的 基 础 ， 方 程 则 是 代 数 的 主 题 。 算 术 思 维 方 法 ： 是 从 具 体 问 题 的 已 知 数 出 发 ， 通 过 对已 知 数 或 计 算 产 生 的 中 间 数 进 行 一 系 列 的 计 算 而 达 到问 题 的 解 。 思 考 的 过 程 往 往 是 从 已 知 数 出 发 ， 最 后 达到 未 知 数 。 它 建 立 在 数 的 运 算 之 上 。方 程 思 想 方 法 ： 是 从 设 立 未 知 数 出 发 ， 根 据 未 知 数 所应 满 足 的 条 件 ， 把 问 题 表 示 为 含 有 未 知 数 的 等 式 关 系（ 建 立 数 学 模 型 ） 。 利 用 等 式 的 性 质 对 方 程 进 行 同 解变 形 ， 在 变 化 的 过 程 中 始 终 保 持 方 程 两 端 对 称 的 等 量关 系 。 从 表 示 等 量 关 系 、 保 持 等 量 关 系 ， 到 求 得 方 程的 解 ， 体 现 了 方 程 的 结 构 特 点 。 维 果 茨 基 ： 代 数 对 算 术 就 像 书 面 语 言 对 口 头 语 言 。 如 何 在 方 程 教 学 中 帮 助 学 生 经 历 从 算 术 思 维 向代 数 思 维 过 渡 （ 渗 透 代 数 思 想 ） ？建 议 一 ： 打 好 算 术 的 基 础 ， 为 学 生 从 算 术 思 维 向 代 数 思 维 过 渡 做 好 积 淀 。 建 议 二 ： 用 字 母 代 表 数 是 从 算 术 思 维 迈 向 代 数 思 维 的 起 步 ， 要 提 前 做 好 孕 伏 。 用 括 号 表 示 未 知 数 50用 符 号 表 示 未 知 数 用 实 物 图 片 表 示 未 知 数 用 字 母 表 示 运 算 定 律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a-b-c=a-(b+c) 唱 儿 歌 ： “ 数 青 蛙 ” 用 字 母 表 示 数 赵 震 （ ） 只 青 蛙 （ ） 张 嘴 ,（ ） 只 眼 睛 （ ） 条 腿 。生 1： 无 数 只 青 蛙 无 数 张 嘴 ， 无 数 只 眼 睛 无 数 条 腿 。生 2： a只 青 蛙 b张 嘴 ， c只 眼 睛 d条 腿 。生 3： a只 青 蛙 a张 嘴 ， b只 眼 睛 c条 腿 。生 4： a只 青 蛙 a张 嘴 ， aa只 眼 睛 aaaa条 腿 。生 5： a只 青 蛙 a张 嘴 ， 2a只 眼 睛 4a条 腿 。 55生 6： a只 青 蛙 a张 嘴 ， a只 眼 睛 a条 腿 。 建 议 三 ： 抓 住 方 程 思 想 的 本 质 、 核 心 ， 体 现 它 的 价 值 和 意 义 。 什 么 是 方 程 ？教 材 ： 含 有 未 知 数 的 等 式 叫 方 程 。西 南 大 学 陈 重 穆 教 授 ： 这 样 的 定 义 要 淡 化 ， 不 要 记 ，无 须 背 ， 更 不 要 考 ， 关 键 要 理 解 方 程 思 想 的 本 质 ， 它的 价 值 和 意 义 。函 数 也 是 含 有 未 知 数 的 等 式 ， 如 ： s=vt， 容 易 和 方 程混 淆 ； 用 字 母 表 示 运 算 定 律 ： a+b=b+a， 是 不 是 方 程？ X=0是 不 是 方 程 ？ 不 研 究 ， 它 们 不 能 帮 助 寻 求 未 知 的信 息 。 方 程 是 为 了 寻 求 未 知 数 ， 在 未 知 数 和 已 知 数 之 间 建 立 起 来 的等 式 关 系 。 方 程 是 一 种 关 系 ， 其 特 征 是 “ 等 式 ” 关 系 ， 这 种等 式 关 系 ， 把 未 知 数 和 已 知 数 联 系 起 来 ， 使 我 们 借 助 这 一 关系 ， 找 到 了 我 们 需 要 的 未 知 数 。 方 程 的 核 心 是 要 求 未 知 数 ，把 未 知 当 成 已 知 对 待 并 参 与 运 算 ， 进 而 求 出 未 知 数 。 （ 把 未知 量 先 等 同 于 已 知 量 ， 和 已 有 的 已 知 量 进 行 相 关 运 算 ， 形 成等 量 关 系 ； 从 而 之 后 能 帮 助 解 答 出 未 知 量 ） 而 在 教 材 的 定 义 中 却 没 有 很 好 的 体 现 。 学 生 学 习 方 程 的 困 难 点 ：1、 不 能 很 快 理 解 已 知 数 和 未 知 数 的 平 等 关 系 。 一 本 书 共 100页 ， 小 明 每 天 看 20页 ， 3天 后 还 剩 多 少 页 ？ 列 方 程 ： X=100-2 0 3 披 着 代 数 外 衣 的 “ 算 术 解 法 ” 解 决 的 办 法 一 : 利 用 直 观 ， 使 学 生 感 受 “ =” 表 示 相 等 关 系 。 案 例 分 析 ： 方 程 中 关 村 一 小 陈 千 举 （ 6） +3=9（ 只 ）答 ： 还 剩 下 6只 小 鹿 。9-3=6（ 只 ） 解 决 的 办 法 二 : 将 模 型 与 生 活 建 立 起 联 系 （ 1） 指 名 让 学 生 为 站 在 一 起 的 老 师 和 学 生 构 造 方 程 ， 师 在 其 中 有 目 的 地 追 问 相 应 的 等 量 关 系 。（ 2） 同 学 身 高 x厘 米 ， 我 们 两 个 相 差 32厘 米 ， 陈 老 师 身 高 180厘 米 。 师 ： 这 次 你 都 能 列 出 哪 些 方 程 ？ （ x 32=180 180 x=32 ） 解 决 的 办 法 三 ： 在 算 术 法 和 方 程 法 的 比 较 对 比 中 强 化 认 识 。一 本 书 共 100页 ， 小 明 每 天 看 20页 ， 3天 后 还 剩 多少 页 ？ 方 程 ： X+2 0 3 =1 0 0 部 分 （ 未 知 ） +部 分 =整 体 1 0 0 -X=2 0 3 整 体 -部 分 （ 未 知 ） =部 分 算 术 ： 100-2 0 3 整 体 -部 分 =部 分 （ 未 知 ） 数 量 关 系 相 同思 维 方 法 不 同 2、 书 写 格 式 的 错 误 ， 不 能 区 分 恒 等 变 换 和 同 解 变 换 。 恒 等 变 换 ： 式 的 相 等 是 恒 等 变 换 ： 3X+2X+9+3=5X+12 我 =某 某 某 =某 某 某 的 唯 一 孩 子 =某 校 某 班 学 号 = X+6=10=10-6=4， 把 “ =” 看 成 一 个 指 示 去 做 运 算 的 记 号 。 （ 算 术 思 想 ， 四 则 运 算 各 部 分 间 的 关 系 ） 同 解 变 换 ： 2X+6=30 它 们 有 相 同 的 解 X， 彼 此 间 是 同 解 变 换 2X=24 X=12 我 是 我 爸 爸 的 儿 子 ， 爸 爸 是 爷 爷 的 儿 子 ， 所 以 我 是 爷 爷 的 孙 子 ， 但 爸 爸 的 儿 子 不 能 等 于 爷 爷 的 孙 子 ， 爷 爷 还 会 有 其 他 的 孙 子 。 解 决 的 办 法 ： 发 挥 等 式 性 质 的 作 用 “等 式 性 质 ” 的 教 学 价 值1、 用 四 则 运 算 各 部 分 间 的 关 系 （ 算 术 思 路 ） ， 不 利 于 中 小 的 衔 接 ， 不 利 于 中 学 代 数 起 步 的 教 学 。2、 更 好 的 体 验 、 感 受 方 程 左 右 两 边 “ 相 等 的 关 系 ” 。 从 表 示 等 量 关 系 、 保 持 等 量 关 系 ， 到 求 得 方 程 的 解 ， 体 现 了 方 程 的 结 构 特 点 。 对 “ 方 程 ” 教 学 的 建 议 ：1. 准 确 把 握 内 容 定 位 ， 正 确 理 解 其 价 值 。2. 有 效 开 发 教 学 内 容 ， 为 学 生 代 数 思 维 的 形 成 做 好 铺 垫 和 孕 伏 。 66 问 题 五 ： 如 何 在 正 、 反 比 例 教 学 中 渗 透 函 数 思 想 ？ 67 一 、 对 函 数 思 想 的 认 识 数 学 课 程 标 准 （ 2011年 版 ） 世 界 是 运 动 变 化的 ， 函 数 是 研 究 运 动 变 化 的 重 要 数 学 模 型 ， 与 实际 的 联 系 十 分 紧 密 ， 它 来 源 于 实 际 又 服 务 于 实 际， 从 实 际 中 抽 象 出 函 数 的 有 关 概 念 ， 又 运 用 函 数解 决 实 际 问 题 ， 这 是 学 习 函 数 的 主 要 目 标 。 在 建立 和 运 用 函 数 模 型 的 过 程 中 ， 变 化 和 对 应 的 思 想是 重 要 的 基 础 ， 函 数 就 是 从 数 量 的 角 度 反 映 变 化规 律 和 对 应 关 系 的 数 学 模 型 。 函 数 思 想 重 要 体 现 在 : 认 识 到 这 个 世 界 是 普 遍 联 系 的 ， 各 个 量 之 间 总 是 有 互 相 依 存 的 关系 ， 即 “ 普 遍 联 系 ” 的 观 点 ； 于 “ 变 化 ” 中 寻 求 “ 规 律 (关 系 式 )”， 即 “ 模 式 化 ” 思 想 ； 于 “ 规 律 ” 中 追 求 “ 变 化 ” “ 对 应 ” 等 思 想 ； 根 据 “ 规 律 ” 判 断 发 展 趋 势 ， 预 测 未 来 ， 并 把 握 未 来 ， 即 “ 预 测” 的 思 想 。 于 “ 变 化 ” 中 把 握 “ 规 律 ” ， 并 根 据 规 律 做 出 预 测 ，不 仅 仅 是 重 要 的 数 学 思 想 ， 更 是 人 类 生 存 的 基 本 原 则 。 函 数 的 核 心 就 是 “ 把 握 并 刻 画 变 化 中 的 不 变 ， 其 中 变 化 的 是 过程 ， 不 变 的 是 规 律 (关 系 )”。 学 生 愿 意 去 发 现 规 律 ， 并 能 将规 律 表 述 出 来 的 意 识 和 能 力 ， 就 是 函 数 思 想 在 教 学 中 的 渗 透 。 在 小 学 数 学 中 并 没 有 正 式 学 习 函 数 ， 它 是 中 学 的 重 要内 容 之 一 。 但 是 在 小 学 数 学 的 学 习 中 却 处 处 体 现 和 渗透 着 函 数 思 想 。 如 ： 低 年 级 的 具 体 实 物 与 抽 象 数 的 一一 对 应 ， 和 、 差 的 变 化 规 律 ， 百 数 表 的 变 化 规 律 ， 乘法 口 诀 ， 找 规 律 等 等 ； 中 年 级 的 速 度 、 时 间 和 路 程 ，单 价 、 数 量 和 总 价 ， 工 总 、 工 效 和 工 时 ， 折 线 统 计 图中 数 据 与 点 的 一 一 对 应 ， 长 、 正 方 形 的 周 长 与 面 积 ，积 的 变 化 规 律 、 商 不 变 的 性 质 等 等 ； 高 年 级 的 平 面 图形 的 面 积 ， 立 体 图 形 的 体 积 ， 比 的 基 本 性 质 ， 用 数 对确 定 位 置 ， 正 、 反 比 例 的 意 义 等 等 内 容 中 都 渗 透 着 函数 思 想 。 教 师 在 教 学 中 要 善 于 做 用 心 之 人 ， 在 点 滴 之中 渗 透 函 数 思 想 ， 做 到 润 物 细 无 声 。 在 六 年 级 的 教 学 内 容 中 正 比 例 和 反 比 例 一 直 是 一个 重 要 的 内 容 ， 这 部 分 内 容 同 样 肩 负 了 一 次 认 识上 飞 跃 的 重 要 任 务 。 学 生 将 从 大 量 对 “ 常 量 ” 的认 识 经 验 中 逐 步 过 渡 到 认 识 “ 变 量 ” ， 这 是 函 数思 想 渗 透 的 重 要 契 机 。二 、 在 “ 正 、 反 比 例 ” 的 教 学中 渗 透 函 数 思 想 1、 表 格 法 （ 具 体 ）利 用 函 数 的 多 重 表 示 方 式 渗 透 函 数 思 想 2、 解 析 式 法 （ 抽 象 、 简 洁 ）小 学 数 学 教 学 中 的 许 多 计 算 公 式 ， 都 是 函 数解 析 式 s=ab v=sh 路 程 =速 度 时 间 单 价 =总 价 数 量 y/x=k（ 一 定 ） x y=k(一 定 ） 3、 图 像 法 （ 形 象 、 直 观 ） 课 标 ： 通 过 具 体 情 境 ， 认 识 成 正 比 例 的 量 和 成 反 比 例 的 量 。北 京 实 验 一 小 郭 雯 砚 正 比 例 和 反 比 例 对 “ 正 、 反 比 例 ” 教 学 的 建 议 ：1.让 抽 象 的 直 观 起 来 。2.让 静 止 的 动 态 起 来 。3.让 零 散 的 连 续 起 来 。 76 “ 综 合 与 实 践 ” 研 讨 的 主 要 话 题 ：“ 综 合 与 实 践 ” 的 目 的 和 内 涵“ 综 合 与 实 践 ” 的 要 求“ 综 合 与 实 践 ” 各 学 段 的 具 体 目 标“ 综 合 与 实 践 ” 的 教 育 价 值“ 综 合 与 实 践 ” 教 学 建 议 综 合 与 实 践 一 、 把 三 个 学 段 的 名 称 作 了 统 一 ， 统 称 为 “ 综 合 与 实 践 ” （ 实 践 活 动 、 综 合 应 用 、 课 题 学 习 ） 进 一 步 明 确 了 “ 综 合 与 实 践 ” 的 目 的 和 内 涵 “ 综 合 与 实 践 ” 是 一 类 以 问 题 为 载 体 ， 学 生 主 动 参与 的 学 习 活 动 ， 是 帮 助 学 生 积 累 数 学 活 动 经 验 、 培养 学 生 应 用 意 识 与 创 新 意 识 的 重 要 途 径 。 针 对 问 题情 境 ， 学 生 综 合 所 学 的 知 识 和 生 活 经 验 ， 独 立 思 考或 与 他 人 合 作 ， 经 历 发 现 问 题 和 提 出 问 题 、 分 析 问题 和 解 决 问 题 的 全 过 程 ， 感 悟 数 学 各 部 分 内 容 之 间、 数 学 与 生 活 实 际 之 间 、 数 学 与 其 他 学 科 之 间 的 联系 ， 加 深 对 所 学 数 学 内 容 的 理 解 。 综 合 与 实 践 活 动 要 突 出 “ 综 合 ” 这 种 综 合 不 仅 表 现 为 数 学 内 部 各 分 支 （如 几 何 、 代 数 、 三 角 ） 之 间 的 综 合 ， 数 学 与其 他 学 科 的 综 合 、 数 学 与 学 生 日 常 生 活 实 际的 综 合 ； 还 表 现 为 解 决 问 题 的 过 程 要 求 学 生的 各 种 能 力 、 各 种 方 法 、 各 种 工 具 的 综 合 。 综 合 与 实 践 活 动 要 突 出 “ 过 程 ” “ 综 合 与 实 践 ” 的 实 施 是 以 问 题 为 载 体 、 以 学 生自 主 参 与 为 主 的 学 习 活 动 。 它 有 别 于 学 习 具 体 知 识 的探 索 活 动 ， 更 有 别 于 课 堂 上 教 师 的 直 接 讲 授 。 教 师 通过 问 题 引 领 ， 让 学 生 全 程 参 与 、 实 践 过 程 ， 经 历 相 对完 整 的 学 习 活 动 。 它 的 核 心 是 学 生 在 老 师 的 引 导 和 帮助 下 有 目 标 的 、 自 主 的 实 践 活 动 。 二 、 课 标 提 出 了 明 确 的 要 求 “ 综 合 与 实 践 ” 应 当 保 证 每 学 期 至 少 一 次。 它 可 以 在 课 堂 上 完 成 ， 也 可 以 在 课 外 完 成， 还 可 以 课 内 外 相 结 合 。 三 、 各 学 段 的 具 体 目 标 对 三 个 学 段 的 差 异 作 了 进 一 步 的 明 确 ， 一 方 面 突出 了 创 新 的 核 心 是 “ 发 现 和 提 出 问 题 、 分 析 和 解 决 问题 ” ， 另 一 方 面 突 出 了 不 同 学 段 的 特 点 。 第 一 学 段 ： 内 容 安 排 应 强 调 问 题 情 境 相 对 简 单 、 生 动 有 趣 、 学生 容 易 参 与 ， 可 以 把 操 作 活 动 作 为 主 要 形 式 。 教 师 在组 织 教 学 活 动 时 要 力 求 使 学 生 明 白 解 决 问 题 的 目 标 和步 骤 ， 引 导 学 生 多 动 手 、 多 思 考 、 多 提 问 题 ， 争 取 更多 的 学 生 获 得 成 功 的 体 验 ， 鼓 励 学 生 之 间 的 合 作 交 流 1.通 过 实 践 活 动 ， 感 受 数 学 在 日 常 生 活 中 的 作 用 ， 体验 运 用 所 学 的 知 识 和 方 法 解 决 简 单 问 题 的 过 程 ， 获得 初 步 的 数 学 活 动 经 验 。2.在 实 践 活 动 中 ， 了 解 要 解 决 的 问 题 和 解 决 问 题 的 办法 。3.经 历 实 践 操 作 的 过 程 ， 进 一 步 理 解 所 学 的 内 容 。第 一 学 段 具 体 目 标 ： 第 二 学 段 ： 学 生 将 在 教 师 的 指 导 下 ， 经 历 有 目 的 、 有 设 计 、有 步 骤 的 综 合 与 实 践 活 动 ， 进 一 步 获 得 数 学 活 动 的 经验 。 通 过 应 用 和 反 思 ， 加 深 对 所 学 知 识 的 理 解 ； 通 过探 索 ， 引 发 学 习 的 兴 趣 和 培 养 思 考 的 习 惯 ； 通 过 交 流， 发 展 理 解 他 人 、 团 结 互 助 的 合 作 精 神 。 教 师 应 通 过 问 题 设 计 、 求 解 过 程 的 引 导 ， 鼓 励 学生 多 动 手 、 多 思 考 ； 发 现 问 题 、 提 出 问 题 ； 克 服 困 难、 积 极 进 取 ； 主 动 与 同 伴 合 作 、 积 极 与 他 人 交 流 。 第 二 学 段 具 体 目 标 ：1. 经 历 有 目 的 、 有 设 计 、 有 步 骤 、 有 合 作 的 实 践 活 动 。2 .结 合 实 际 情 境 ， 体 验 发 现 和 提 出 问 题 、 分 析 和 解 决 问 题 的 过 程 。3 .在 给 定 目 标 下 ， 感 受 针 对 具 体 问 题 提 出 设 计 思 路 、 制 定 简 单 的 方 案 解 决 问 题 的 过 程 。4. 通 过 应 用 和 反 思 ， 进 一 步 理 解 所 用 知 识 和 方 法 ， 了 解 所 学 知 识 之 间 的 联 系 ， 获 得 数 学 活 动 经 验 。 （ 一 ） 综 合 与 实 践 有 助 于 学 生 的 发 展 。 “ 综 合 与 实 践 ” 是 指 一 类 以 问 题 为 载 体 、 以 学 生 自主 参 与 为 主 的 学 习 活 动 。 标 准 在 教 学 建 议 部 分 指出 ： “ 综 合 与 实 践 ” 的 教 学 ， 重 在 实 践 、 重 在 综 合 。重 在 实 践 是 指 在 活 动 中 ， 注 重 学 生 自 主 参 与 、 全 过 程参 与 ， 重 视 学 生 积 极 动 脑 、 动 手 、 动 口 。 在 学 生 自 主、 积 极 主 动 参 与 活 动 的 过 程 中 ， 可 以 发 展 学 生 的 动 手、 动 口 能 力 ； 培 养 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣 ， 培 养 学 生 的应 用 意 识 、 创 新 意 识 、 模 型 思 想 ； 增 强 学 生 学 习 数 学的 信 心 等 。四 、 “ 综 合 与 实 践 ” 的 教 育 价 值 （ 二 ） 综 合 与 实 践 有 助 于 学 生 对 数 学 全 面 理 解 。 “ 综 合 与 实 践 ” 通 过 问 题 让 学 生 把 学 习 的 数 学 整合 起 来 ， 在 解 决 问 题 过 程 中 体 会 数 学 ， 比 较 完 整 理 解数 学 。 了 解 数 学 的 应 用 是 全 面 了 解 数 学 另 一 个 重 要 方面 ， 数 学 不 仅 仅 是 自 成 逻 辑 体 系 学 科 ， 应 用 广 泛 、 与其 他 学 科 密 切 联 系 是 数 学 最 主 要 的 特 点 ， “ 综 合 与 实践 ” 可 以 帮 助 学 生 了 解 这 些 ， 不 是 字 面 上 的 理 解 ， 而是 感 悟 、 体 验 数 学 应 用 ， 不 做 就 不 能 有 真 切 体 会 ， 学生 需 要 在 这 方 面 积 累 经 验 。 （ 三 ） 综 合 与 实 践 有 助 于 学 生 情 感 态 度 价 值 观 的 形 成积 极 参 与 数 学 活 动 ， 对 数 学 有 好 奇 心 和 求 知 欲 。在 数 学 学 习 过 程 中 ， 体 验 获 得 成 功 的 乐 趣 ， 锻 炼 克 服困 难 的 意 志 ， 建 立 自 信 心 。体 会 数 学 的 特 点 ， 了 解 数 学 的 价 值 。养 成 认 真 勤 奋 、 独 立 思 考 、 合 作 交 流 、 反 思 质 疑 等 学习 习 惯 。形 成 坚 持 真 理 、 修 正 错 误 、 严 谨 求 实 的 科 学 态 度 。 课 标 在 学 生 情 感 价 值 观 的 要 求 ， 通 过 综 合 与 实践 的 过 程 都 能 得 以 很 好 的 形 成 和 培 养 。 （ 四 ） 综 合 与 实 践 有 助 于 教 师 的 发 展 。 标 准 在 教 学 建 议 部 分 指 出 ： 要 使 学 生 能 充 分、 自 主 地 参 与 “ 综 合 与 实 践 ” 活 动 ， 选 择 恰 当 的 问 题是 关 键 。 这 些 问 题 既 可 来 自 教 材 ， 也 可 以 由 教 师 、 学生 开 发 。 提 倡 教 师 研 制 、 开 发 、 生 成 出 更 多 适 合 本 地学 生 特 点 的 、 有 利 于 实 现 “ 综 合 与 实 践 ” 课 程 目 标 的好 问 题 。 对 问 题 的 选 择 有 利 于 教 师 开 阔 视 野 ， 提 升 自己 的 知 识 及 素 养 。 同 时 “ 综 合 与 实 践 ” 重 在 实 践 ， 注 重 学 生 自 主 参与 、 全 过 程 参 与 ， 重 视 学 生 积 极 动 脑 、 动 手 、 动 口 。因 此 ， “ 综 合 与 实 践 ” 的 实 施 有 助 于 教 师 改 变 教 学 方式 ， 转 变 教 育 理 念 。 有 一 块 平 行 四 边 形 的 菜 地 ， 底 100米 ， 高 30米 。 在 菜 地 里 挖 了 一 个 长 方 形 水 池 ， 长 20米 ， 宽 10米 。 将 这 块 菜 地 平 均 分 成 两 份 ， 分 别 种 西 红 柿 和 黄 瓜 ， 种 黄 瓜 的 面 积 是 多 少 平 方 米 ？ 问 题 的 解 决 北 京 小 学 于 萍 （ 五 ） 综 合 与 实 践 有 助 于 课 程 的 建 设 。 “ 综 合 与 实 践 ” 是 数 学 课 程 中 的 一 个 较 新 的 领 域， 这 一 领 域 的 设 置 沟 通 了 生 活 中 的 数 学 与 课 堂 上 数 学的 联 系 ， 使 得 数 与 代 数 、 几 何 与 图 形 、 统 计 与 概 率 的内 容 以 综 合 的 形 式 出 现 ， 丰 富 和 完 善 了 课 程 的 结 构 。通 过 “ 综 合 与 实 践 ” ， 会 帮 助 、 探 索 创 造 一 些 新 的 教、 学 的 模 式 。 冬 夜 读 书 示 子 聿 陆 游 古 人 学 问 无 遗 力 ， 少 壮 工 夫 老 始 成 。 纸 上 得 来 终 觉 浅 ， 绝 知 此 事 要 躬 行 。 从 书 本 上 得 到 的 知 识 终 归 是 浅 薄 的 ， 最 终 要 想 认 识 事 物或 事 理 的 本 质 ， 还 必 须 自 己 亲 身 的 实 践 。 “ 要 躬 行 ” 有 两 层 意思 ： 一 是 学 习 过 程 中 “ 要 躬 行 ” ， 在 学 习 过 程 中 的 动 脑 、 动 手 、动 嘴 就 是 学 生 的 一 种 “ 躬 行 ” 。 二 是 获 取 知 识 后 还 要 “ 躬 行 ” 。这 个 “ 躬 行 ” 就 是 社 会 实 践 （ 综 合 与 实 践 ） ， 要 通 过 社 会 实 践去 检 验 已 学 的 知 识 ， 要 通 过 社 会 实 践 把 书 本 知 识 化 为 己 有 ，为 己 所 用 ， 还 要 通 过 社 会 实 践 去 巩 固 、 深 化 已 学 的 知 识 。 五 、 “ 综 合 与 实 践 ” 教 学 建 议“ 综 合 与 实 践 ” 的 内 容 应 立 足 于 小 学 生 的 知 识 经 验、 生 活 经 验 、 思 维 经 验 。问 题 的 求 解 过 程 要 有 利 于 学 生 理 解 数 学 ， 有 利 于 学生 综 合 利 用 所 学 知 识 ， 有 利 于 学 生 个 性 和 不 同 特 长的 发 挥 ， 有 利 于 培 养 学 生 的 合 作 精 神 和 创 新 意 识 。注 重 调 动 学 生 的 参 与 热 情 ， 挖 掘 学 生 自 主 学 习 和 研究 的 潜 能 ， 帮 助 学 生 积 累 数 学 活 动 经 验 。 多 维 教 学 目 标 的 达 成 离 不 开 教 师 对 数 学课 程 标 准 全 面 清 晰 的 认 识 和 准 确 到 位 的把 握 ， 这 就 需 要 教 师 对 课 程 中 每 部 分 内 容有 深 入 的 分 析 ， 挖 掘 其 背 后 的 价 值 ， 为 学生 长 远 发 展 奠 定 重 要 的 基 础 。 95