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第 10章 模 态 分 析 2021/5/28 1 基 本 有 限 元 方 程 模 态 分 析 基 本 有 限 元 方 程 0uKuM M和 K分 别 为 结 构 系 统 的 质 量 矩 阵 和 刚 度 矩 阵 ,u和 分 别 为 节 点 位 移 与加 速 度 u解 为 如 下 的 简 谐 运 动 tu sin 其 中 ， 为 模 态 形 状 ， 为 圆 频 率 等 价 为 特 征 方 程 的 非 0解 0)MK( 2 2021/5/28 2 有 限 元 分 析 中 ， 矩 阵 K和 M实 的 对 称 矩 阵 ， 它 们 满 足 正 交 性 ， 即 ji,0 ji,m0M ijTi = 当当 ji,0 ji,kK ijTi 当当 =m i称 为 模 态 质 量 ， ki称 为 模 态 刚 度 ， fi= iTF(t)称 为 模 态 力 i称 为 系 统 第 I阶 模 态 ,i为 系 统 第 I阶 固 有 频 率 。2021/5/28 3 质 量质 量 矩 阵 质 量 矩 阵 分 为 ： 集 中 质 量 矩 阵 （ 仅 存 在 非 零 对 角 元 素 ） 耦 合 质 量 矩 阵 （ 存 在 非 零 非 对 角 元 素 ） MSC/NASTRAN中 ， 单 元 质 量 矩 阵 计 算 方 法 有 两 种 ： 集 中 质 量 公 式 ，与 耦 合 质 量 公 式 以 下 图 所 示 杆 单 元 为 例 2021/5/28 4 L = 长 度 ， A = 面 积 ， J = 扭 转 常 数 ， E = 扬 氏 模 量 ， = 质 量 密 度 ， IP = 极 惯 性 矩 ， 1-4 = 自 由 度CRQD单 元 集 中 质 量 矩 阵 为 CRQD单 元 的 耦 合 质 量 矩 阵 为 NASTRAN中 ， 单 元 质 量 阵 类 型 由 用 户 选 择 （ 缺 省 值 为 集 中 质 量 矩 阵 ） 。 当 用 户 需 采 用 耦 合质 量 阵 时 ， 在 模 型 数 据 中 加 入 参 数 卡PARAM， COUPMASS， 1 2021/5/28 5 质 量引 入 质 量 数 据 基 本 方 法 ：1） 通 过 材 料 性 质 卡 （ 如 MAT1） 中 质 量 密 度 （ RHO） 附 加给 结 构 单 元2） 单 位 长 度 或 单 位 面 积 面 上 非 结 构 质 量 （ 如 地 板 载 荷和 绝 热 材 料 ） 用 单 元 的 性 质 卡 （ 如 PSHELL卡 ） 中 的非 结 构 质 量 项 （ NSM） 引 入3） 结 点 质 量 用 CONM1， CONM2和 CMASSi数 据 卡 定 义4） CONM1定 义 6 6耦 合 质 量 矩 阵 ， CONM2定 义 结 点 集 中质 量 ， CMASSi定 义 标 量 质 量 2021/5/28 6 质 量 单 位（ 1） NASTRAN中 ， 不 要 求 确 定 单 位 ， 但 各 物 理 量 单 位 要 保 持 一 致质 量 单 位 可 为 ： 磅 -秒 2/英 寸 （ 在 英 寸 -磅 -秒 系 统 ）或 千 克 -秒 2/米 （ 在 米 -牛 顿 -秒 系 统 ） (2)以 重 量 单 位 输 入 质 量 数 据 （ 如 密 度 ） ， 可 用 参 数 PARAM,WTMASS,V1 将 重 量 单 位 变 为 质 量 单 位 ， V1为 变 换 系 数 (3)如 用 英 制 单 位 ， 以 RHO=0.3磅 /英 寸 3输 入 重 量 密 度 ， 用 参 数 PARAM， WTMASS， 0.002588 将 重 量 密 度 化 为 质 量 密 度 ， 这 里 重 力 加 速 度 g = 386.4英 寸 /秒 2 2021/5/28 7 特 征 值 解 法求 解 特 征 方 程 ， MSC/NASTRAN提 供 三 类 解 法 ： 跟 踪 法 （ Tracking method） 变 换 法 （ Tromsformation method） 兰 索 士 法 （ Lamczos method） 跟 踪 法1） 对 仅 求 几 个 特 征 值 (或 固 有 频 率 )问 题 有 效2） 对 求 解 大 型 稀 疏 质 量 和 刚 度 阵 的 大 型 特 征 值 问 题 有 效3） MSC/NASTRAN中 ， 提 供 两 种 解 法 。 即 为 逆 幂 法 （ INV） 和 移 位 逆 幂法 （ SINV） 4） 逆 幂 法 和 移 位 逆 幂 法 均 用 模 型 数 据 卡 EIGR定 义 ， 用 情 况 控 制 指 令METHOD选 取 。2021/5/28 8 变 换 法1） 对 于 维 数 小 、 元 素 满 的 矩 阵 ， 且 需 求 全 部 或 大 部 分 特 征 值 问 题 有 效2） MSC/NASTRAN提 供 变 换 法 有 ： 吉 文 斯 （ Givens） 法 （ GIV） ， 修 正 吉 文 斯 法 （ MGIV） ， 郝 斯 厚 德 (HOU)法 和 修 正 郝 斯 厚 德 (MHOU)法3） 吉 文 斯 （ GIV） 法 和 郝 斯 厚 德 (HOU) 法 要 求 M 阵 正 定 。 修 正 吉 文 斯 法 （ MGIV） 与 修 正 郝 斯 厚 德 法 (MHOU)允 许 M奇 异 ， 从 而 可 求 解 刚 体 模 态 。 4） 变 换 法 用 模 型 数 据 卡 EIGR描 述 ， 用 情 况 控 制 指 令 METHOD选 取 2021/5/28 9 兰 索 士 (Lanczos)法1） 兰 索 士 (Lanczos)法 是 将 跟 踪 法 和 变 换 组 合 的 新 的 特 征 值 解 法2） 对 非 常 大 的 稀 疏 矩 阵 的 几 个 特 征 值 问 题 最 有 效3） 兰 索 士 法 用 模 型 数 据 卡 EIGRL描 述 ， 用 情 况 控 制 指 令 METHOD选 取4） 兰 索 士 法 是 首 先 推 荐 的 2021/5/28 10 9、 人 的 价 值 ， 在 招 收 诱 惑 的 一 瞬 间 被 决 定 。 21.7.1521.7.15Thursday, July 15, 202110、 低 头 要 有 勇 气 ， 抬 头 要 有 低 气 。 20:38:0620:38:0620:387/15/2021 8:38:06 PM11、 人 总 是 珍 惜 为 得 到 。 21.7.1520:38:0620:38Jul-2115-Jul-2112、 人 乱 于 心 ， 不 宽 余 请 。 20:38:0620:38:0620:38Thursday, July 15, 202113、 生 气 是 拿 别 人 做 错 的 事 来 惩 罚 自 己 。 21.7.1521.7.1520:38:0620:38:06July 15, 202114、 抱 最 大 的 希 望 ， 作 最 大 的 努 力 。 2021年 7月 15日 星 期 四 下 午 8时 38分 6秒 20:38:0621.7.1515、 一 个 人 炫 耀 什 么 ， 说 明 他 内 心 缺 少 什 么 。 。 2021年 7月 下 午 8时 38分 21.7.1520:38July 15, 202116、 业 余 生 活 要 有 意 义 ， 不 要 越 轨 。 2021年 7月 15日 星 期 四 20时 38分 6秒 20:38:0615 July 202117、 一 个 人 即 使 已 登 上 顶 峰 ， 也 仍 要 自 强 不 息 。 下 午 8时 38分 6秒 下 午 8时 38分 20:38:0621.7.15 11 9、 人 的 价 值 ， 在 招 收 诱 惑 的 一 瞬 间 被 决 定 。 21.7.1521.7.15Thursday, July 15, 202110、 低 头 要 有 勇 气 ， 抬 头 要 有 低 气 。 20:38:0620:38:0620:387/15/2021 8:38:06 PM11、 人 总 是 珍 惜 为 得 到 。 21.7.1520:38:0620:38Jul-2115-Jul-2112、 人 乱 于 心 ， 不 宽 余 请 。 20:38:0620:38:0620:38Thursday, July 15, 202113、 生 气 是 拿 别 人 做 错 的 事 来 惩 罚 自 己 。 21.7.1521.7.1520:38:0620:38:06July 15, 202114、 抱 最 大 的 希 望 ， 作 最 大 的 努 力 。 2021年 7月 15日 星 期 四 下 午 8时 38分 6秒 20:38:0621.7.1515、 一 个 人 炫 耀 什 么 ， 说 明 他 内 心 缺 少 什 么 。 。 2021年 7月 下 午 8时 38分 21.7.1520:38July 15, 202116、 业 余 生 活 要 有 意 义 ， 不 要 越 轨 。 2021年 7月 15日 星 期 四 20时 38分 6秒 20:38:0615 July 202117、 一 个 人 即 使 已 登 上 顶 峰 ， 也 仍 要 自 强 不 息 。 下 午 8时 38分 6秒 下 午 8时 38分 20:38:0621.7.15 12 特 征 值 方 法 比 较 3N ENB 2 变 换 法 跟 踪 法 兰 索 士 法最 有 效 应 用 小 的 密 的 矩 阵许 多 特 征 值 大 而 稀 疏 的 矩 阵许 多 特 征 值 非 常 大 的 特征 值 问 题 会 丢 根 吗 ？ HOUGIV MHOUMGIV INV SINV 不 会不 会 不 会 会 不 会允 许 奇 异 质 量矩 阵 吗 ？ 否 是 是 是 是 得 到 的 特 征 值数 量 一 次 求 解 得 全 部 特 征 值 一 个 ， 接 近 移 位 点 几 个 ， 接 近移 位 点计 算 量 级 N为 刚 度 矩 阵 的 维 数 ， B为 半 带 宽 ， E为 特 征 值 个 数3N ENB2 ENB22021/5/28 13 输 入 文 件 说 明 执 行 控 制模 态 分 析 解 法 流 程 有 三 条 ： SOL 3 SOL 63 SOL 103SOL 3为 老 固 定 流 程 ； SOL 63为 老 模 态 超 单 元 分 析 流 程 ； SOL 103， 包 含 敏 度 分 析 和 自 动 再 起 动 超 单 元 分 析 功 能 的 结 构 模态 分 析 新 流 程 。 一 般 推 荐 使 用 SOL 103 流 程 。情 况 控 制 对 模 态 分 析 ， 必 不 可 少 的 情 况 控 制 指 令 METHOD = SID用 于 选 取 特 征 值 解 方 ， SID为 模 型 数 据 卡 EIGR或 EIGRL中 集 识 别 号2021/5/28 14 模 型 数 据1） 定 义 坐 标 系 统 、 结 构 几 何 、 有 限 单 元 、 材 料 特 性 、 约 束 条 件 等 与 静 力 分 析 相 同2） 特 征 值 问 题 解 法 指 定 卡 （ EIGR， EIGRL）3） EIGR卡 定 义 跟 踪 法 和 变 换 法 两 类 特 征 值 解 法 ， 格 式 名 称 内 容 SID 集 标 识 别 号 （ 整 数 0） 。METHOD 选 取 特 征 值 求 解 方 法 （ BCD值 ）METHOD = INV 逆 幂 法 SINV 移 位 逆 幂 法 GIV 吉 文 斯 变 换 法 MGIV 修 正 吉 文 斯 法 HOU 郝 斯 厚 德 变 换 法 MHOU 修 正 郝 斯 厚 德 法 AGIV 自 动 选 取 GIV或 MGIV法 AHOU 自 动 选 取 HOU或 MHOU法2021/5/28 15 F1， F2 指 定 频 率 范 围 （ 实 数 0.0）若 METHOD=“ INV” 或 “ SINV” 时 ， 在 F1和 F2间 求 出 ND个 特 征 解 ，若 ND为 空 白 ， 则 找 出 F1和 F2间 所 有 特 征 解 ； 若 METHOD = “ GIV” 、“ MGIV” 、 “ HOU” 或 “ MHOU” 时 ， 寻 求 所 有 的 特 征 值 ， 只 计 算 频 率 为F1至 F2之 间 的 特 征 向 量 ， 但 若 指 定 ND值 ， 只 计 算 ND个 频 率 最 低 的 特 征 向量 。NE 频 率 在 F1和 F2间 根 的 估 算 个 数 （ 整 数 0） 。ND 需 求 特 征 解 的 个 数 （ 整 数 0） 。METMOD =“ INV” 或 “ SINV” 时 ， 指 定 求 解 特 征 根 与 特 征 向 量 的 数 目。 METMOD = “ GIV” 、 “ MGIV” 、 “ HOU” 或 “ MHOU” 时 ， 指 定 求解 特 征 向 量 的 数 目 。 NORM 选 定 正 则 化 向 量 的 方 法 （ BCD值 ） 。MASS 对 特 征 向 量 的 最 大 分 量 正 则 化 ； POINT 对 特 定 自 由 度 正 则 化 。G 结 点 或 标 量 点 标 识 号 ， 只 当 NORM = ROINT时 才 需 要（ 整 数 0） 。C 指 定 特 定 结 点 的 分 量 号 ， 只 当 NORM = ROINT时 使 用（ 1整 数 6） 。2021/5/28 16 注 意 事 项 ：1） EIGR卡 必 须 由 情 况 控 制 指 令 METHOD = SID来 选 取2） F1和 F2的 单 位 为 赫 兹 （ HZ）3） 继 序 卡 可 以 省 略 ， 此 时 特 征 向 量 正 则 化 为 对 质 量 矩 阵正 则 化4） 使 用 METHOD =“ SINV” 时 ， 若 F2为 空 白 ， 则 只 计 算 出一 个 大 于 F1的 特 征 根 2021/5/28 17 EIGRL卡 是 专 门 定 义 兰 索 士 法 的 模 型 数 据 卡 ， 它 的 格 式 如 下 名 称 内 容SID 集 标 识 号 （ 整 数 0） 。V1， V2 设 定 模 态 分 析 时 的 频 率 范 围 或 屈 曲 分 析 时 的 特 征 值 范 围（ 实 数 或 空 白 ， V10， 或 空 白 ） 。 MSGLVL 诊 断 输 出 次 数 选 取 （ 0整 数 3， 缺 省 值 为 1） 。MAXSET 按 块 或 集 设 定 的 向 量 数 （ 1整 数 5， 缺 省 值 为 7） 。SHFSCL 第 一 个 模 态 的 频 率 预 估 值 （ 实 数 或 空 白 ） 。NORM 特 征 向 量 正 则 化 的 选 定 （ BCD值 ） 。MASS 对 质 量 矩 阵 正 则 化 ；MAX 对 特 征 向 量 之 最 大 分 量 正 则 化 ， 仅 限 于 屈 曲 分 析 时 使 用 。2021/5/28 18 注 意 事 项 ：1） EIGRL卡 必 须 由 情 况 控 制 指 令 METHOD = SID选 取2） 在 模 态 分 析 时 ， V1与 V2的 单 位 为 HZ； 在 屈 曲 分 析 时 ， 则 为 特 征 值 。3） 所 求 得 的 特 征 根 由 小 至 大 排 列 ， 利 用 V1、 V2和 ND三 个 参 数 可 以 控 制 求 解 范 围 ，如 下 表 所 示 序 号 V1 V2 ND 求 解 特 征 根 的 范 围1 在 V1与 V2之 间 的 最 低 ND个 根 或 全 部2 在 V1与 V2之 间 的 全 部 特 征 根3 在 V1， +区 间 内 的 最 低 ND个 根4 在 V1， +区 间 之 最 低 特 征 根5 在 -， +区 间 内 之 最 低 ND个 根6 最 低 一 个 特 征 根7 小 于 V2之 最 低 ND个 根8 V2 小 于 V2之 全 部 特 征 根2021/5/28 19 例 子 1图 为 被 约 束 两 自 由 度 模 型 ， 包 括 两 个 弹 簧 ， 两 个 集 中 质 量 。 两 集 中 质 量沿 y方 向 移 动 。使 用 正 则 模 态 分 析 （ SOL 103） ， 用 自 动 选 择 Householder方 法 或 改 进Householder方 法 （ EIGR卡 中 的 METHOD = AHOU） ,特 征 向 量 用 最 大 法 进行 正 则 化 （ EIGR卡 中 的 NORM = MAX） 输 入 文 件2021/5/28 20 2021/5/28 21 输 出 ： 每 个 模 态 特 征 值 ， 圆 频 率 (rad/s) ， 自 然 频 率 （ Hz） ,广 义 质 量和 广 义 刚 度 ， 对 每 个 模 态 显 示 特 征 向 量 ， 单 点 约 束 力 和 弹 簧 力 2021/5/28 22 例 子 2： 悬 臂 梁 模 型 输 入 文 件 ： 2021/5/28 23 2021/5/28 24 输 出 结 果 2021/5/28 25 2021/5/28 26 例 子 3： 四 分 之 一 板 模 型 注 ： SS = 简 支 边 界 1,2= 对 称 和 /或 反 对 称 边 界2021/5/28 27 问 题 ： 四 边 简 支 四 边 形 模 型 。 该 模 型 主 要 说 明 处 理 对 称 结 构 模 型 各 种 边界 条 件 的 应 用 。采 用 子 情 况 ， 定 义 如 下 四 种 不 同 边 界 条 件 ：l 对 称 -反 对 称l 反 对 称 -对 称l 对 称 -对 称l 反 对 称 -反 对 称采 用 BC情 况 控 制 指 令 识 别 多 各 边 界 条 件 。 SPCADD模 型 数 据 卡 定 义 所 有SPC卡 的 组 合 。四 分 之 一 板 输 入 文 件 ： 2021/5/28 28 2021/5/28 29 2021/5/28 30 例 子 4： 轿 车 框 架 模 型 2021/5/28 31 2021/5/28 32 图 示 该 轿 车 模 型 部 分 模 态 。 模 态 7是 整 体 翘 曲 模 态 ； 模 态 8是 车 顶 塌 陷 模 态 ； 模 态9是 局 部 （ 前 部 ） 车 顶 模 态 ； 模 态 10是 后 车 身 局 部 模 态 。 2021/5/28 33 第 11章线 性 屈 曲 分 析 2021/5/28 34 屈 曲 : 结 构 在 载 荷 不 再 增 加 的 情 况 下 继 续 变 形 (丧 失 稳 定 性 ）基 本 有 限 元 方 程 有 限 元 中 ， 线 性 屈 曲 问 题 是 在 线 性 刚 度 矩 阵 加 入 微 分 刚 度 的 影 响 微 分 刚 度 ： 应 变 -位 移 关 系 式 中 的 高 阶 项 ， 代 表 了 线 性 近 似 过 程 。 微 分 刚 度 矩 阵 是 几 何 ， 单 元 类 型 和 作 用 载 荷 的 函 数 2021/5/28 35 da KKK 2021/5/28 36 总 应 变 能 等 于 uKu5.0uKu5.0U dTaT 0uKuKuU dai 0)KpaKdet( da =+pa只 对 特 定 的 值 成 立 。 这 些 值 是 临 界 屈 曲 载 荷 0)KKdet( dia =+2021/5/28 37 屈 曲 分 析 步 骤 MSC/NASTRAN， 用 求 解 序 列 105求 解 线 性 屈 曲 问 题 载 荷 1)屈 曲 分 析 第 一 步 是 进 行 静 力 分 析 ， 形 成 微 分 （ 或 几 何 ） 刚 度 矩 阵 2) 静 力 分 析 载 荷 只 需 给 出 其 分 布 ， 而 载 荷 的 数 值 大 小 是 不 重 要 的边 界 条 件 因 对 称 结 构 最 低 屈 曲 模 态 不 一 定 对 称 ， 屈 曲 分 析 往 往 采 用 全 结 构 进 行 分 析 。特 征 值 解 法 在 MSC/NASTRAN中 有 七 种 实 特 征 值 抽 取 方 法 ： Givens法 ， 修 改 的 Givens法 ， Householder法 ， 修 改 的 Householder法 ， 逆 幂 法 ， 增 强 的 逆 幂 法 ， Lanczos法用 于 线 性 屈 曲 分 析 逆 幂 法 ， 增 强 的 逆 幂 法 ， Lanczos法2021/5/28 38