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引言 为 了 描 写 运 动 变 化 着 的 现 象 ， 我 们 引 入 了 函 数 ，刻 画 静 态 的 数 与 动 态 的 函 数 都 是 数 学 中 很 重 要 的 概念 ， 随 着 对 函 数 的 研 究 的 不 断 深 化 ， 产 生 了 微 积 分 ，它 是 数 学 发 展 史 上 继 欧 式 几 何 后 的 又 一 个 具 有 划 时代 意 义 的 伟 大 创 造 ， 被 誉 为 数 学 史 上 的 里 程 碑 。 而 导 数 ， 是 微 积 分 的 核 心 概 念 之 一 ， 它 是 研 究函 数 增 减 、 变 化 快 慢 、 最 大 （ 小 ） 值 等 问 题 的 最 一般 、 最 有 效 的 工 具 。 本 章 我 们 将 讨 论 导 数 的 产 生 及 其 运 算 。 问题： 物 体 从 某 一 时 刻 开 始 运 动 ， 设 表 示 此 物 体 经 过时 间 走 过 的 路 程 ， 显 然 是 时 间 的 函 数 ， 表 示 为 。 在 运 动 过 程 中 ， 测 得 如 下 数 据 ：sst t)(tss 物 体 在 02s和 1013s这 两 段 时 间 内 ， 哪 一 段 时间 运 动 得 快 ？ 分析：比 较 运 动 的 快 慢 ， 一 般 用 平 均 速 度 来 刻 画 。在 02s内 ， 平 均 速 度 为 ： )/(302 06 sm在 1013s内 ， 平 均 速 度 为 ： )/( 1013 2032 sm4 显 然 ， 在 这 两 段 时 间 内 ， 后 一 段 时 间 比 前 一 段时 间 运 动 得 快 些 。 从 时 间 到 时 ， 物 体 的 路 程 从 变 为 ，这 段 时 间 内 的 平 均 速 度 为 ：0t 1t )( 1ts)( 0ts 01 21 )()( tt tstsv 用一段时间内物体的平均速度 来刻画物体运动的快慢 tsv 记 为 函 数 值 变 化 量 ， 记 作 s自 变 量 变 化 量 ， 记 作 t 某 病 人 吃 完 药 ， 他 的 体 温 变 化 如 图 示 ：Cy / min/x 比 较 时 间 从 0到 20min和 从 20到 30min体 温 的变 化 情 况 ， 那 段 时 间 体 温 变 化 较 快 ？ 如 何 刻 画 体 温变 化 的 快 慢 ？ x 分析： 时 间 从 0变 到 20mi n时 ， 单 位 时 间 的 体 温 平 均 变 化率 为 ：从 20变 到 30min时 ， 平 均 变 化 率 为 ： min)/(025.0020 395.38 C min)/(05.000 .338 C 23 58 显 然 ， 绝 对 值 大 ， 下 降 的 越 快 ， 即 后 一 段 时 间 降得 快 。 用一段时间内体温的平均变化率刻画体温变化的快慢 时 间 从 变 为 时 ， 体 温 从 变 为 ， 0 x 1x )( 1xy)( 0 xy体 温 的 平 均 变 化 率 01 01 )()( xx xyxy xy 函 数 值 变 化量 y自 变 量 变 化量 x 概括 12 12 )()( xx xfxfxy 自 变 量 的 改 变 量函 数 值 的 变 化 量 函 数 ， 自 变 量 从 变 为 时 ， 函 数 的平 均 变 化 率 为 ： 1x 2x)(xf 我 们 用 它 来 刻 画 函 数 在 区 间 上 ， 函 数值 变 化 的 快 慢 。, 21xx实际中，我们还要考虑物体的瞬间速度，如汽车在某时刻的速度，它与平均速度有关系么？ 例 1 一 小 球 从 高 空 自 由 落 下 ， 其 路 程 s与 时 间 t的函 数 关 系 为 试 估 计 小 球 在 t=5s这 个 时 刻 的 瞬 时 速 度 。)/8.9(,21 22 smggts 分析：由 公 式 可 知 ： 从 5s到 6s球 的 平 均 速 度 为 ： )/(6.531 5.1224.176 smtsv 954. 49.50.49 49.0490.049 49.0049 0.0049 49.00049 为 提 高 精 确 度 ， 可 以 将 时 间 间 隔 缩 小 至 0.1，0.01， 0.001 当 时 间 时 ， 平 均 速 度stt 50 趋 近 于1 smv /49 趋 近 于所 以 小 球 在 的 瞬 时 速 度 为 。st 5 0 sm/49即 ： 若 球 保 持 这 一 刻 的 速 度 运 动 ， 每 秒 将 运 动 。m49 例 2 一 根 质 量 分 布 不 均 匀 的 合 金 棒 ， 长 为 10m，x表 示 OX这 段 棒 的 长 ， y表 示 OX这 段 棒 的 质 量 ， 它们 满 足 关 系 ： xxfy 2)( 估 计 合 金 棒 在 x=2m处 的 线 密 度 。分析： 长 度质 量平 均 线 密 度 我 们 用 到 的 平 均 线 密 度 来 估 计 处 合 金 棒 的 线 密 度 。20 x 31 x2x )/(636.01 828.2464.323 )2()3( mkgffxy 同 样 地 ， 为 了 提 高 精 确 度 ， 可 取 原 长 度 的 ， ， ， 101 1001 10001 所 取 长 度 越 小 ， 则 平 均 线 密 度 就 越 接 近 合 金 棒在 m处 的 线 密 度 。2x 解： 时趋 近 于 mxx 201 mkg /.710 趋 近 于平 均 线 密 度 （ ）则 合 金 棒 在 m处 的 线 密 度 为 。mkg /.7102x （ ） 概括思考：瞬时变化率与平均变化率有什么关系？ 瞬 时 变 化 率平 均 变 化 率 逼 近 对 于 函 数 ， 在 自 变 量 从 变 到 时 ，函 数 的 平 均 变 化 率 为 ： x 0 x 1x)xfy ( x xfxxfxx xfxfxy )()()()( 0001 010 趋 近 于x 时 ， 平 均 变 化 率 就 趋 于 函 数 在 处0 x的 瞬 时 变 化 率 ， 它 刻 画 的 是 函 数 在 一 点 处 变 化 的 快慢 。 动手做一做1. 求 在 到 之 间 的 平 均 变 化 率 。322 xxy 4922. 求 在 到 之 间 的 平 均 变化 率 。 )0(1 xxy 0 x xx 0 s t3. 一 物 体 作 直 线 运 动 ， 其 位 移 与 时 间 的 函 数 关系 是 ， 求 此 物 体 到 时 的 平 均 速 度 和 时 刻 的 瞬 时 速 度 。 23 tts 0t 2t 2t 12 12 )()( xx xfxfxy 自 变 量 的 改 变 量函 数 值 的 变 化 量 函 数 的 平 均 变 化 率 ：)(xf 刻 画 在区 间 上 ， 函数 值 变化 的 快慢 。 , 21xx 0 趋 近 于x 时 ， 平 均 变 化 率 就 趋 于 函 数 在 处0 x的 瞬 时 变 化 率 ， 它 刻 画 的 是 函 数 在 一 点 处 变 化 的 快慢 。 函 数 在 处 的 瞬 时 变 化 率 ：)(xf 0 x
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