二元一次不等式(组)的解法与平面区域

2021/6/16 1 3.3.1二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 与平 面 区 域 2021/6/16 2 一 、 引 入 : 一 家 银 行 的 信 贷 部 计 划 年 初 投 入 25 000 000元 用 于 企 业 和 个 人 贷 款 ,希 望 这 笔 资 金 至 少 可 带 来30000元 的 收 益 ,其 中 从 企 业 贷 款 中 获 益 12%,从 个人 贷 款 中 获 益 10%.那 么 ,信 贷 部 应 刻 如 何 分 配 资金 呢 ？ 问 题 ：这个问题中存在一些不等关系 应 该 用 什 么 不 等 式 模 型 来 刻 画 呢 ？ 2021/6/16 3 设 用 于 企 业 贷 款 的 资 金 为 x元 ， 用 于 个 人 贷 款 的 资金 y元 。 则 25000000(12%) (10%) 300000, 0 x y x yx y 所以得到分配资金应该满足的条件：2500000012 10 3000000 00 x yx yxy 2021/6/16 4 新 知 探 究 ： 1、 二 元 一 次 不 等 式 和 二 元 一 次 不 等 式 组 的 定 义 （ 1） 二 元 一 次 不 等 式 ： 含 有 两 个 未 知 数 ， 并 且 未 知 数 的 最 高 次 数 是 1的 不 等 式 ； （ 2） 二 元 一 次 不 等 式 组 ： 由 几 个 二 元 一 次 不 等 式 组 成 的 不 等 式 组 ； （ 3） 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集 ： 满 足 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 有 序 实 数 对 （ x， y） 构 成 的 集 合 ；（ 4） 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集 可 以 看 成 是 直 角 坐 标 系内 的 点 构 成 的 集 合 。 2021/6/16 5 2、 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集 表 示 的 图 形 （ 1） 复 习 回 顾 一 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集 所 表 示 的 图 形数 轴 上 的 区 间 。 如 ： 不 等 式 组 3 04 0 xx 的 解 集 为 数 轴 上 的 一 个 区 间 （ 如 图 ） 。 思 考 ： 在 直 角 坐 标 系 内 ， 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 的 解 集表 示 什 么 图 形 ？ -3x4 2021/6/16 6 x y 6 的 解 集 所 表 示 的 图 形 。 作 出 x y = 6的 图 像 一 条 直 线O xy x y = 6左 上 方 区 域 右 下 方 区 域直 线 把 平 面 内 所 有 点 分 成 三 类 :a)在 直 线 x y = 6上 的 点b)在 直 线 x y = 6左 上 方 区 域 内 的 点c)在 直 线 x y = 6右 下 方 区 域 内 的 点 -6 6 下面研究一个具体的二元一次不等式 2021/6/16 7 O xy x y = 6验 证 ： 设 点 P（ x， y 1） 是 直线 x y = 6上 的 点 ， 选 取 点A（ x， y 2） ， 使 它 的 坐 标满 足 不 等 式 x y 6， 请 完成 下 面 的 表 格 ， 横 坐 标 x 3 2 1 0 1 2 3点 P 的 纵 坐 标 y1点 A 的 纵 坐 标 y 2 - 9 - 8 - 6- 7 - 5 - 4 - 3- 8 - 6 - 3- 5 6 4 0 2021/6/16 8 思 考 ：(1) 当 点 A与 点 P有 相 同 的 横 坐 标 时 ， 它 们 的 纵 坐 标有 什 么 关 系 ？(2) 直 线 x y = 6左 上 方 的 点 的 坐 标 与 不 等 式 x y y1横 坐 标 x 3 2 1 0 1 2 3点 P 的 纵 坐 标 y1点 A 的 纵 坐 标 y2 - 9 - 8 - 6- 7 - 5 - 4 - 3- 8 - 6 - 3- 5 6 4 0 2021/6/16 9 结 论 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 以 二 元一 次 不 等 式 x y 6的 解 为 坐标 的 点 都 在 直 线 x y = 6的 左上 方 ； 反 过 来 ， 直 线 x y = 6左 上 方 的 点 的 坐 标 都 满 足 不 等式 x y 6。 O xy x y = 6 2021/6/16 10 结 论 不 等 式 x y 6表 示 直 线 x y = 6右 下 方 的 平 面 区 域 ； 直 线 叫 做 这 两 个 区 域 的 边 界 。 注 意 ： 把 直线 画 成 虚 线 以表 示 区 域 不 包括 边 界 2021/6/16 11 一 般 地 ： 二 元 一 次 不 等 式 Ax + By + C 0在 平 面 直 角 坐 标系 中 表 示 直 线 Ax + By + C = 0某 一 侧 所 有 点 组 成的 平 面 区 域 。 （ 虚 线 表 示 区 域 不 包 括 边 界 直 线 ） 注 1： 二 元 一 次 不 等 式 表 示 相应 直 线 的 某 一 侧 区 域 ，虚 线 表 示 不 包 括 边 界 ，若 包 括 边 界 则 画 成 实 线 O xy Ax + By + C = 0 2021/6/16 12 直 线 Ax+By+C=0同 一 侧 的 所 有 点 (x,y)代入 Ax+By+C所 得 实 数 的 符 号 都 相 同 ， 只需 在 直 线 的 某 一 侧 任 取 一 点 (x0,y0),根 据Ax+By+C的 正 负 即 可 判 断 Ax+By+C0表示 直 线 的 哪 一 侧 区 域 ， C 0时 ， 常 把 原点 作 为 特 殊 点注 2： 直 线 定 界 ， 特 殊 点 定 域 。 2021/6/16 13 提 出 ： 采 用 “ 选 点 法 ” 来 确 定 二 元 一 次 不 等 式 所 表示 的 平 面 区 域强 调 ： 若 直 线 不 过 原 点 ， 通 常 选 （ 0， 0）点 ;若 直 线 过 原 点 ， 通 常 选 （ 1， 0） 、 （ -1， 0） 、（ 0， 1） 、 (0,-1)等 特 殊 点 代 入 检 验 并 判 断 。 _O xy x y = 6 2021/6/16 14 例 1： 画 出 不 等 式 x + 4y 4表 示 的 平 面 区 域 x+4y 4=0 xy解 ： (1)直 线 定 界 :先 画 直 线 x + 4y 4 = 0（ 画 成 虚 线 ）(2)特 殊 点 定 域 :取 原 点 （ 0， 0） ， 代 入 x + 4y - 4，因 为 0 + 4 0 4 = -4 0所 以 ， 原 点 在 x + 4y 4 0表 示 的 平 面 区 域 内 ，不 等 式 x + 4y 4 kx+b表 示 的 是 直 线 y=kx+b的 哪 部 分 区 域 ？ 同 样 ， ykx+b表 示 直 线 上 方 的 平 面 区 域 y0时 Ax+By+C0表 示 直 线 上 方 区 域 Ax+By+C0表 示 直 线 下 方 区 域（ 注 ： 由 斜 截 式 转 化 为 一 般 式 进 行 研 究 探 讨 或 由 一 般 式化 归 为 斜 截 式 进 行 研 究 探 讨 ， 并 作 比 较 ）强 调 ： 若 B0） 2021/6/16 19 例 题 2:根 据 下 列 各 图 中 的 平 面 区 域 用 不 等 式表 示 出 来 （ 图 包 含 y轴 ） 6x+5y=22 y=x - 1 2021/6/16 20 练 习 :(1)画 出 不 等 式4x3y12表 示 的 平 面 区 域 xy 4x 3y-12=0 xy x=1(2)画 出 不 等 式 x1表 示 的 平 面 区 域 2021/6/16 21 y -3x+12 x 0表 示 的 区 域 在 直 线 x 2y + 6 = 0的 （ ）（ A） 右 上 方 （ B） 右 下 方 （ C） 左 上 方 （ D） 左 下 方2、 不 等 式 3x + 2y 6 0表 示 的 平 面 区 域 是 （ ）B D 2021/6/16 23 练 习 2：3、 不 等 式 组 B3 6 02 0 x yx y 表 示 的 平 面 区 域 是 （ ） 2021/6/16 24则 用 不 等 式 可 表 示 为 : 02 042 0y yx yx 解 ： 此 平 面 区 域 在 x-y=0的 右 下 方 ， x-y0它 又 在 x+2y-4=0的 左 下 方 ， x+2y-40它 还 在 y+2=0的 上 方 ， y+20Yo x4-2 x-y=0y+2=0 x+2y-4=0 22， 求 由 三 直 线 x-y=0;x+2y-4=0及 y+2=0所 围 成 的 平 面 区 域 所 表 示 的 不 等 式 。 2021/6/16 25 二 元 一 次 不 等 式 表 示 平 面 区 域 ： 直 线 某 一 侧 所 有 点 组 成 的 平 面 区 域 。 判 定 方 法 ： 直 线 定 界 ， 特 殊 点 定 域 。课 堂 小 结 ： 二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 平 面 区 域 ： 各 个 不 等 式 所 表 示 平 面 区 域 的 公 共 部 分 。（ 4） 口 诀 ： 上 大 下 小 斜 截 式 上 正 下 负 一 般 式 （ B0） 2021/6/16 26 即 ： 画 二 元 一 次 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 的 方 法 ： 可 根据 二 元 一 次 不 等 式 与 B的 关 系 来 确 定 Ax+By+C0与 B的 关 系 为 :B0时 表 示 直 线 上 方 区域 , B0时 表 示 直 线 下 方 区 域 。 Ax+By+C0时 表 示 直 线 下 方 区 域 , B0时 表 示 直 线 上 方 区 域 2021/6/16 27 作 业 ：课 本 A 1,2 93p 若 有 不 当 之 处 ， 请 指 正 ， 谢 谢 ！