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各地解析分类汇编:直线、圆锥曲线431.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知两条直线y = ax 2和3x (a + 2)y + l = 0互相平行，则。等于()A. 1或-3B. -1或3C.1或3D,-1或3【答案】A【解析】因为直线2的斜率存有且为“，所以( + 2)0,所以3x ( + 2)y+ 1 = 0的斜截式3131方程为y = -x + ，因为两直线平行，所以一=。且。一2,解得。=1或。=3,选A. a + 2。+ 2。+ 2。+ 22 .【山东价实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知P(x, y)是直线人:+y + 4 = 0(40)上一动点,PA, PB是圆C： 一 +/一2), = 0的两条切线，a、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2,则攵的值为 ()A. 3 B. C. 2MED. 22【答案】D【解析】由圆的方程得r+()，- 1)2=1,所以圆心为(0,1),半价为厂=1,四边形的而枳S = 2S/8C, 所以若四边形PACB的最小面积是2,所以S/BC的最小值为1,而S/8C = ；r|P8|,即卢耳的最小值 为2,此时1Pq最小为同心到直线的距离，此时4=/1=彳百=6，即r=4,因为0, yjk2 +3 .【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】一已知倾斜角为。的直线/与直线x 2y + 2 = 0平行，则tan 2a的值为3 C.一2 D.-4 4A.-B.一5 32tana _ 2 0）.cr y则 2a = AC+ BC = 7(72-(-)2+(1-0)2 +(1-0)2 = 4 2、笈,二 a = 2 2 分:,h2=a2-c2=4-2 = 2.22椭圆的标准方程是+ = 1. 4分42（II）由题意直线的斜率存有，可设直线/的方程为y = Zx+2（攵工0）.5分联立方程:y = kx+ 2x2 +2y2 =4设M，N两点的坐标分别为区,必）,（工2，、2）消去y整理得，（1 + 2女2）入2+8匕：+4 = 0八8k4有3+为 = -=T-1 + 2攵2-1 + 2炉若以MN为直径的圆恰好过原点，则3彳，丽，所以玉+%为=，所以，xxx2 +（k百 +2）（te +2） = 0 ,即（1 + k ）x2 + 2k（% + x2） + 4 = 0所以,俗-。9分得 k? =2,k=土也.所以直线/的方程为y = yf2x + 2，或y = + 2 11分所在存有过P（0, 2）的直线/： y = JIr + 2使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。12分锥曲线1【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】椭圆的中心在原点，焦距为4, 一条准线为x = -4,则该椭圆的方程为（）5?）/0A. H= 1 B. t= 1 C.1= 1 D. + = 116 1212 88412 4【答案】C2【解析】因为椭圆的焦距是4,所以2c = 4,c = 2又准线为x = t，所以焦点在x轴且一 = -4,解得c/=8,所以=2_。2=8_4 = 4,所以椭圆的方程为二十二=1,选C.842【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知抛物线方程为f=4x,直线/的方程为工_），+ 4 = 0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为4, P到直线/的距离为则4+4的最小值（）八 5/2 个 56、5/2 c 、5右、A.卜 2 B.F1 C. - 2 D. - 12222【答案】D【解析】因为抛物线的方程为V=4x,所以焦点坐标户（1,。），准线方程为工=一1。因为点P到）轴的距离为4,所以到准线的距离为4 + 1,又4 + 1 =。/，所以4+%=4 + 1+4-1 =。/+4-1，焦点到直线的距离d =提=空，而PF+d2Nd = W，所以4+4 =尸产+412拽一1，/2222选D.3【云南师大附中2013届高三高考适合性月考卷(三)理科】若在曲线f (x, y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x, y)=0的“自公切线”。下列方程：/一),2 = 1；丁 = /_|工|,y = 3sinx + 4cosx：Ixl+1 =占二7r对应的曲线中存有“自公切线”的有B.C. 4)D.【答案】B 【解析】画图可知选B.f-yW是一个等轴双曲线，没有自公切线:/ _ 1 t 2 _ 1F 工 111y - 1x1 二，在X和X二-工处的切线都是行-，故有自公切线.1224)一百(3)y = 3sinx + 4cosx=5sin (x+), cos 1)=, sin0力0)的cr b.左、右焦点，过巴且垂直于X轴的直线与双曲线交于A , B两点,若AA8A是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A. (-/2 l,+oo) B. (/?+1,+) C. (1 + /T,+oo) D. (1,1 + 5/2)【答案】C【解析】由题设条件可知ABC为等腰三角形，只要NAFoB为钝角即可，所以有 2c,即 2c, a所以c2c52ac,解得+ 选C.5【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】在抛物线)，= /+a.5(。工0)上取横坐标为$ =-4,受=2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5/+5,V =36相切，则抛物线顶点的坐标为()A. (-2,-9)B. (0,-5)C. (2,-9) D. (1-6)【答案】A1 1 - 4a - 94-1【解析】解：两点坐标为(Y,ll - 44),(2,2a l),两点连线的斜率k-3 二- 4 - 2对于y =工2 +。工一5(。WO), y = 2x + a / 2x+a=a - 2 解得工二-1在抛物线上的切点为(1,4 4),切线方程为(a 2)x y6=0直线与圆相切，圆心(0, 0)到直线的距离二圆半径，即摩J(v2)5解得4或0 (0舍去)，所以抛物线方程为)，=/+4工一5顶点坐标为(-2,-9),故选A.226【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知双曲线二-二=1(。 0力 0)的两条渐近线CT 犷均与C: / +)，2 -6x + 5 = 0相切，则该双曲线离心率等于3小系3小A. B. C. -D.5225【答案】A【解析】圆的标准方程为(x 3)2 + y2=4,所以圆心坐标为C(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线为y = -x,不妨取y =即以一 ay = O,因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离7【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知椭圆二+二=1(。0)的左、右焦点分别cr b-为6( - c,0),居(c,0),若椭圆上存有点P使一一7=. 二 L，则该椭圆的离心率的取值范围为 smZPr1F2sinN 尸后写A. (0, y/2, 1)B.,争）C. (0,22D. (V2-1, 1)【答案】D【解析】根据正弦定理得-” -=一，所以由 -=- 可得 sin /PFR sin /PF?F、sin /Pg sinMi阀即黑所以又PF = ePF 户用+ |P同=40局+归用=卢用(6 + 1) = 2即叫=当因为|”|+不（不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为。，无意义）所以 -c v 二fL v + c，即 1 一=1 + 上，所以 1一6e+a e+ ae+(1e)(l + e)v2,，所以2(l + e)21 2ll_,解得应 Ivevl,即(衣1,1),选D.42/3b b-这样根据a, b,c的关系式化简得到结论为无，选B3Y2 V29【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】设月、入分别为双曲线/-庐=1（。0,0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存有点P,满足|PR| = |百6|，且尸2到直线尸的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A. 3x4y = 0B. 3x5y = 0C. 5x4y = 0D. 4x3y = 0【答案】D【解析】依题意IPF2ITF1F2I,可知三角形P6巴是一个等腰三角形，F2在直线PFi的投影是其中点，由勾 股定理知可知|尸甲=244c24cJ =4b,根据双曲定义可知4b-2c=2a,整理得c=2b-a,代入c2=a?+b2整理得3b2 - 4ab=0,求得且 a 34.双曲线渐进线方程为y = 4x,即4x3y = 0。故选D.2210【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】椭圆5+5=1的焦点为，鸟，点尸在椭圆上，若IPI=4, 用的小大为【答案】120【解析】椭圆9 2的/=9, = 3, b2=2.c2=a2-b2=7,所以c = ,因为户周=4,所以附 |+|*=2 = 6所 以|尸国=6-4 = 2cos FPF2 =一1,所以 NPA=120, 2附+阀-出用142+22-(2尸2PFxPF2-2x4x211【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】若焦点在x轴上的椭圆二十二=1的离心率为L , 2 m2贝|J加=.3【答案】-2【解析】因为焦点在x轴上。所以0vmv2.所以/=2万=肛/=/一从=2_* 椭圆的离心率为3 解得7 = -。212【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知点P是抛物线f=4x上的动点，点P在y轴上的射影是X，点A的坐标是（4, a）,则当lal4时，I P4I+ 1 PM I的最小值是【答案】7779-1【解析】当x = 4时，），2=4x4 = 16,所以），=4,即卜| = 4,因为lal4,所以点A在抛物线的外侧,由抛物线的定义可知|PN| = |0根+ 1=|夕尸|，当，三点A,P,F共线时，IPAI + IPFI最小,此时为IR4I + IP-l=|AF|, 又焦点坐标为尸(1,0),所以|A目= J(4_l)2+2 =的+力,即pM| +1 + |以|的最小值为JcJ+9 , 所以|尸根+|。4|的最小值为十9 -1 013【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】过椭圆左焦点尸，倾斜角为三的直线交椭圆于4, 8两 32点，若归曰=2|尸q,则椭圆的离心率为,设椭圆的左准线为1,过A点作ACL1于C,过点B作BD_L1于D,再过B点作BGLAC于G,直角AAEG中，ZBAG=60 ,所以AB=2AG,由圆锥曲线统一定义得：已里， AC BDVFA=2FB,，AC = 2BD直角梯形ABDC中，AG=AC - BDjAC 2、比较，可得AB二AC,2又 af/ab ，已望望/ 故所求的离心率为. 憾 31W e AC AB 3 ,14【云南师大附中2013届高三高考适合性月考卷(三)理科】如图4,椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A, B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FBLAB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推出“焚金双曲线”的离心率为.【答案】芋【解析】由图知（心面+H，整理得即入1=。，解得”竽1 +有 e =215.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分14分）已知椭圆C:二十=1（。 0）的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦 cr3点构成的三角形的面积为些. 3（I）求椭圆C的方程;（II）已知动直线y = A:（x + l）与椭圆C相交于A、B两点.若线段A8中点的横坐标为一 27斜率大的值；若点M（,0）,求证：为定值.3【答案】解：（I ）因为二十二=1（人0）满足。2=6+/, = 2分cr ra 3= xx2c =空。解得,尸=5，=2,则椭圆方程为 233(II) (1)将y = A(x + l)代入上+匚=1中得5 J3(1 + 3 公)/+6入 + 3公- 5 = 0 = 36%，- 4(3公 +1)(3公 - 5) = 48公 + 20 0玉+/ =6k?3k2+ 17分因为A3中点的横坐标为-L，所以 26% 23k?+11八解得=Z9分6k2（2）由（1）知*+x）=-R- 3K+13公一 5V2 = 3FTT7777所以 MAMB =（内 + 鼻，乃）（ + 7，K）=（X + -）（2 + -）+ i 211分77、=（* + -）（2 + Q）+ 小（X + 1）*2 + 1）= （1 + Zr2）x1x2 +（1 + &2）（玉 +x2） + + k2=（1 + 二）3尸-53k2+ 7+公）（+ 42914分一3廿一 16k2 - 5 49 逢 43r+ 19916.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）如图所示，己知椭圆G和抛物线。2有公共焦点尸（1,0）, G的中心和G的顶点都在坐标原点，过点M（4,0）的直线/与抛物线C2分别相交于A,8两点（1）写出抛物线C）的标准方程：（2）若病=1而，求直线/的方程;一2（3）若坐标原点。关于直线/的对称点尸在抛物线。2上，直线/与椭圆G有公共点，求椭圆G的长轴长的最小值.【答案】解：（1） 丫 -4设 44AM=yMB （4_?,一乃）二；（十年）2）阳为=-161 尸2二4五.G1+72 =4附 修 - x =+4 ：. y2 - Amy -16=0- 2yY = y2_72二为二-2屈冯二4虎m (3)1+溶（1+，）22椭圆设为,消元整（2/ -1）72十式1 一 1）丁一一十17川- 16 = 0x y y+匚+/1匕2兀=、+4A 。斯之年.长轴长的最小值为西2217 .【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）已知椭圆二十二=1上任一点 49P，由点P向X轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且PA/ = 2M0,点M的轨迹为C.（I）求曲线C的方程；4（II）过点D （0, -2）作直线1与曲线C交于A、B两点，设N是过点（）,-m）且平行于x轴的直线上一动点，满足碗= 05 +砺（0为原点），问是否存有这样的直线1,使得四边形0ANB为矩形？若存有，求出直线的方程：若不存有说明理由解，（I ）设M （x, y）是曲线C上任一点.因为PMlx轴，两=2磁，所以点P的 坐标为（又，3y）。点P在椭圆十乙三1上，所以十竺匚=1,，A 9A 9因此曲线C的方程是= 14（II）当直线/的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线，的方程为产粒-2与椭圆交于A （九，川），B （摩，”）,经N点平行乂轴的y = kx- 2直助程为尸二十由归+小期十研xf 2316 上12/西=17由=肥-48（1+软漪V 之即“正或左.追，.8分【答案】p422因为丽=次+而，所以四边形OANB为平行四边形,假设存有矩形OANB,则万丽=0即匹/ +必为=xixi +%2再必-2k(X +x2) + 4 = ( + k2)xlx2 - 2A(再 + x2) + 4 = 0 ,所以(1 + 6) 12二一2八 16A；+4 = o,即即=4从=2,io 分1+4K1+4K4即N点在直线y = -一 ,设N(x。，外)，由丽=砺+方，得/16k2.-44y0 = y +)1 = k(x. + xJ -4 =7-4 =7 = 一一，U .1.1 +软 21 + 软2 17所以存有四边形0ANB为矩形，直线1的方程为y = 2x-218 .【云南师大附中2013届高三高考适合性月考卷（三）理科】（本小题满分12分）设抛物线C的方程为/ =4y, X为直线2： y=一m（m0）上任意一点，过点M作抛物线C的两 条切线MA, MB，切点分别为A, B. 即 X； -2 +4% =0.同理可得过点B（x2 , y2）的切线方程为x； -2x0.y2 + 4%=0 , （8分）因为勺川=寸，% =于且 , %是方程-2入内+ 4% = 0的两实根，从而，上+“2小，xw = 4yo,所以M=彳、二% ,乙 乙当yo=-I,即小=1时，直线/上任意一点M均有物_L阳, （10分）当先hT,即加户1时，.3与历不垂直.综上所述，当切二1时，直线/上存有无穷多个点M使物U区 当。#1时，直线1上不存有满足条件的点 （12分）19 .【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试理科】（本小题满分12分）如图，直线I ： y=x+b与抛物线C ： x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值：(11)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】(I)由y = x + bX=4v得 /一4X一4。= 0因为直线/与抛物线C相切，所以A = (-4尸4x(4) = 0,解得力=一14分(II)由 可知8 = - 1,故方程(*)即为/-4工+ 4 = 0,解得了=2,将其代入/=4)，,得y=l,故点A(2,.因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆心A到抛物线C的准线y=-l的距离等于圆A的半径r,即r=| 1-(-1) | =2, 所以圆A的方程为“一2尸+(y l)2 =412分
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