74-3定积分的分部积分公式

2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 1 第 二 节 定 积 分 的 计 算 ( )分 部 积 分 公 式 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 2 设 函 数 )(xu 、 )(xv 在 区 间 ba, 上 具 有 连 续导 数 ， 则 有 bababa vduuvudv . 定 积 分 的 分 部 积 分 公 式推 导 : ,vuvuuv ,)( baba uvdxuv , bababa dxvudxvuuv . bababa vduuvudv 定 积 分 的 分 部 积 分 法 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 3 例 1 计 算 .arcsin210 xdx解 令 ,arcsin xu ,dxdv ,1 2xdxdu ,xv 210 arcsin xdx 210arcsin xx 210 21 xxdx621 )1(1121 20 221 xdx 12 21021 x .12312 则 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 4 例 2 计 算解 .2cos140 xxdx ,cos22cos1 2 xx 40 2cos1 xxdx 40 2cos2 xxdx xdx tan240 40tan21 xx xdxtan21 40 40secln218 x .42ln8 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 5 例 3 计 算解 .sin420 dxx xt 20 sin2 tdtt 20 )cos(2 tdt 220 0 cos2cos2 tdttt 20sin2 t 2.sin420 dxx 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 6 例 4 计 算解 .)2( )1ln(10 2 dxxx 10 2)2( )1ln( dxxx 10 2 1)1ln( xdx102 )1ln( xx 10 )1ln(2 1 xdx32ln dxxx 10 1 12 1 xx 2 11 1 10)2ln()1ln(32ln xx .3ln2ln35 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 7 10 210 2)1ln()1ln( xdxdxxx解 ： 10 22 )1ln(201)1ln(2 xdxxx dxxx 10 21212ln21dxxx )1 11(212ln21 10 01)1ln(2212ln21 2 xxx 41.)1ln( 5 10 dxxx计 算例 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 8 e dxx1 )sin(ln解 ： e xxdexx 1 )sin(ln1)sin(ln e dxxe 1 )cos(ln1sin e dxxee 1 )sin(ln11cos1sin .)sin(ln 6 1e dxx计 算例 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 9 11cos1sin)sin(ln2 1 eedxxe )11cos1sin(21)sin(ln1 eedxxe求 定 积 分 也 经 常 采 用 递 推 的 方 法 ， 如 下 例 ： 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 10 例 证 明 定 积 分 公 式 22 00 cossin xdxxdxI nnn nnnnn nnnnn ,3254231 ,22143231 为 正 偶 数为 大 于 1的 正 奇 数证 设 ,sin 1 xu n ,sin xdxdv ,cossin)1( 2 xdxxndu n ,cos xv 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 11 dxxxnxxI nnn 22 0 2201 cossin)1(cossin x2sin10 dxxndxxnI nnn 22 00 2 sin)1(sin)1( nn InIn )1()1( 2 21 nn InnI 积 分 关 于 下 标 的 递 推 公 式nI42 23 nn InnI , 直 到 下 标 减 到 0或 1为 止 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 12 ,21436522 322 12 02 ImmmmI m ,32547612 2212 2 112 ImmmmI m ),2,1( m,2200 dxI ,1sin201 xdxI ,221436522 322 122 mmmmI m .32547612 2212 212 mmmmI m于 是 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 13 .)()( )( 80 0 x x uo dudxxfduuxuf xf 连 续 ， 证 明 ：设例证 ： 利 用 定 积 分 的 分 部 积 分 法 xuuox duuufxdxxfududxxf 000 )(0)()( xx duuufdxxfx 00 )()( 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 14 例 9 设 求解 21 ,sin)( x dtt txf .)(10 dxxxf因 为 t tsin 没 有 初 等 形 式 的 原 函 数 ， 无 法 直 接 求 出 )(xf ， 所 以 采 用 分 部 积 分 法10 )( dxxxf 10 2 )()(21 xdxf 102 )(21 xfx 10 2 )(21 xdfx)1(21 f 10 2 )(21 dxxfx 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 15 21 ,sin)( x dtt txf ,sin22sin)( 22 2 x xxxxxf 10 )( dxxxf )1(21 f 10 2 )(21 dxxfx 10 2sin221 dxxx 10 22sin21 dxx 102cos21 x ).11(cos21 ,0sin)1( 11 dtt tf 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 16 设 )(xf 在 1,0 上 连 续 ， 且 1)0( f ，3)2( f ， 5)2( f ， 求 10 )2( dxxfx . 例 10 10 d)2( xxfx 10 )2(d21 xfx 1010 d)2(21)2(21 xxfxfx 10)2(41)2(21 xff )0()2(4125 ff .2 2021/6/16 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 17几 个 特 殊 积 分 、 定 积 分 的 几 个 等 式 1、 定 积 分 的 换 元 法dxxfba )( dtttf )()(三 、 小 结2、 定 积 分 的 分 部 积 分 公 式 . bababa vduuvudv（ 注 意 与 不 定 积 分 分 部 积 分 法 的 区 别 ） 若 有 不 当 之 处 ， 请 指 正 ， 谢 谢 ！