22圆的一般方程

2.2 圆 的 一 般 方 程 圆 的 标 准 方 程2 2 2(x a) (y b) r xy O CM(x,y)圆 心 C(a,b),半 径 r若 圆 心 为 O（ 0， 0） ， 则 圆 的 方 程 为 ： 2 2 2x y r 直 线 方 程 有 不 同 的表 示 形 式 ， 那 圆 的方 程 呢 ？今 天 我 们 就 来 学 习 圆 的 方 程 的 另 一 种 形 式 圆 的 一 般 方 程 . 1. 掌 握 圆 的 一 般 方 程 ， 会 由 圆 的 一 般 方 程 确 定 圆 的圆 心 、 半 径 （ 重 点 ）2.能 通 过 配 方 等 手 段 ， 把 圆 的 一 般 方 程 化 为 圆 的 标 准方 程 ,会 用 待 定 系 数 法 求 圆 的 方 程 .（ 重 点 、 难 点 ） 将 圆 的 标 准 方 程2 2 2 2 22 2 0 x y ax by a b r+ - - + + - =2 2 2( ) ( )x a y b r- + - =展 开 得 2 2 0 x y Dx Ey F 任 何 一 个 圆 的 方 程 都 是 二 元 二 次 方 程探 究 点 圆 的 一 般 方 程 思 考 ： 平 面 内 任 一 圆 的 一 般 方 程 都 是 关 于 x， y的 二元 二 次 方 程 ， 反 之 是 否 成 立 呢 ?提 示 ： 不 一 定 ， 圆 的 一 般 方 程 是 关 于 x,y的 二 元 二 次方 程 ， 但 二 元 二 次 方 程 不 一 定 表 示 圆 ， 如 方 程x2+2xy+y2=0， 即 x+y=0代 表 一 条 直 线 而 不 是 一 个 圆 . 2 2(1) 2 4 1 0 x y x y 【 解 析 】 配 方 得 2 2 0 x y Dx Ey F 不 一 定是 圆 2 2( 1) ( 2) 4x y 以 （ 1， -2） 为 圆 心 ， 以 2为 半 径 的 圆2 2(2) 2 4 6 0 x y x y 2 2( 1) ( 2) 1x y 【 解 析 】 配 方 得不 是 圆想 一 想 ： 以 下 两 个 方 程 都 表 示 圆 吗 ？ 总 结 ： 圆 的 一 般 方 程方 程 称 为 圆 的 一 般 方 程 .2 2 0 x y Dx Ey F 2 2( 4 0)D E F 圆 心 为 ,半 径 为 ( , )2 2D E 2 21 4 .2 D E F 思 考 :圆 的 一 般 方 程 与 圆 的 标 准 方 程 的 不 同 与 特 点 ?提 示 ： (1)形 式 不 同 ： (x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0（ D2+E2-4F 0）(2) 圆 的 一 般 方 程 的 特 点 : (a)x2 , y2 的 系 数 为 1 (b)没 有 xy项 (c)D2 +E2 -4F 0 例 1.求 过 点 M（ -1， 1） ， 且 圆 心 与 已 知 圆 C： x2+y2-4x+6y-3=0相 同 的 圆 的 方 程 .解 :将 已 知 圆 的 方 程 化 为 标 准 方 程 (x-2)2+(y+3)2=16.圆 心 C的 坐 标 为 (2,-3),半 径 为 4,故 所 求 圆 的 半 径 为 2 2| | (2 1) ( 3 1) 5. r CM所 求 圆 的 方 程 为 (x-2)2+(y+3)2=25. 求 下 列 各 圆 的 半 径 和 圆 心 坐 标 ：(2) x2+y2+2by=0(b 0).(1)x2+y2-6x=0.圆 心 为 (0,-b),半 径 为圆 心 为 (3,0),半 径 为 3 b【 变 式 练 习 】 例 2.求 过 三 点 O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的 圆 的 方 程 ,并 指 出 这 个 圆 的 半 径 和 圆 心 坐 标 .将 O, M1, M2 的 坐 标 代 入 圆 的 方 程 ,得 : 0,2 0,4 2 20 0,FD E FD E F 解 得 :F=0,D=-8,E=6. 解 :设 所 求 圆 的 一 般 方 程 为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,待 定 系 数 法所 求 圆 的 一 般 方 程 为 x2+y2-8x+6y=0, 2 21 4 52r D E F 半 径 为圆 心 坐 标 为 (4,-3). (1)根 据 题 意 选 择 圆 的 方 程 的 形 式 标 准 方 程 或一 般 方 程 .(2)根 据 条 件 列 出 关 于 a， b， r 或 D， E， F 的 方 程 组 ;(3)解 出 a， b， r 或 D， E， F,代 入 标 准 方 程 或 一 般方 程 .用 待 定 系 数 法 求 圆 的 方 程 的 步 骤 :【 提 升 总 结 】 1.判 断 下 列 方 程 是 不 是 表 示 圆 ：2 2(1) 4 6 4 0. x y x y2 2( 2) ( 3) 9x y 以 （ 2， 3） 为 圆 心 ， 以 3为 半 径 的 圆2 2(2) 4 6 13 0. x y x y 2 2( 2) ( 3) 0 x y 表 示 点 （ 2， 3） 2, 3 x y 时 等 式 成 立 ，2 2(3) 4 6 15 0. x y x y2 2( 2) ( 3) 2x y 不 表 示 任 何 图 形 3.方 程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表 示 的 曲 线 是 以 (-2,3) 为 圆心 ,4为 半 径 的 圆 .求 D,E,F的 值 .答 案 :D=4,E=-6,F=-32.已 知 圆 x2+y2-4x+2y-4=0,则 圆 心 坐 标 、 半 径 的 长 分 别是 （ ）A.(2,-1),3 B.(-2, 1),3 C.(-2,-1),3 D.(2,-1),9A4.求 经 过 三 点 A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的 圆 的 方 程 .待 定 系 数 法 ,答 案 :x2+y2-7x-3y+2=0. 2 2 0 x y Dx Ey F 2 22 2 2 24( ) ( ) (2 2 4 4 0)D E D E Fx D E Fy 1.圆 的 一 般 方 程 的 形 式 及 特 点 :2.利 用 待 定 系 数 法 求 圆 的 方 程 ： 设 为2 2 22 2 方 程(x-a) +(y-b) =r(或 x +y +Dx+Ey+F=0)列 关 于 a， b， r（ 或 D， E， F）的 方 程 组解 出 a， b， r（ 或 D， E， F） ，写 出 标 准 方 程 （ 或 一 般 方 程 ） 不 是 什 么 人 都 可 以 交 往 的 ， 慎 交 朋 友 。 笑 看人 生 潮 起 潮 落 ， 守 住 自 己 的 心 .