数学分析选讲教案-1

数学分析选讲教案1授课时间2005 年9月12日第3周星期一 第 四 大节授课地点6402实到人数117授课题目函数的概念与性质、实数理论授课专业 班级信息与计算科学教学目的与教学要求1. 掌握函数的概念、性质和运算的方法。2. 理解实数理论的完备性，并会熟练运用，证明有关问题,.主要内容1、各种符号，函数的概念，几类重要函数，函数的性质，定理1.1 Contor闭区间套定理，定理1.2 （Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性），定理1. 3 (完备性定理) 数列收敛的充要条件是它为基本数列。定理1.4 （单调收敛定理） 单调有界数列必收敛。定理1.5 （确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集必有下确界。定理 1.6 （HeineBorel有限覆盖定理）重点与难点重点：函数的性质和实数理论。难点：实数理论教学方法手段（教具）讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合参考资料数学分析，高等数学，2005年数学研究生考题 2006年高等数学考试测试题课后作业与思考题作业1.2.3.4.5.6思考题：六个实数完备性定理的相互证明。教学后记讲稿部分教学过程时间分配第一讲：函数的概念与性质，实数理论一、函数的概念与性质（一）常用符号 N, Z, R, (二) 函数的概念1. 函数的定义2. 几个重要函数l 分段函数 l 符号函数 l Dirichlet 函数l Rinmann 函数 3. 初等函数 4. 周期函数 5.奇偶函数6. 复合函数 7. 反函数 (三) 函数的性质 l 有界性 l 周期性 l 奇偶性 l 单调性 20m第 1 页 共 页讲稿部分教学过程时间分配 , 求 =， 求 设 = 由数学归纳法 证明 为R上的有界函数。 二、实数完备性定理 在研究数列极限以前，我们要讨论一下极限存在的环境问题。它是数学分析的另一个基础：实数系和它的完备性。所谓完备性，实质上就是对极限运算的“封闭性”。正因为实数系有完备性（或连续统），所以在实数系中讨论极限问题时才没有后顾之忧。 定理1.1 Contor闭区间套定理，定理1.2 （Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性）。定理1. 3 (完备性定理) 数列收敛的充要条件是它为基本数列。20m第 2 页 共 页讲稿部分教学过程时间分配定理1.4 （单调收敛定理） 单调有界数列必收敛。定理1.5 （确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集必有下确界。定理 1.6 （HeineBorel有限覆盖定理）三、概念辨析与问题证明1、 区间套与有限覆盖定理的应用区间套定理通常用于将函数在某一闭区间上成立的性质归结为在某点邻域的性质，体现了整体收缩为局部的特点。他所证明的结论涉及到某一点的问题，例如，闭区间上连续函数的零点存在性问题，有界数列存在收敛子列问题等。而有限覆盖定理得作用与区间套定理相反，它是把函数在每点某邻域的性质拓展为函数在闭区间上所共有的性质。例如函数在闭区间上逐点连续推出函数在闭区间上一致连续。 区间套与有限覆盖定理是同一事物的两个方面，可以相互转化，从反证法的观点来看，局部点的反面变成了整体，反之亦然。若函数 在上有定义恒取正值， = 则在a, b 上必有正的下界。 2 聚点与聚点定理 是的聚点， 聚点是对数集而言，极限是对数列而言。聚点不一定是极限点，极限点也不一定是聚点。当收敛数列有无穷项相异时，则极限点比为聚点。 ，不是的聚点，但数列有极限。 有聚点但不是没有极限点20m第 3 页 共 页讲稿部分教学过程时间分配聚点的等价定义：是的聚点，以下三个定义等价：I 含有的无穷多个点II 含有内至少一个点III 使得 3确界原理应用举例设函数 在上单调递增，且 证明 使得： 由， E非空有上界，必有上确界 欲证 单增 是的一个上界，所以 （1）又单增，得到 即 （2）由（1）（2）知道 3. 致密性定理应用举例设函数， 且有唯一最值点， 若 且 证明： 为有界数列，有收敛的子列记作20m第 4 页 共 页讲稿部分教学过程时间分配并记 显然 再由 这与为的唯一最值点矛盾。4多种方法证明设函数 在上只有第一类间断点（可以有无穷多个），证明 在上有界1：（致密性定理）反证，若在上无界，存在，可找出，有界，必有收敛的子列 时在上无界。小结：掌握函数的各种性质，理解初等函数的概念及复合运算。 20m第 5页 共 页讲稿部分教学过程时间分配作业题1 , 求 2 试证 不是周期函数3 证明 每一点都有有限值，但每一点的邻域内函数无界。 4 证明是满足不等式 一切正有理数的下确界。 5 已知在每一点极限存在，证明在上有界6设函数 且有界，=在至多有有限实根，证明存在35m第 6 页 共 页数学分析选讲教案2授课时间2005 年9月14日第3周星期三 第二 大节授课地点6403实到人数117授课题目数列极限，实数理论授课专业 班级信息与计算科学教学目的与教学要求1 掌握数列的概念、性质和运算的方法。2掌握数列收敛的判别方法，并会熟练运用，证明有关问题,.主要内容1、数列极限概念、 性质，唯一性、有界性、包号性、保序性、迫敛性。（Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性），柯西基本列。2、 收敛数列判别 单调收敛定理、 单调有界数列必收敛。海因定理。Stolz 定理，压缩影响原理3、 判别法应用及运算技巧重点与难点重点：各种判别法。难点：运算技巧教学方法手段（教具）讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合参考资料数学分析，高等数学，2005年数学研究生考题 2006年高等数学考试测试题课后作业与思考题作业1.2.3.4.5.6思考题：各种判别法相互关系。教学后记讲稿部分教学过程时间分配第二讲 数列的极限 数学分析的最根本的概念是极限。数学分析所有的概念都基于极限。如数列极限，函数极限，连续，导数，积分等的定义都是某种类型的极限。 （一）基本概念和定理1 性质 唯一性，有界性，保号性，保序性迫敛性2 四则运算3 几个公式 4常用收敛判别方法（1）Cauchy Principle, （2）单调有界定理，（3）两面夹定理，（4）Stolz定理。 （5）压缩映像原理，（6）定积分法 5 三个不等式 （1）Bernulli Inequality (2) Schwarz Inequality (3)AG Inequality 20m第 1页 共 页讲稿部分不教学过程时间分配（二）应用举例 用Cauchy Principle证明调和级数发散。用单调有界定理证明证明单调递减下确界为零 设为两正实数， 证明 收敛，并有相同的极限。 20m第 2页 共 页讲稿部分教学过程时间分配 （三） 压缩映像原理1压缩数列 2压缩函数 3 有界变差数列20m第 3页 共 页讲稿部分教学过程时间分配 有界变差数列，压缩数列均收敛 先证有界变差数列收敛 单调地递增有上界 故收敛 收敛再证压缩数列收敛 +2压缩函数 压缩函数列应用 设 证明 20m第 4页 共 页讲稿部分教学过程时间分配此题证明有理数逼近无理数。 为压缩数列 (四)Stolz 定理1 如果 单调递增趋于正无穷， 2应用举例 1 （算术平均收敛公式）设 证明 2 3 （五）运用定积分求极限 1 求 （）20m第 5页 共 页讲稿部分教学过程时间分配 2 3 （六）运用级数收的必要条件证明极限为零1 证明 2 （七）运用海因定理求极限 1 令 20m第 6页 共 页讲稿部分教学过程时间分配小结： 本次课主要掌握数列极限的各种收敛定理，判别方法，以及求极限的各种技巧，要多做练习，达到熟能生巧，融会贯通。作业21设 求2 证明 3 若 证明 4 求 5求6 已知 求 20m第 7页 共 页