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5 利 用 三 角 形 全 等 测 距 离 1.阅 读 相 关 内 容 完 成 下 列 问 题 ：(1)在 引 例 中 ， “ 保 持 刚 才 的 姿 态 ” 你 是 怎 样 理 解 的 ？答 ： _.(2)直 立 的 姿 态 从 而 保 证 了 两 个 三 角 形 中 的 两 个 _； 帽 檐 不动 ， 保 证 了 视 线 和 身 体 的 _不 变 .(3)要 说 明 图 中 两 个 三 角 形 全 等 ， 已 知 两 角 ， 则 还 差 一 边 ， 即_.(4)测 量 的 原 理 是 ： 构 造 了 _.直 立 姿 态 和 帽 檐 不 动 直 角夹 角身 高 不 变 两 个 全 等 三 角 形 2.“ 想 一 想 ” 中 的 测 量 方 法 是 根 据 _构 造 ABC和 DEC全等 ， 进 而 得 _=AB. SASDE 【 归 纳 】 (1)利 用 三 角 形 的 全 等 测 距 离 的 根 据 ： 全 等 三 角 形 的 对应 边 _.(2)利 用 三 角 形 的 全 等 测 距 离 的 方 法 ： 转 化 法 ,即 把 不 能 直 接 测量 或 无 法 测 量 的 线 段 转 化 为 容 易 测 量 的 线 段 .相 等 【 预 习 思 考 】利 用 三 角 形 全 等 测 距 离 的 实 质 是 什 么 ？提 示 ： 其 实 质 为 构 造 三 角 形 全 等 ， 根 据 全 等 三 角 形 对 应 边 相 等 ，将 不 可 测 的 线 段 的 长 度 ， 转 化 为 可 测 线 段 长 度 . 利 用 全 等 三 角 形 测 距 离【 例 】 (8分 )如 图 ,小 勇 要 测 量 家 门 前河 中 浅 滩 B到 对 岸 A的 距 离 ， 他 先 在 岸边 定 出 C点 ， 使 C， A， B在 同 一 直 线 上 ，再 沿 AC的 垂 直 方 向 在 岸 边 画 线 段 CD， 取它 的 中 点 O， 又 画 DF CD， 观 测 得 到 E， O， B在 同 一 直 线 上 ， 且 F，O， A也 在 同 一 直 线 上 ， 那 么 EF的 长 就 是 浅 滩 B到 对 岸 A的 距 离 ，你 能 说 出 这 是 为 什 么 吗 ？ 【 规 范 解 答 】 因 为 DF CD， AC CD,所 以 D= C=90 . 2分又 因 为 OC=OD， COA= DOF，所 以 AOC FOD(ASA),所 以 A= F,OA=OF. 4分又 因 为 AOB= FOE，所 以 AOB FOE(ASA), 6分所 以 AB=EF，所 以 EF的 长 就 是 浅 滩 B到 对 岸 A的 距 离 . 8分 【 互 动 探 究 】 对 于 上 例 ， 除 上 述 解 法 外 还 有 没 有 其 他 解 法 ？提 示 ： 有 ， 先 证 AOC FOD， 得 AC=DF， 后 证 BOC EOD，得 BC=DE， 最 后 由 AC-BC=DF-DE， 得 AB=EF. 【 规 律 总 结 】 利 用 三 角 形 全 等 测 距 离 的 四 个 步 骤(1)先 定 方 法 ： 即 确 定 根 据 哪 一 判 别 方 法 构 造 三 角 形 全 等 .(2)画 草 图 ： 根 据 实 际 问 题 画 出 草 图 .(3)结 合 图 形 和 题 意 确 定 已 知 条 件 .(4)证 明 说 理 . 【 跟 踪 训 练 】1.如 图 所 示 ， 已 知 AC=DB， AO=DO， CD=100 m， 则 A， B两 点 间 的距 离 ( )(A)大 于 100 m (B)等 于 100 m(C)小 于 100 m (D)无 法 确 定【 解 析 】 选 B.因 为 AC=DB， AO=DO， 所 以 OB=OC， 又 AOB= DOC，所 以 AOB DOC， 所 以 AB=CD=100 m. 2.如 图 ， 设 在 一 个 宽 度 为 w的 小 巷 内 ， 一 个 梯 子 长 为 a， 梯 子 的底 端 位 于 A点 ， 将 梯 子 的 顶 端 放 在 一 堵 墙 上 Q点 时 ， Q点 离 开 地 面的 高 度 为 k， 梯 子 的 倾 斜 角 为 45 ； 将 该 梯 子 的 顶 端 放 在 另 一 堵墙 上 R点 时 ， R点 离 开 地 面 的 高 度 为 h， 且 此 时 梯 子 倾 斜 角 为 75 ，则 小 巷 宽 度 w =( )(A)H (B)k (C)a (D) h k2 【 解 析 】 选 A.连 接 QR， 过 Q作 QD PR， 所 以 AQD=45 ， 因 为 QAR=180 -75 -45 =60 ， 且 AQ=AR，所 以 AQR为 等 边 三 角 形 ， 即 AQ=QR， 因 为 AQD=45 ， 所 以 RQD=15 = ARP， QRD=75 = RAP，所 以 DQR PRA(ASA)， 所 以 QD=RP， 即 w=h. 3.如 图 所 示 ， AA ， BB 表 示 两 根 长 度 相 同 的 木 条 ， 若 O是 AA ，BB 的 中 点 ， 经 测 量 AB=9 cm， 则 容 器 的 内 径 A B 为 ( )(A)8 cm (B)9 cm (C)10 cm (D)11 cm【 解 析 】 选 B.由 题 意 知 ： OA=OA ， AOB= A OB ， OB=OB ，所 以 AOB A OB ， 所 以 A B =AB=9 cm. 4.我 国 的 纸 伞 工 艺 十 分 巧 妙 ， 如 图 ， 伞 不 论 张 开 还 是 缩 拢 ， AED与 AFD始 终 保 持 全 等 ， 因 此 伞 柄 AP始 终 平 分 同 一 平 面 内两 条 伞 骨 所 成 的 角 BAC， 从 而 保 证 伞 圈 D能 沿 着 伞 柄 滑动 . AED AFD的 理 由 是 ( )(A)SAS (B)ASA (C)SSS (D)AAS 【 解 析 】 选 C.理 由 如 下 ： 因 为 E， F为 定 点 ， 所 以 AE=AF， 又 因 为AD=AD， ED=FD， 所 以 在 AED和 AFD中 ， AE=AF ， AD=AD， DE=DF， 所 以 AED AFD(SSS). 1.如 图 所 示 ， 为 了 测 量 水 池 两 边 A， B间 的距 离 ， 可 以 先 过 点 A作 射 线 AE， 再 过 B点 作BD AE于 点 D， 在 AD延 长 线 上 截 取 DC=AD，连 接 BC， 则 BC的 长 就 是 A， B间 的 距 离 ，以 此 来 判 断 ABD CBD的 理 由 是 ( )(A)SSS (B)SAS (C)ASA (D)AAS 【 解 析 】 选 B.因 为 BD AE，所 以 ADB= CDB=90 . AD=CD，在 ABD与 CBD中 ， ADB= CDB， BD=BD，所 以 ABD CBD(SAS)， 故 选 B. 2.把 等 腰 直 角 三 角 形 ABC， 按 如 图 所 示 立 在 桌 上 ， 顶 点 A顶 着 桌面 ， 若 另 两 个 顶 点 距 离 桌 面 5 cm和 3 cm， 则 过 另 外 两 个 顶 点 向桌 面 作 垂 线 ， 则 垂 足 之 间 的 距 离 DE的 长 为 ( )(A)4 cm (B)6 cm (C)8 cm (D)求 不 出 来 【 解 析 】 选 C.因 为 CEA= ADB= CAB=90 ，所 以 ECA+ EAC= EAC+ DAB= DAB+ DBA=90 ， ECA= DAB， EAC= DBA，又 AC=AB， 所 以 AEC BDA，所 以 AE=BD， AD=CE， 所 以 DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8 (cm). 3.如 图 所 示 ， ABC DEF， AD=10 cm， BE=6 cm， 则 AE的 长 为_cm.【 解 析 】 因 为 ABC DEF， 所 以 AB=DE， 所 以 AE=AD-DE=AD-AB=BD，所 以 AE=(10-6) 2=2(cm).答 案 ： 2 4.如 图 所 示 ， 要 测 量 河 岸 相 对 的 两 点 A,B之 间 的 距 离 ， 先 从 B处出 发 与 AB成 90 角 方 向 ， 向 前 走 50米 到 C处 立 一 根 标 杆 ， 然 后 方向 不 变 继 续 朝 前 走 50米 到 D处 ， 在 D处 转 90 沿 DE方 向 再 走 17米 ，到 达 E处 ， 使 A,C与 E在 同 一 直 线 上 ， 那 么 测 得 A,B的 距 离 为_. 【 解 析 】 因 为 先 从 B处 出 发 与 AB成 90 角 方 向 ， 所 以 ABC=90 ，因 为 BC=50米 ， CD=50米 ， EDC=90 ， 所 以 ABC EDC， 所以 AB=ED，因 为 沿 DE方 向 再 走 17米 ， 到 达 E处 ， 即 DE=17米 ， 所 以 AB=17米 .答 案 ： 17米 5.如 图 ， 公 园 里 有 一 条 “ Z” 字 型 道 路 ABCD， 其 中 AB CD， 在 AB，BC， CD三 段 道 路 旁 各 有 一 只 小 石 凳 E， M， F， M恰 为 BC的 中 点 ，且 E， M， F在 同 一 直 线 上 ， 在 BE道 路 上 停 放 着 一 排 小 汽 车 ， 从 而无 法 直 接 测 量 B， E之 间 的 距 离 ， 你 能 想 出 解 决 的 方 法 吗 ？ 请 说明 其 中 的 道 理 . 【 解 析 】 因 为 AB CD,所 以 B= C.在 BME和 CMF中 ， B= C， BM=CM， BME= CMF，所 以 BME CMF(ASA)， 所 以 BE=CF.故 只 要 测 量 CF即 可 得 B， E之 间 的 距 离 .
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