《结构化学》教案

结构化学教案授课时间 2007 年 5 月第1 到 7 次课授课章节第一章 量子力学基础和原子结构任课教师刘奉岭，教授及职称教学方法多媒体教学课时安排20 课时与手段潘道皑等 , 物质结构 (第二版 )潘道皑等 , 物质结构 (第二版 )；江元生 , 结构化学 , 高等教育出版社 , 1997周公度 , 结构与物性 (第二版 ), 高等教育出版社 , 2000周公度，段连运， 结构化学基础(第三版 ), 北京大学出版社 , 2004使用教材和郭用猷 , 物质结构基本原理 , 高等教育出版社 , 1985主要参考书张三慧 , 量子物理 (第二版 ), 清华大学出版社 , 2000Ira N. 赖文著 , 宁世光等译 , 量子化学 , 高等教育出版社 , 1981徐光宪等 , 量子化学基本原理和从头计算法(上),( 中 ) , 科学出版社 , 1981赵成大 , 理论无机化学 , 东北师范大学出版社 , 1999杨宗璐等 , 结构化学问题选讲, 科学出版社 , 2000教学目的与要求：通过本章知识的学习, 使学生了解量子力学建立的实验基础，掌握结构化学 中应用的量子力学基础知识； 掌握量子力学处理单电子原子的方法 , 以及所得到的主要结果； 掌握多电子原子的量子力学理论处理方法以及原子轨道的概念；了解电子自旋问题的提出过程，掌握电子自旋的处理方法以及泡利不相容原理；掌握多电子原子整体状态的描述方法，理解原子光谱项的概念及推求方法。教学重点，难点：重点是：量子力学基础，单电子原子及多电子原子的量子力学处理。难点是：波函数与几率密度，薛定谔方程的得来线索，原子体系波函数的图形表示，原子轨道的概念，光谱项及其推求方法。教学内容：量子力学创立的历史背景是物理学遇到了无法克服的困难 , 通过修补经典物理学又不能完全解决这些困难 , 因此需要建立一种全新的理论 , 在这种情况下创立了量子力学。本章内容分三大部分：一、量子力学基础二、单电子原子的量子力学处理三、多电子原子的量子力学处理1 1 经典物理学的困难和量子论的诞生1. 经典物理学的困难及三个著名实验到 19 世纪末 , 经典物理学已经很完善 , 包括牛顿力学、 麦克斯韦电磁理论、 玻尔滋曼等人建立统计力学等 , 它们几乎成功地解释了当时所考虑到的所有的物理现象。但是 , 当把经典物理学应用到高速运动和小线度范围时 , 结果却失败了。12(1)黑体辐射实验 量子论的引入实验证明 , 在任何温度下 , 任何物体都向外发射各种频率的电磁波。这种能量按频率的分布随温度而不同的电磁辐射叫做热辐射。单位时间内从单位表面积发出的频率在 v 附近单位频率区间的电磁波的能量称为光谱辐射出射度 , 用 W(,T)表示。维恩从经典热力学和麦克斯韦分布律出发 , 导出了一个公式 , 即维恩公式 :W (v,T )v3 exp(v / T )(1.1-1)式中 , 是常量。这一公式在低频范围有较大偏差。瑞利和金斯根据经典电磁学和能量均分原理导出的公式为 :W (v,T )2 v 3(1.1-2)c2 kT)T,(W这一公式在低频范围还能符合实验结果 , 但在高频experimental curve范围内相差很远 , 甚至趋R-J curve向无限大值。当时 ,物理学Wien curve家把这称为“紫外灾难” 。经典物理学不能很好地解释黑体辐射问题, 为了解释黑体辐射问题 , 1900年德国物理学家普朗克提出 “能 量 子 ” 0的 概图 1-1 黑体辐射的能量分布曲线图 1-2 德国物理学家普朗克念: 0hv , 成功地解释了黑体辐射问题。1900 年 12 月 14 日，普朗克发表了他根据“能量子 ” 0 的概念导出的黑体辐射公式：2hv 3(1.1-3)W (v,T )2ehv / kTc1这一公式在全部频率范围内和实验都符合。普朗克的能量量子化的概念第一次冲击了经典物理学的束缚， 开创了对小线度的微观粒子用量子论研究的新时代。(2) 光电效应实验 爱因斯坦光子学说提出1905 年, 爱因斯坦在光电效应基础上提出了“光子学说 ”。金属在光照射下发射出电子的现象 , 就是光电效应。逸出的电子称为光电子。使电子从金属表面逸出所需做的功，称为逸出功，用 W0 表示。实验发现：对于每一种金属，只有当入射光频率 v 大于一定频率 v0 时，才能得到光电效应。频率 v0 是金属的特性。光电子的动能与入射光的频率有如下关系:K maxh( vv0 )(1.1-4)式中 h 是普朗克常数 , v 为入射光频率。单位时间单位面积上发射的光电子数与入射光频率无关, 但与入射光强成正比。经典物理学无法解释光电效应。因为 , 经典物理学认为 , 光的能量与光的强度成正比 , 当光的强度足够大时 , 就应该有光电子逸出 , 并且光电子的动能应该与光的强度成正比。事实上 , 实验结果却不是这样。 为此 , 爱因斯坦在普朗克量子论的基础上提出了他的光子学说。爱因斯坦光子学说的主要内容为 :13(1)光是由光子组成的 , 每个光子的能量0hv 。(2)光的强度取决于单位体积内的光子数。(3)光子的动质量和动量分别为:m0hvh ; p mch(1.1-5)c2c 2c(4)光子与电子之间的相互作用服从能量守恒和动量守恒定律。根据光子学说可以很好地解释光电效应。因为, 金属表面上的电子吸收一个光子后, 这个光子的能量被电子吸收。当光子的能量大于电子的逸出功时 , 除克服逸出功外 , 剩余的能量就转变成了电子的动能 , 可用下面的公式表示 :hv1 m 2W0 , W0 hv 0(1.1-6)2, 因此光的强度越大 , 光电流也越大。光的强度与光子数的多少成正比(3) 氢原子光谱 玻尔原子结构理论的建立宇宙中最多元素是氢。因此 , 氢光谱很早就引起了人们的重视。下图是实验上得到的氢光谱图。图 1-3 氢原子光谱示意图1885年 , 巴耳末把当时已知的氢原子的光谱线归纳成一个公式 , 该公式被里德堡用波数表示出来后 , 成为111n3,4,5,(1-7)vRH (2n2 )21.096776 107m-1。20 世纪初 , 又在远紫外区发现了许式中 RH 称为里德堡常数, 数值为 RH多谱线 , 公式 (1-7)推广为 :111(1-8)vRH (n12n22 )n2 n1 1为了解释氢原子光谱的实验结果, 1913 年, 玻尔在卢瑟福原子结构模型和量子论的基础上, 提出了三大著名假说并用来研究氢原子光谱 .(1)原子存在具有确定能量的稳定态( 简称定态 ), 定态中的原子不辐射能量。能量最低的定态是基态 ,其余定态是激发态。(2)运动电子的角动量是量子化的 ,其值是 nh/2。(3)只有当电子从一个定态E 跃迁到另一个定态E 时, 才放出或吸21收辐射能 (光)。其频率满足 :v| E2E1|(1-9)h公式 (1-9)被称为玻尔频率规则。玻尔得出处理氢原子体系的两个方程:图 1-4 玻尔14mv2e22 , Mnhmvr(1-10)r4 0r2求解上式得到 h 22222410emerme2n52.9n(pm ) 0.529n(A)En8 0r802 h2n 213.6 n2 eV(1-11)其中 , a00 h252.9(pm )0.529 (A) 称为玻尔半径。将 (1-11)式的能量表达式代入 (1-8)式,me2求出里德堡常数1.09737 107m-1,与实验值基本一致。实际上 , 考虑到电子是绕RH为 RH体系的质心而不是绕原子核旋转的事实, 将电子质量 m 用约化质量mMm代替 , 将得到M非常符合实验值的结果。可见, 玻尔理论很好地解释了氢原子光谱问题。但当进一步研究氢原子光谱的精细结构和多原子光谱时 , 却遇到了无法克服的困难。由此可见 , 必须创建完全崭新的物理理论。20 世纪 20 年代 , 一门崭新的学科 量子力学建立起来了。2. 物“质波 ”概念的提出1924 年, 法国物理学家德布罗意 , 在爱因斯坦光子学说的基础上 , 运用类比的方法 , 提出了 “物质波 ”的概念。他认为 : 实物粒子既具有粒子的性质 , 又具有波的性质 , 这就是实物微粒的波粒二象性。联系波粒二象性的公式是 :hv, ph(1-12)将(1-12)式变换 , 得到hh, 这就是德布罗意关系式。该关系式给出了物质波波长的pm计算方法。根据该式计算得到的波长和实验结果是否符合呢 ?123. 物“质波 ”实验证明及统计解释物质波的假设 , 1927 年分别被戴维逊 革末的电子束在 Ni 单晶上的反射实验和汤姆逊的电子衍d射实验所证实。戴维逊 革末的实验示意图见图 1-5。物质波波长的理论计算值：图 1-5 电子衍射原理示意图=h/pE 动能 =mv2/2=p2/2m所以， p=(2mE)1/2, 54eV 的电子动量为 : p=(2mE)1/2=3.9710-24kgm/s, =h/p=0.167nm。物质波波长的实验测定值：波在两相邻晶面上的衍射公式为:=2dsin根据该公式求出=0.165nm。可见理论与实验相当符合。说明物质波的假设是正确的。微观粒子具有波动性 , 微观粒子性和波动性如何联系到一起呢 ? 为此玻恩提出了物质波的统计解释。统计解释认为 : 空间任意一点波的强度与粒子在该点出现的几率成正比 。15请注意 :微观粒子的波动性是微观粒子的本性 , 不是粒子之间相互作用的结果。 但物质波也表现出波的相干特性。图 1-6 电子衍射图像4. 波粒二象性的必然结果 “不确定关系 ”下面通过电子束的单缝衍射来说明 “不确定关系 ”的存在。电子衍射示意图如右图。上述单缝衍射的光程差 (当 l d 时)为：d sin（电子的波长）角时发生衍射相消 , 因此可以求出 sin为:sind动量在 x 轴上的分量 px 为 :0pxp sin动量在 x 轴上是不确定的 , 其不确定程度为 :pxp sinh sin电子在通过单缝时 , 其在 x 轴上位置的不确定程度为:xd因此由于实物微粒具有波动性， 其位置与动量不可能同时具有确定值， 它们的不确定性满足下面关系 :xpxdhhd该关系是海森堡提出来的 . 量子力学中 , 不“确定关系 ”的精确表达式应为 :xpxh注意 :不但位置与动量 , 其它一些力学量也满足这一关系, 如能量4与时间等。即 :Eth( 应为 h 4)(1-14)目前人们已经认识到 , 不“确定关系 ”是微观世界的基本规律 , 它不是实验仪器精度不够造成的。 “不确定关系 ”给出了同时测定两个相关力学量的限制，但要精确测定一个力学量不受“不确定关系 ”的限制。本节需要掌握的知识1. 概念 : 能量量子化 , 光子 , 玻尔规则 , 物质波 , 物质波的统计解释 , 不“确定关系 ”2. 理论 : 根据光子学说解释光电效应 , 玻尔理论研究氢原子光谱 , 实验如何验证物质波。163. 计算 : 有关物质波波长的计算 , 氢原子光谱的计算 , 有关 “不确定关系 ”的计算。本节作业1. 思考 : 第 1,2 两题 ; 2. 将第 16, 17, 19(a),(d),(e), 20(b),(c), 21, 23, 24题做到作业本上。 1 2 实物微粒运动状态的表示方法及态叠加原理1. 波函数经典力学描述质点的运动可以用坐标、动量等力学量 , 知道某一时刻力学量的值就可以求得另一时刻的值。对于微观粒子来说, 由于具有波动性, 上述运动状态表示方法不适用, 必须寻找新方法。新的表示方法应该能够描述微观粒子的波动性。微观粒子波动性的统计解释是: 空间任意一点波的强度与粒子在该点出现的几率成正比。对于电磁波, 是用电场或磁场强度2U(x,y,z,t)来描述 ,|U(x,y,z,t)| 代表 t 时刻 x,y,z 点电磁波的强度。如果是微观粒子的波动性, 仿照电磁波的描述方法 , 也应该可以用一个函数来描述 , 这个函数表示为(x,y,z,t), 称为波函2应正比与物质波的强度 , 即正比与粒子在 t 时刻 x,y,z 点单位体数。与电磁波类似 | (x,y,z,t)|积内出现的几率。对于化学上的稳定状态 |(x,y,z,t)|2 应该与时间 t 无关 , 这时波函数可以用 y (x,y,z)表示 ,这样的状态称为 定态 .2.波函数的性质2 *是 的复共轭函数 , 由 求 *的| | = = (注意 与 ? 不同 ), 方法是 : 将 中 i(虚数 )前面的符号改变 , 即若原来是正号变为负号 , 若原来是负号变为正号。如 : (2 i+4x)exp( ih) * = (2i+4x)exp(ih)(1)合格波函数 的条件连续 : 及其对空间坐标一阶导数必须连续。单值 : 在空间一点只能取一个数值。有限或称为模的平方可积 , 即| 2|是可积的。(2) c 与 描述相同的状态如测量 100 次不同空间区域出现的次数出现的几率 (正比与 |2)为50203050%20%30%测量 1000 次不同空间区域出现的次数出现的几率 (正比与 |2)50020030050%20%30%可见上述实例说明 c与 描述的状态 , 几率密度相同 , 具有相同的物理意义 , 是同一个状态。这样描述同一个状态的波函数c有很多个 , 如何统一 ? 这就是波函数的归一化。 波函数的归一化 :即对于函数 c求出系数 c, 使下式成立 :2(1-15)c d 1可求得系数 c(实数 )：17c1,由于c归一化2d得到 一化波函数 :归一化2d例 :1.下列函数 足合格波函数(即品 函数 )条件的是 ( x, 0 r)。=exp(-r) =exp(-|x|) =exp(x2) =exp(-x)2. 将下面的波函数 (x) 一化 :(x)=Aexp(imx)0x2p, m 是整数 , A 是常数。解 :2( x)2* ( x) ( x)dx102 dx02( x) 2 dx2imx )A exp(imx )dx即：A exp(0022dxA2 21 得( x )1exp(imx )A023.自由粒子波函数 德布罗意波函数自由粒子是不受任何外界力 作用的粒子。 自由粒子来 , 它的 能量和 量 p 是常数 , 物 波的 波 =h/p 和 率也是常数。在波 学中 , 凡 率和波 都有确定 的波 称 波。三角函数形式的波函数 :( x, t )A cos2( xt ) 或 ( x, t) Asin 2 ( xt ) 化成指数函数形式 :( x, t)Aexp 2 i (xt )Acos2(xxt) iA sin 2(t ) (1-16)将 = /h,=h/p代入 波的波函数 (1-16)式中 , 得到一 空 中运 的自由粒子波函数 :( x, t )2ixt)(1-17)pxAexp( pxh三 空 中运 的自由粒子波函数 :p(r ,t )Aexp 2i ( p rt)(1-18)h上式中 :p rpx xpy ypz z4. 态叠加原理如果i(i=1,2, ,n)描述微 体系的 n 个可能状 , 有它 性叠加所得波函数:ncii(1-19)i1也描述 个体系的一个可能状 , 就是量子力学的最基本原理 叠加原理 。18本节需要掌握的知识1.概念 : 波函数 , 定态波函数 , 合格波函数的条件 , 自由粒子 , 态叠加原理2.理论及计算 : 波函数的归一化方法及具体计算 , 合格波函数的判断 , 自由粒子波函数的形式本节作业 :课下思考 p144 第三题。3 实物微粒的运动规律 薛定谔方程 薛定谔 : 奥地利理论物理学家 ,波动力学的创始人。 1887 年 8 月 12 日生于维也纳。 1910 年获得维也纳大学博士学位。1926 年 16月 ,他一连发表了四篇论文 ,题目都是量子化就是本征值问题 , 系统地阐明了波动力学理论。 1933 年 ,薛定谔与 P.狄拉克共同获得诺贝尔物理学奖。1944 年,薛定谔还发表了生命是什么？ 一书 ,使薛定谔成了今天蓬勃发展的分子生物学的先驱。1961 年 1 月 4 日,他在奥地利的阿尔卑巴赫山村病逝。1. 定态及含时薛定谔方程的得来线索自由粒子波函数具体形式为：p (r ,t)Aexp 2i ( prt )h将 p rpxx pyypzz代如上式得：p ( x, y, x,t )Aexp 2i ( px xp y ypz zt )h将(1-20)式两边对 x 求一阶导数 ,可以得到 :2i p xA exp 2i ( prt )2 ipx xhhh将(1-21)式两边对 x 再求一阶导数 , 得 :22 ipx ) 2 Aexp 2i ( p r42x2(t)2 px2hhh同理得 :1-7 物理学家薛定谔(1- 20)(1 - 21)(1 - 22)192( 2ipy ) 2Aexp 2i ( p42py2y2rt )2(1 - 23)hhh22ipz )22irt)422(1 - 24)z2(Aexp( ph2pzhh将 (1-22),(1-23),(1-24)三式相加后 , 整理得 :2224 2222)(1 - 25)x2y2z22( pxp ypzhh2(222px2p2ypz2(1- 26)82mx2y2z2)2mpx2p y2pz2p 2Ekin ,2222令2m2mx2y 2z2得：h22Ekin(1- 27)82 m(1-27)式就是自由粒子所满足的微分方程。对处于势能为 V(x,y,z)的势场运动的粒子 , 将(1-27)式两边加上 V(x,y,z), 得 :h 22V ( x, y, z) ( EkinV )(1- 28) 由于 E=Ekin+V, 考虑2m8到exp(2 it)式(1-28)整理得:hh22V ( x, y, z)E(1- 29)82 m(1-29)式就是著名的 定态薛定谔方程 。可用它来研究定态问题。令(1-20)式中的=E, 得:p ( x, y, x,t)Aexp 2i ( prEt )(1 - 30)h(11)两边对 t 求一阶导数 , 得:t2i E Aexp 2i ( prEt )2 i E(1 - 31)hhh整理得：h(1 - 32)E2 i t比较 (1-29)和(1-32)两式 , 得含时薛定谔方程 :h22V ( x, y, z,t )(1- 33)2mi8t(1-33)式中 ,h。用含时薛定谔可以来处理非定态问题, 例如有关原子、分子辐射或吸收2光子的跃迁几率等 ,结果证明含时薛定谔方程是正确的。202.实例 在势箱中运动的粒子V (x)0当 0xl=0=0V(x)=VV =0V 当 0 x l由于 箱外=0,所以不必求解薛定 方程。 箱内 ,V(x)=0 得薛定 方程 :x=x=2d 2(1-34)2mdx 2E边界条件 :(0)=(l)=0(1-34)式, 是典型的二 常系数微分方程 , 求解可得到 :( x) Acos( 2mE x )Bsin(2mE x ), 代入 界条件得：( 0)Acos(0)Bsin(0)0, A0( l )B sin( 2mE l )0, B 0, sin(2mE l )0可以得到： 2mE ln,2mEnl根据上式得能量及波函 数：Enn 2h2n x1, 2, 3,.)8ml2 , ( x)B sin() (nl讨论 : n 的取 什么是 (n=1,2,3,)?将波函数 一化 ,求得常数 B:l( x)2B2 l2n x1,得：20dx0 sin()dxB,ll 得到一 箱薛定 方程解的具体形式是：n2 h2En28mln ( x)2sin(n x) （n1，2，3， )ll解的 ：(a)能量 :从一 箱体系的能量表达式可以看出能量与m、l 之 的关系。另外 体系的最低能量不是 0, 而是 :En 1h2 能量称 零点能。注意:零点能是一种量子力学效 。 能8ml 2 ,级 n+1 与 n 之 的能量差 : En 1 En( n 1)2 2n2 2n21 从上式可以看出 典力学 与量8ml8ml子力学的区 和 系。讨论 : 什么 宏 物体可 能量是 的? 什么有机共 体系越大 , 体系的最大吸收波 越 ?(b)波函数 :波函数及几率密度的 示 教材44 。一 箱波函数的 点及 点数21节点 : 除边界条件 (这里即 x=0 和 x=l)外 , 其它 x 使 (x)= 0 的点称为节点。从波函数图示可以看出 , 一维势箱的节点数与 n 的关系是 : 节点数 = n 1。因此 , 节点数越多 , 所对应波函数的能量越高。注意 : 对一维空间 中运动粒子波函数的 节点 , 在二维空间 中对应 节线 , 三维空间中对应节面 。波函数的正交性 (一般表达式 ):*n m dm n d0对一维势箱波函数来说 , 表达式为 (mn):*l*m dx2ln xm xnmdnlsin() sin()dx00ll2 l 1(m n) x(m n) xlcos(l) cos()dx0 2l*md*n dnmmnmn 是克罗内克符号 , 其意义是 :0 (mn)mn1 (mn)练习题 :计算下列积分 :(1-35)正交归一性条件的统一表达式 :0(1-36)(1-37)l2 x2 xlsin() sin()dx0ll2lsin( x) sin( 2x ) dx00ll2lm xm x1lsin() sin()dx0ll2l3 xm x)dxsin()sin(3ml0ll量子力学中的隧道效应问题:V(x) 0V=0V = cEc经典力学：不可穿透的势垒0V = c势阱问题量子力学：隧道效应图 1-8 有限深度的势阱中经典力学与量子力学的区别22单晶硅的隧道扫描图象及电流图图 1-9 扫描隧道显微镜STM 的原理及扫描图象示意图在经典力学中 , 若势阱中粒子的总能量 E 小于势阱的高度 V=c, 这时粒子不可能跑到势阱外面。但在量子力学中 , 同样情况时 , 由于粒子具有波动性 , 通过理论计算可以证明 , 粒子可以出现在势阱外。 扫描隧道显微镜 STM 就是根据量子力学中的隧道效应研制成功的。三维势箱问题 :三 维 势 箱 内 质 量 为m的 粒 子 其 薛 定 谔 方 程 为 ：h 2222方程(1-38)可以采用分离变8 2 m (x2y2z2 )E(1- 38)量法求解。这时令 :( x, y, z)X ( x) Y ( y) Z ( z) 代如 (1-38)式可以通过分离变量得到与一维势箱薛定谔方程类似的三个方程, 求解这三个方程得到能量和波函数。三维势箱的能量及波函数如下:2222Enxnynz h( nx2nynz2)(nx , n y , nz1,2,)b28macn yyn n n ( x, y, z)8nxxnzzsin()sin()sin()xy zabcabc当 a=b=c时, 成为立方势箱 , 这时能量 :23En xn ynzh 2 2 ( nx2n y2nz2 ),(nx , n y , nz1,2,)8ma:由立方势箱能量及波函数的表达式可知Enxn ynzh2 2 ( nx2n y2nz2 )(nx , ny , nz1,2,)8man xn ynz( x, y, z)83sin( nxx ) sin( n yy ) sin( nzz)aaaa虽然 112121 211, 但 E112= E121= E211, 象这样一个能级对应两个或两个以上的状态, 称此能级为 简并能级 , 相应的状态为 简并态 , 简并态的数目称为 简并度 。由此可知 , 与对应能级 E112 的简并度为 3。练习题 :与下列立方势箱能量对应的能级是否简并 ?如果简并 , 简并度是几 ? 分别对应什么状态 ?E 3h2不简并，对应 1118ma29h2简并，对应 221E22121228ma11h2简并，对应 113E21313118ma12h 2E 8ma2不简并，对应 222波函数及几率密度立体图的问题 :二维势箱波函数12和21 为:12 ( x, y)4sin(x ) sin( 2 y ),21 (x, y)4sin( 2 x )sin(y )abababab它们对应的立体图如下2112yxxy(a)(b)图 1-10二维势箱波函数12 和21 的立体图通过本节的学习 , 可以看出求解薛定谔方程应注意的问题是:1. 确定 V,写出薛定谔方程并确定如何求解 ;2. 确定并运用边界条件 ;3. 能量量子化如何由 V 及边界条件自然得出 ;4. 波函数的正交归一性问题 ;245. 能量高低与节面数的关系 ;6. 零解的出现及消除 ;7. 简并问题。本节需要掌握的知识1. 概念 : 定态薛定谔方程 , 含时薛定谔方程 , 势箱 , 能级 , 正交归一性条件 , 节点 (节面 ), 简并度 , 简并状态 , 简并数 , 零点能2. 理论 : 了解薛定谔方程的得来线索 , 能写出并求解一维势箱的薛定谔方程 , 理解波函数及几率密度立体图的意义3. 计算 : 一维势箱波函数的正交归一性计算 , 用一维势箱模型讨论共轭体系电子跃迁问题。本节作业1. 课下自己思考 : p144, 第 4, 5 两题2. 将第 22, 25 题做到作业本上。 4 定态薛定谔方程的算符表达式1. 算符及力学量的算符表示：若令?h2222V(1-39)H2 mV82m则定态薛定谔方程可写为:?被称为哈HE(1-40)上式中 , H密顿算符。 什么是算符呢？所谓算符就是指对一个函数施行某种运算(或动作 )的符号 , 如, log,d 等都是算符。dx?对任意算符 A ，作用到函数 f1 上, 一般得到：?f2f2 是与 f1不同的函数。例如 :Af 1d(3x66y 2 x2) 18x56 y2 有一种特殊情况就是 本征方程 。什么是本征dx方程呢 ?本征方程 : 满足下式的方程? a 是该本征方程的 本征值 , f 是算符 A?的本征函数 ，上述方程就是Af1 af11本征方程。(1)e imx练习题：下列函数哪些是算符d2的本征函数？若是求出本征值。(2)3x3y2z(3) cos5xsin5xdx2(4) cos2xsinmx25是，本征值为m 2不是是，本征值为25讨论 :m 2和 0时是，本征值为 4；否则不是根据见 p146: 26, 27 题讨论什么是线性算符 ? 什么是厄米算符 ? 什么是线性厄米算符 ?在量子力学中每个力学量对应一个线性厄米算符, 力学量算符的表达式如何写出呢?(1)时空算符就是它们自己 :xx, yy, z?t (2)动量算符定义为 :z, t?pxi, pyi, pzi(3)任意力学量 Q 的算符表达式为 :?x?y?zQ(x, y, z, px , py , pz , t)?i,i, i, t ) 例如 , 动能算符的写法 :Q( x, y, z,xyz在经典力学中 ,动能可以用动量来表示 :Ekin12px2py2pz2m2m2将动量算符的形式代入上式 , 得到动能算符为 :?2?2?21pxpypz( i)2( i)2( i2K2m2m)xyz势能是空间坐标的函数 ,222222(2 )2mx2y2z2m即: V = V(x,y,z)。因此 ,势能算符与它原来完全一样 :?V( x, y, z) V ( x, y, z) 。角动量算符的写法:ijkMrpxyzpxp ypz( ypzzpy )i ( zpxxpz ) j ( xpyypz )kM xM yM z , M 2M M M x2M y2M z2练习题 :?i ( yzi ( zx),因此 : M x), M yxzyz?i( xy)M zxyM 22( yzz) 2( zx ) 2(xy) 2yxzyx1.函数 sin(6x)是否是算符 d,d 2 的本征函数 , 若是求本征值 .dx dx 22. 一个质量为 m 的粒子在长度为 a 的一维势箱中运动 , 求该粒子动量的平方p2 为多少 ?263. 下列算符 , 哪些是 性算符 ?d,d 2?, log,dx2 , sin, cos, Hdx2.力学量平均值的求法 于一个力学量算符?, 当体系 于状 n ，若 足方程:?QnnQQ n 量力学量 Q 时