资源描述
第二章L为廿公计品经讲学模型的理总万程中必须包翁随机十就项？解答计量经济学模型考察的是具有因果关系的随机变量间的具体联系 方式.由于是随机变量，意味着影响被解释变量的因素是复杂的，除了解释变 量的影响外，还有其他无法在模型中独立列出的各种因素的影响，这样，理论 模型中就必须使用一个称为随机干扰项的变量来代表所有这些无法在模型中独 立表示出来的影响因素，以保证模型在理论上的科学性。，下列计量经济学方程哪些是正确的？哪些是错谩的？为什么？(1)匕=& + /?乂，Lz小；工=戊+ %+乂，r=】2，、s0)匕=应+ 凡+4，r = IA-sn；(4)弋内、t = ,2 f(5)匕=巾 + /其， = 1,2,/:(6)1三4+ /胃,E = 1,Z，八(7)匕=位+力兑+自，F = l,2,，月：(8) =在+ /氏+启，F=L工赤.其中带”口酢者表示M估计值二解答计量经济学模型有两种类蛰：一是总体回归模型；另一是样本回归 模型.两类回归模型都具有确定形式与随机形式两种表达方式；总体回归模型的确定形式打门才卜闻十片刀总体回归模型的随机形式丁工自+卬C + H样本回归模型的确定形式心乐+ BX样本回归模型的随机形式Y = A+BXZ除此之外，其他的表达形式均是错误的，因此判断如下1(1)错误；(2)正确： (3)错误:(4)错误；(5)错误；(6)正确；(7)正确:(8)错误.4.线性回归模型%=。+ 夕%+自，i = l,2,/的零均值假设是否可以表示为工从=o?为什么？n M解答 线性回归模型中的零均值假设（4）=0可以表示为e（4）=o, E3）=o, e的）=o，但是不能表示为=0 ,理由是 n f-1I 念必=3）二。严格说来，随机干扰项的零均值假设是关于X的条件期望为零： e（mIX）=o,其含义为在X取值为用的条件下，所有其他因素对y的各种可 能的影响平均下来为零。因此，上（从）与工儿是两个完全不同的概念.5.假设已经得到关系式丫=4+4的最小二乘估计，试回答：（1）假设决定把才变量的单位扩大10倍，这样对原回归的斜率和截距会有 什么样的影响？如果把y变量的单位扩大io倍，又会怎样？（2）假定给x的每个观测值都增加2,对原回归的斜率和截距会有什么样 的影响？如果给y的每个观测值都增加2,又会怎样？解答（1）记才为原变量x单位扩大10倍的变量，则丫=工，于是10Y = Bdx如磋 10可见，解释变量的单位扩大10倍时，回归的截距项不变，而斜率项将会成为原回归系数的二,10同样地，记E为原变量了单位扩大io倍的变量，则 二卷，于是Y 元=凤+队X即F =10 4+1001*可见，被解释变量的单位扩大10倍时，截距项与斜率项都会比原回归系数扩大 10倍.(2)记=X + 2,则原回归模型变为Y = B.+BiX、,二煤+双-2)记=/ + 2,则原回归模型变为y* - 2 =凤+旦片L+2)+可见，无论解释变量还是被解释变量以加法的形式变化，都会造成原回归模型 的截距项变化，而斜率项不变.6.假使在回归模型耳=乩+4氏+向中，用不为零的常数6去乘每一个X 值，这会不会改变F的拟合值及残差？如果对每个X都加大一个非零常数8, 又会怎样？解答 记原总体模型对应的样本回归模型为k=A+Am+e,，则有衣三辛率,瓦三?-y的拟合值与残差分别为记药,6局.则有素=生，或工土 =上；-X = 6xi记新总体模型对应的样本回归模型为%= +型；+；则有kkk- -必/a0 = y - 1 x* = y -pxsx o=q-BH=Bo于是在新的回归模型下，丫的拟合值与残差分别为 8=2 +4乂=A+jAXjo=A）+Kxi e；=K-（4+M：） =丫0+。2 xj = K - + BiX） 可见，对x乘非等常数后，不改变丫的拟合值与模型的残差。 如果记x；=M+6,吧x9 =X + S , X：三七于是新模型的回归参数分别为% Z咆%=丫 -姓-B6=Bo-冰在新的回归模型下，丫的拟合值与残差分别为1=&+一万.=（良-肱）+A（x”）=Bo + BiX*e：=匕 - 0 +）=匕-（瓦-魏）+ （% + 5）=V0+B凶）可见，对X都加大一个非零常数后，也不改变Y的拟合值与模型的残差。7.假设有人做了如下的回归：其中，片,巧分别为匕,用关于各自均值的离差。问a和自将分别取何值?解答 记三二12/，则易知=o,于是 nna _ (% -初y -刃 _Z(Q以=EF及=亍-6示=。可见，在离差形式下没有截距项，只有斜率项。9.记样本回归模型为Z=A+Xj + /,试证明：(D估计的y的均值等于实测的y的均值:(2)残差和为零，从而残差的均值为零：_-0je=0(3)残差项与X不相关：.2科=0(4)残差项与估计的Y不相关：工=0证(1)由于=(9冷幻+%故这里用到了1 y=y+A：z(%T)=y2 %=（ 乂一方）=0 由一元回归中正规方程组中的第一个方程Z 化-5lX）=oZe/=0巨,马=0n(3)由一元回归中正规方程组中的第二个方程（工-4）-痴为=0e 禺=0由(2)及(3)易知心值+6%)= A)Zq +AZe,M1 .多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量 的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？解答多元线性回归模型的基本假定仍然是针对随机干扰项与针对解释 变量两大类的假设.针对随机干扰项的假设有：零均值，同方差，无序列相关 且服从正态分布，针对解释变量的假设有；解释变量应具有非随机性，如果是随机的，则不能与随机干扰项相关；各解释变量之间不存在（完全）线性相关 关系。在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解糅变量非随机或与随机干扰 项不相关的假定：在有效性的证明中，利用了随机干扰项同方差且无序列相关 的假定。2 .在多元线性回归分析中，检验与尸检验有何不同？在一元线性回归分 析中二者是否有等价的作用？解答在多元线性回归分析中，/检验常被用作检验回归方程中各个参数 的显著性，而尸检验则被用作检验整个回归关系的显著性。各解释变量联合起 来对被解释变量有显著的线性关系，并不意味着每一个解释变量分别对被解释 变量有显著的线性关系。在一元线性回归分析中，二者具有等价作用，因为二 者都是对共同的假设一解释变量的参数等于零进行检验。4.在一项调杳大学生一学期平均成顼（丫）与每同在学习（乂）、睡觉（入2）、 娱乐（入3）与其他各种活动（Z）所用时间的关系的研究中，建立如下回归模型：丫=4+4 % * 不 +乩 %如果这些活动所用时间的总和为一周的总小时数168。问：保持其他变量不变, 而改变其中一个变量的说法是否有意义？该模型是否有违背基本假设的情况？ 如何修改此模型以使其更加合理？解答 由于X1+X2 + X3+ *4=168,当其中一个变量变化时，至少有一个 其他变量也得变化，因此，保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是 无意义的。显然，由于四类活动的总和为一周的总小时数168,表明四个X间存在完 全的线性关系，因此违背了解释变量间不存在（完全）多重共线性的假设。可以去掉其中的一个变量，如去掉代表“其他”活动的变量元，则新构 成的三变量模型更加合理。如这时自就测度了当其他两变量不变时，每周增加 1小时的学习时间所带来的学习成绩的平均变化。这时，即使睡觉和娱乐的时 间保持不变，也可以通过减少其他活动的时间来增加学习的时间。而这时三个 变量间也不存在明显的共线性问题C5.考虑下列两个模型：(a) %=%+1入11+，占，+%(b) %- %产0 +自治+。迷3q(1)证明：自=4-1, 8q=&q，&二4。(2)证明：两个模型的最小二乘残差相等，即对任何L有& =包。 (3)在什么条件下，模型e)的双小于模型(a)的&2?解答(1)对模型变形如下：X = A)+(A + i)招 + 夕2招+4 因此，在与模型(a)有相同的样本下进行OLS估计，有 =自 + 1，Bq=&0,B?= &2或6=4-1,Bq=&q，B】=&)(2)在(1)成立的条件下，- =Z-A-(a+i)xAx, 三yXb6ML A*2=aVu2(3)对模型(a)对模型(b)Rj 一 E_zu-居)sqF_.由知2年=2，故只有当Z【(x-居)-江-凡)2入射=0解答。)根据最小二乘原理，需求适当的自，A,使得残差平方和最小: Min 2蜡=2亿-自居-A%)?正规方程组:或由微积分的知识，对上式分别关于与，后求偏导，并令导数值为零，得如下a-瓦乐-无4）招=0Z（x-瓦玉-&居）为产。32尤 +82X11X21 = ,X“YiAZx居+AZ居=2居匕解得,二居xx,后）*/Z 扃-（为。2a 二（Z-Z典）-（2丫再xZx居）2 ，蜀 ZM（ZxdJ（2）由（1）中的正规方程组知，对该模型，仍有 工与凡=0 E%X2t = 0但不存在W =0 ,即过原点的残差和不一定为零。8.对下列模型：（a） Yf =a + 0X. + 2Zj + %（b） Y*=a + pXpZ卢 ”求出/?的最小二来估计值，开籽结果与卜面的三变量回归方程的最小二来估计值作比较二:Yt-a + pXi + 浮$ + %你认为哪一个估计值更好？解答将模型改写成Yi-2Zi = a + B% + 叼则/的估计值为将模型(b)改写成5 =a + 趴XZJ + a则的估计值为对模型(c), /?的估计值为, _(Zm.)(ZX)吊NZ占巧)显然，模型与模型(b)分别是模型(C)的参数在如下约束下的变形式；7=2* y = +因此，如果限制条件正确，则三个回归结果相同，当然，从参数估计的表达式 上看.模型(与模型(b)的回归算法更简洁，但如果限制条件不正确，则模型(a) 与模型(b)的回归参数是有偏的。第四章1.对一元回归模型Y广。o+PiX 内(1)假如其他基本假设全部满足，但丫”(4)=。；工。2,试证明估计的斜蟀 项仍是无偏的，但方差变为(2)如果Var(M)=，Kj,试证明上述方差的表达式为 .Var(A)=X?*TT该表达式与在同方差假定下的方差Var(自)之间有何关系？分K,.大于1与小于 1两种情况讨论。解答(1)在一元线性回归中，已知有5防 d 、看必因此,E（A）= E（0J + Z 去e（m） = BiVar（4）= Var（/?l） + Var*上2去备c*-(W(2)由(1)中结果进一步得v皿6)= Exk* =.，国3)(正育育而在同方差下，丫/病）=工,它与Var（自）相差一个乘子柒I。如果 二2 %X,- 1,则该乘子大于1,出现Var（自）Var（/j：如果0（1，则出现Var0）Var 闻。2.对题1中的一元回妇模型，如果已知Var（j） =。：，则可对原模型以权 上相乘后变换成如下的二元模型：LQ+贮+比555 5对该模型进行OLS估计就是加权最小二乘法。试证明该模型的随机干扰项是同 方差的,并求出片的上述加权最小二乘估计量.解答由于Var(% = J Var3)= 3。：=1巴 5巧因此，变换后的模型是同方差的。记变换后的模型的样本函数的离差式为=离上+ K + e；55对该式的OLS回归，就是求适当的篇,；，以使最小。再对该式关于离,夕:求偏导，并令偏导数为零，得如下正规方程组 耳Z w：+夕;Z吗=z w力房=2 吗 XX解线性方程组，则容易得到参数的OLS估计量为_0,）（1/工）一（1区）（!.）其中，二/。进一步令且则上述估计式可简化为Y=匕-广，再=乂-产3.对一元线性回归模型(1)假如其他基本假设全部满足，但Cov(m.,JxO,试证明，估计的斜率项仍是无偏的；(2)若自变量存在正相关，且随机干扰项存在如下一阶序列相关：成证明估计的斜率项的方差为|并就00与夕0，岸-X），即从与%均存在正序列相关；p0,岸口-0,或0,即4与X序列，一个正相关, 一个负相关，则有Var(给 3。1 p 1 7jr Y-i r .，1一%41-丽&0/十为加囹)M 曳1值+ ，3 尸+，iJ+_J+ (u )-3 l-q4 ， 1 同1一。血 %( %) 于是，结构式参数与简化式参数之间的关系体系为兀 10 二氏+。01l-a的八1一四仇71a1-4优1-q%l-a4(3)用结构式条件确定模型的识别状态，结构参数矩阵为Y M常量PCIBr=( i- -A -自 o -八 F一 If 1 -。000 模型系统中内生变量的数目为g=2.先决变量的数目为k=3(包括常数项)。首先判断第1个结构方程的识别状态。对于第1个方程，有k-k = 4- 3 = 1 = g(-l所以，第1个结构方程为恰好识别方程。再看第2个结构方程，有8。几=(一八一力) &(o)= l = g-l 2一&=4-2 = 2g?-1 所以，该方程可以识别，但是过度识别的。综合以上结果，该联立方程计量经 济学模型是可识别的。(4)由于第一个方程恰好识别，因此三种方法都可以估计，而且结果应是一致 的；第二个方种为过度识别的，所以只能用二阶段最小二乘法(2SLS)进行估计。
展开阅读全文