计算固体力学第2章一维Lagrangian和Eulerian有限元

TSINGHUA UNIVERSITY 计 算 固 体 力 学第 2章 Lagrangian和 Eulerian有 限 元 TSINGHUA UNIVERSITY 第 2章 一 维 Lagrangian和 Eulerian有 限 元 1 引 言2 完 全 的 Lagrangian格 式 的 控 制 方 程 , 弱 形 式3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵4 更 新 的 Lagrangian格 式 的 控 制 方 程 , 弱 形 式 ， 单 元 方 程5 求 解 方 法6 Eulerian格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 , 有 限 元 方 程 TSINGHUA UNIVERSITY 1 引 言 TSINGHUA UNIVERSITY 1 引 言 非 线 性 连 续 体 一 维 模 型 （ 杆 ） 的 有 限 元 方 程在 固 体 力 学 中 ， Lagrangian网 格 是 最 普 遍 应 用 的 ， 其 吸 引 力 在于 它 们 能 够 很 容 易 地 处 理 复 杂 的 边 界 条 件 ， 并 且 能 够 跟 踪材 料 点 ， 因 此 能 够 精 确 地 描 述 依 赖 于 历 史 的 材 料 。在 Lagrangian有 限 元 的 发 展 中 ， 一 般 采 用 两 种 方 法 ：1. 以 Lagrangian度 量 的 形 式 表 述 应 力 和 应 变 的 公 式 ， 导 数 和积 分 运 算 采 用 相 应 的 Lagrangian（ 材 料 ） 坐 标 X， 称 为 完 全的 Lagrangian格 式 （ TL） 。2. 以 Eulerian度 量 的 形 式 表 述 应 力 和 应 变 的 公 式 ， 导 数 和 积分 运 算 采 用 相 应 的 Eulerian（ 空 间 ） 坐 标 x， 称 为 更 新 的Lagrangian格 式 （ UL） 。非 线 性 与 线 性 公 式 的 主 要 区 别 是 前 者 需 要 定 义 积 分 赋 值 的 坐 标系 和 确 定 选 择 应 力 和 应 变 的 度 量 。 TSINGHUA UNIVERSITY 两 种 格 式 的 主 要 区 别 在 于 ：TL ， 在 初 始 构 形 上 描 述 变 量 ，UL， 在 当 前 构 形 上 描 述 变 量 。不 同 的 应 力 和 变 形 度 量 分 别 应 用 在 这 两 种 格 式 中 。TL， 习 惯 于 采 用 一 个 应 变 的 完 全 度 量 ，UL， 常 常 采 用 应 变 的 率 度 量 。这 些 并 不 是 格 式 的 固 有 特 点 ， 在 UL中 采 用 应 变 的 完 全 度 量是 可 能 的 ， 并 且 在 TL中 可 以 采 用 应 变 的 率 度 量 。尽 管 TL和 UL表 面 看 来 有 很 大 区 别 ， 两 种 格 式 的 力 学 本 质是 相 同 的 ； 因 此 ， TL可 以 转 换 为 UL， 反 之 亦 然 。1 引 言 TSINGHUA UNIVERSITY 对 于 每 一 种 公 式 ， 将 建 立 动 量 方 程 的 弱 形 式 ， 已 知 为 虚功 原 理 （ 或 虚 功 ） 。 这 种 弱 形 式 是 通 过 对 变 分 项 与 动 量 方 程的 乘 积 进 行 积 分 来 建 立 。 在 TL格 式 中 ， 积 分 在 所 有 材 料 坐 标上 进 行 ； 在 Eulerian和 UL格 式 中 ， 积 分 在 空 间 坐 标 上 进 行 。也 将 说 明 如 何 处 理 力 边 界 条 件 ， 因 此 近 似 （ 试 ） 解 不 需 要 满足 力 边 界 条 件 。 这 个 过 程 与 在 线 性 有 限 元 分 析 中 的 过 程 是 一致 的 ， 在 非 线 性 公 式 中 的 主 要 区 别 是 需 要 定 义 积 分 赋 值 的 坐标 系 和 确 定 选 择 应 力 和 应 变 的 度 量 。 1 引 言 推 导 有 限 元 近 似 计 算 的 离 散 方 程 。 对 于 考 虑 加 速 度 （ 动力 学 ） 或 那 些 包 含 率 相 关 材 料 的 问 题 ， 推 导 离 散 有 限 元 方 程为 普 通 微 分 方 程 （ ODEs） 。 这 个 空 间 的 离 散 过 程 称 为 半 离 散化 ， 因 为 有 限 元 仅 将 空 间 微 分 运 算 转 化 为 离 散 形 式 ， 而 没 有对 时 间 导 数 进 行 离 散 。 对 于 静 力 学 与 率 无 关 材 料 问 题 ， 离 散方 程 独 立 于 时 间 ， 有 限 元 离 散 将 导 致 一 组 非 线 性 代 数 方 程 。 TSINGHUA UNIVERSITY 2 完 全 的 Lagrangian格 式 TSINGHUA UNIVERSITY 2.2 TL的 控 制 方 程 初 始 构 形参 考 构 形当 前 构 形变 形 构 形),( tX2 完 全 的 Lagrangian格 式 TSINGHUA UNIVERSITY 物 体 的 运 动 由 Lagrangian坐 标 和 时 间 的 函 数 描 述),( tXx ba XXX , 是 在 初 始 域 与 当前 域 之 间 的 映 射 )0,(XX 当 材 料 坐 标 在 初 始 位 置 2 完 全 的 Lagrangian格 式 ),( tXXtXtXu ),(),( Xxu 位 移 差 或 者 XxXF 变 形 梯 度 偏 微 分 的 意 义 ？ TSINGHUA UNIVERSITY 2 完 全 的 Lagrangian格 式00 AFAAAXxJ 定 义 Jacobian： 作 为 变 形 物 体 的 无 限 小 体 积 xA相 对 于 变 形 前 物 体 微 段 体 积 XA 0 的 比 值 1),(1),( tXFXxXutX应 变 的 度 量 在 变 形 前 构 形 中 上 式 为 零 ， 它 等 效 于 工 程 应 变 应 力 的 度 量 ATCauchy 应 力 0ATP 名 义 应 力 在 多 维 上 没 有 工 程 应 力 的 定 义 。 工 程 应 力 物 理 应 力 初 始 值 ， J0 1 TSINGHUA UNIVERSITY 2 完 全 的 Lagrangian格 式推 导 方 程 应 用 下 面 方 程 推 导 非 线 性 杆 ： 1. 质 量 守 恒 2. 动 量 守 恒 3. 能 量 守 恒 4. 变 形 度 量 ， 也 常 称 为 应 变 -位 移 方 程 5. 本 构 方 程 ， 描 述 材 料 应 力 与 变 形 度 量 的 关 系 另 外 ， 要 求 变 形 保 持 连 续 性 ， 称 为 协 调 性 要 求 。 TSINGHUA UNIVERSITY 质 量 守 恒 2 完 全 的 Lagrangian格 式00JJ 对 于 Lagrangian格 式 ， 质 量 守 恒 方 程 为 对 于 一 维 杆动 量 守 恒 由 名 义 应 力 P 和 Lagrangian坐 标 给 出 (单 位 长 度 的 力 ) 00AFA 00 AFAAAXxJ 10 JuAbAPA X 00000 ),( X tXPtXP X ),(),(如 果 初 始 横 截 面 面 积 在 空 间 保 持 常 数 ， 则 动 量 方 程 成 为 ubP X 00),( 应 力 在 坐 标 方 向 的 分 量 b 单 位 质 量 的 力 体 力 TSINGHUA UNIVERSITY 平 衡 方 程 2 完 全 的 Lagrangian格 式平 衡 意 味 着 物 体 处 于 静 止 或 者 以 匀 速 运 动 能 量 守 恒 PFw int0内 部 功 率 由 变 形 率 的 梯 度 F 和 名 义 应 力 P 的 乘 积 给 出 本 构 方 程 ).,),(),(),( _ ttetctXFtXFStXP PF ).,),(),(),(),( _ ttetctXPtxFtXFStXP PFt 不 计 惯 性 力 ， 则 动 量 方 程 成 为 平 衡 方 程 0),( 000 bAPA X etc. 表 示 影 响 应 力 的 其 他 变 量 ， 如 温 度 ， 夹 杂 等 。 PFS 是 变 形 历 史 的 函 数 。 完 全 形 式 率 形 式 TSINGHUA UNIVERSITY 2 完 全 的 Lagrangian格 式本 构 方 程 的 例 子 1) 线 弹 性 材 料 1),(),(),( tXFEtXEtXP PFPF完 全 形 式 率 形 式 ),(),(),( tXFEtXEtXP PFPF 2) 线 性 粘 弹 性 材 料 ),(),(),( tXtXEtXP PF ).,),(),(),( _ ttetctXFtXFStXP PF ).,),(),(),(),( _ ttetctXPtxFtXFStXP PFt etc. 表 示 影 响 应 力 的 其 他 变 量 ， 如 温 度 ， 夹 杂 等 。 PFS 是 变 形 历 史 的 函 数 。 完 全 形 式 率 形 式 TSINGHUA UNIVERSITY 2 完 全 的 Lagrangian格 式边 界 条 件 上在 uuu _ 位 移 边 界 上在 txtPn 00 力 边 界 n0 单 位 法 线 （ , ） )( )(),(),()(),( bbbba XA tTtXPtXPXntXu 000 和一 端 固 定 一 端 自 由 杆 tutu 0边 界 条 件 满 足 初 始 条 件 ba XXXXuXu ,)()0,( 0 当 动 量 方 程 是 关 于 X 二 阶 的 （ 偏 微 分 方 程 ） 。 因 此 在 每一 端 ， 必 须 描 述 u 或 者 Xu, 作 为 边 界 条 件 。 ba XXXXvXu ,)()0,( 0 当 TSINGHUA UNIVERSITY 2 完 全 的 Lagrangian格 式内 部 连 续 条 件 00 PA 0 )()()( XfXfXf跳 跃 条 件 函 数 的 连 续 性 如 果 函 数 的 第 n 阶 导 数 是 连 续 函 数 ， 该 函 数 为 nC 连 续1C 函 数 是 连 续 可 导 的 （ 它 的 一 阶 导 数 存 在 并 且 处 处 连 续 ） 0C 在 函 数 中 ， 导 数 只 是 分 段 可 导 ， 一 维 函 数 不 连 续 发 生 在 点 上 ，二 维 函 数 不 连 续 发 生 在 线 段 上 ， 三 维 函 数 不 连 续 发 生 在 面 上 。 1C 函 数 本 身 不 连 续 ， xi是 不 连 续 点 。 i iba x xfafbfdxxf )()()()(, )()()(, afbfdxxfba x 动 量 平 衡 要 求 TSINGHUA UNIVERSITY （ functional, function of function) TSINGHUA UNIVERSITY 自 然 变 分 原 理 是 对 物 理 问 题 的 微 分 方 程 和 边 界条 件 建 立 对 应 的 泛 函 ， 使 泛 函 取 驻 值 得 到 问 题 的 解答 ， 但 是 其 未 知 场 函 数 需 要 满 足 一 定 的 附 加 条 件 。 广 义 变 分 原 理 （ 或 称 约 束 变 分 方 程 ） 不 需 要 事先 满 足 附 加 条 件 ， 采 用 Lagrange乘 子 法 和 罚 函 数 法将 附 加 条 件 引 入 泛 函 ， 重 新 构 造 一 个 修 正 泛 函 ， 将问 题 转 化 为 求 修 正 泛 函 的 驻 值 。 称 为 无 附 加 条 件 的变 分 原 理 。 对 于 罚 函 数 方 法 ， 将 罚 参 数 取 正 值 ， 对 修 正 泛函 得 到 的 近 似 解 只 是 近 似 地 满 足 附 加 条 件 ， 罚 参 数值 越 大 ， 附 加 条 件 的 满 足 程 度 就 越 好 。 而 在 实 际 计算 中 ， 罚 函 数 只 能 取 有 限 值 ， 所 以 利 用 罚 函 数 求 解只 能 得 到 近 似 解 。2 完 全 的 Lagrangian格 式 TSINGHUA UNIVERSITY 有 限 元 方 法 不 能 直 接 离 散 动 量 方 程 。 为 了 离 散 这个 方 程 ， 需 要 一 种 弱 形 式 ， 称 为 变 分 形 式 ， 即 虚 功 原理 或 者 虚 功 率 ， 通 过 对 变 分 项 与 动 量 方 程 的 乘 积 进 行积 分 来 建 立 的 。 虚 功 原 理 或 者 弱 形 式 是 等 价 于 动 量 方 程 和 力 边 界条 件 的 。 后 者 称 为 经 典 强 形 式 。2 完 全 的 Lagrangian格 式2.3 TL的 弱 形 式强 形 式 到 弱 形 式弱 形 式 到 强 形 式 TSINGHUA UNIVERSITY 对 于 动 量 方 程 和 力 边 界 条 件 , 现 在 建 立 弱 形 式 ， 要 求 ：),( tXu满 足 所 有 位 移 边 界 条 件 并 足 够 平 滑 ， 因 此 确 切 定 义 了 动 量 方程 中 的 所 有 导 数 。 )(Xu也 假 设 足 够 光 滑 ， 这 样 确 切 定 义 了 所 有 的 后 续 步 骤 ， 并 在 指 定的 位 移 边 界 条 件 上 为 零 。 这 是 标 准 和 经 典 的 建 立 弱 形 式 的 方 法 。 尽 管 它 所 导 致 的 连续 性 要 求 比 在 有 限 元 近 似 中 更 加 严 格 ， 在 我 们 看 到 以 较 少 的 强制 连 续 性 要 求 所 得 到 的 结 论 之 前 ， 我 们 仍 继 续 采 用 这 种 方 法 。2 完 全 的 Lagrangian格 式试 函 数变 分 项强 形 式 到 弱 形 式 TSINGHUA UNIVERSITY 000000 baXX X dXuAbAPAu ,取 动 量 方 程 与 变 分 项 的 乘 积 并 在 全 域 内 积 分 得 到 弱 形 式 ， 给 出 2 完 全 的 Lagrangian格 式强 形 式 到 弱 形 式名 义 应 力 P 是 一 个 试 位 移 函 数 。 展 开 第 一 项 乘 积 的 导 数 ， 整 理 得 到 baba XX XXXX X dXPAuPuAdXPAu 000 ,分 布 积 分 bat baba XX Xx XX XXX X dXPAutuA dXPAuPnuAdXPAu 000 0000 , ,在 指 定 位 移 边 界 处 变 分 项 u 消 失 ， 第 二 行 服 从 边 界 互 补 条 件和 力 边 界 条 件 。给 出 完 全 的 Lagrangian格 式 的 动 量 方 程 和 力 边 界 条 件 的 弱 形 式 00000000 tba xXX X tuAdXuAbAuPAu , TSINGHUA UNIVERSITY 弱 形 式 到 强 形 式2 完 全 的 Lagrangian格 式 00000000 0 uXutuAdXuAbAuPAu tba xXX X )(, baX XXXuAbAPA , 对 于000000 弱 形 式 给 出 由 虚 位 移 的 任 意 性 ， 试 证 明 得 到 强 形 式 (参 考 4.3.2节 )：上在 txtPn 000 上在 iPA 00动 量 方 程力 边 界 条 件内 部 连 续 条 件 TSINGHUA UNIVERSITY 可 以 看 出 ， 如 果 允 许 较 低 平 滑 的 变 分 项 和 试 函 数 ， 在 强 形 式中 将 附 加 一 个 方 程 内 部 连 续 条 件 。 如 果 选 取 的 变 分 项 和 试 函数 满 足 经 典 的 平 滑 条 件 ， 在 强 形 式 中 则 没 有 内 部 连 续 条 件 。 对 于平 滑 的 变 分 项 和 试 函 数 ， 弱 形 式 仅 采 用 动 量 方 程 和 力 边 界 条 件 。 较 低 平 滑 性 要 求 的 变 分 项 和 试 函 数 仅 是 连 续 ， 需 要 处0C理 在 横 截 面 上 和 材 料 参 数 中 的 不 连 续 点 。 在 材 料 界 面 ， 经 典 强 形式 是 不 适 用 的 ， 因 为 它 假 设 任 何 点 的 二 阶 导 数 是 唯 一 定 义 的 。 然而 ， 在 材 料 界 面 处 ， 应 变 ， 即 位 移 场 的 导 数 是 不 连 续 的 。 采 用 粗糙 的 变 分 项 和 试 函 数 ， 在 这 些 界 面 上 自 然 出 现 附 加 条 件 内 部 连续 条 件 。 在 TL弱 形 式 中 ， 所 有 的 积 分 都 是 在 材 料 域 上 进 行 ， 比 如 参 考构 形 。 由 于 求 导 是 对 材 料 坐 标 X进 行 ， 所 以 在 材 料 域 上 应 用 分 部积 分 是 最 方 便 的 。2 完 全 的 Lagrangian格 式 TSINGHUA UNIVERSITY 2 完 全 的 Lagrangian格 式虚 功 项 的 物 理 名 称 tba xXXext tuAdXbAuW 0000外 力 虚 功 baba XXXX X dXPAFdXPAuW 00int ,内 力 虚 功 b aXXkin dXuAuW 00惯 性 虚 功虚 功 原 理 0int 0, uuWWWuuW kinext 方 程 是 动 量 方 程 、 力 边 界 条 件 和 应 力 跳 跃 条 件 的 弱 形 式 。 TSINGHUA UNIVERSITY 弱 形 式 中 包 含 强 形 式 ， 并 且 强 形 式 中 包 含 弱 形 式 ， 所 以 弱 和 强 形式 是 等 价 的 。 对 于 动 量 方 程 ， 强 和 弱 形 式 的 这 种 等 价 称 为 虚 功 原 理 。2 完 全 的 Lagrangian格 式 TSINGHUA UNIVERSITY 以 弱 形 式 作 为 虚 功 表 达 式 的 观 点 提 供 了 统 一 性 ， 对 于 在 不 同坐 标 系 上 和 不 同 类 型 问 题 中 建 立 弱 形 式 是 很 有 用 途 的 ： 为 了 获 得弱 形 式 ， 只 需 要 写 出 虚 能 量 方 程 。 因 此 ， 可 以 避 免 前 面 所 做 的 由变 分 项 与 方 程 相 乘 并 进 行 各 种 处 理 的 过 程 。 从 数 学 观 点 来 看 ， 没 有 必 要 考 虑 变 分 函 数 作 为 虚 位 移 ： 它 们是 简 单 的 变 分 函 数 ， 满 足 连 续 条 件 和 在 位 移 边 界 上 为 零 。 对 于 有限 元 方 程 的 离 散 ， 方 程 与 变 分 函 数 的 乘 积 没 有 物 理 意 义 。 建 立 弱 形 式 中 的 关 键 步 骤 是 分 部 积 分 ， 从 而 消 除 了 关 于 应 力P 的 导 数 。 如 果 没 有 这 一 步 ， 力 边 界 条 件 就 不 得 不 强 加 在 试 函 数上 。 作 为 弱 形 式 ， 由 分 部 积 分 和 降 低 对 应 力 和 试 位 移 平 滑 性 的 要求 是 更 方 便 的 。2 完 全 的 Lagrangian格 式 TSINGHUA UNIVERSITY 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵 TSINGHUA UNIVERSITY 3.1 TL的 有 限 元 离 散有 限 元 近 似 通 过 对 变 分 项 和 试 函 数 应 用 有 限 元 插 值 ，由 虚 功 原 理 得 到 有 限 元 模 型 的 离 散 方 程 。 有 限 元 试 函 数 NnI II tuXNtXu 1, XNI 是 0C 连 续 插 值 函 数 ， 称 为 形 函 数 。形 函 数 满 足 条 件 ： JIJI XN )(JI 是 Kronecker delta或 单 位 矩 阵 ：1 JI 当 I=J时 ；0 JI 当 I J时 ；运 动 学 条 件 ， 试 函 数 u要 满 足 连 续 性 和 基 本 边 界 条 件 。 方 程 表 示 变 量 分离 ： 解 的 空 间 相 关 性 由 形 函 数 表 示 ， 而 时 间 相 关 性 归 属 于 节 点 变 量 。 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵 TSINGHUA UNIVERSITY 节 点 力 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵为 了 建 立 有 限 元 方 程 ， 要 为 每 一 个 虚 功 项 定 义 节 点 力 外 力 虚 功内 力 虚 功惯 性 虚 功 int1 intint fu TnI IIN fuW extTnI extIIext N fuW fu 1 kinTnI kinIIkin N fuW fu 1 NN nTnT fffuuu 2121 fu 这 些 名 称 给 节 点 力 赋 予 了 物 理 意 义 ： 内 部 节 点 力 对 应 于 在 材料 内 部 的 应 力 ， 外 部 节 点 力 对 应 于 外 部 施 加 的 荷 载 ， 而 动 态 或 惯性 节 点 力 对 应 于 惯 性 。 节 点 力 与 节 点 位 移 是 功 共 轭 的 ， 一 个 节 点位 移 的 增 量 与 节 点 力 的 标 量 积 给 出 功 的 增 量 ， 一 旦 违 背 ， 质 量 和刚 度 矩 阵 的 对 称 性 将 被 破 坏 。 TSINGHUA UNIVERSITY 节 点 力 baXX XII dXPANf 0,int内 部 节 点 力是 由 固 体 对 变 形 的 阻 力 而 引 起 的 节 点 力 ； tba xIXX IextI tANdXbANf 0000外 部 节 点 力 Maf kinJ JJIkinI aMf 或惯 性 节 点 力 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵每 一 个 虚 功 项 节 点 力 表 达 式代 入 虚 功 原 理 0int 0, uuWWWuuW kinext 给 出 0 1 NnI kinIextIII fffu int NkinIextII nIfff ,int 2 0 由 于 的 任 意 性 ， 在 所 有 节 点 除 了 位 移 边 界 外 ， 即 节 点 1， 它 服 从 Iu TSINGHUA UNIVERSITY 运 动 方 程 半 离 散 方 程 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵NextIInJ JJI nffdtudMN ,int 2I 01 22 在 模 型 中 ， 节 点 1的 加 速 度 并 不 是 未 知 的 ， 它 是 一 个 给 定位 移 的 节 点 。 可 以 通 过 给 定 节 点 位 移 对 时 间 求 二 次 导 数 ， 得到 给 定 位 移 节 点 的 加 速 度 。 这 个 给 定 的 位 移 必 须 足 够 光 滑 ，可 求 导 二 次 ； 这 要 求 它 是 时 间 的 C1函 数 (细 长 梁 模 型 ） 。 当 质 量 矩 阵 不 是 对 角 阵 时 ， 给 定 位 移 对 没 有 在 边 界 的 节 点也 作 出 贡 献 。 对 于 对 角 质 量 阵 的 情 况 ， 不 出 现 下 式 右 端 项 。 NIextIInJ JJI ndtudMffdtudMN ,int 2I 21212 22 MIJ J处 位 移 对 I处 惯 性 力 贡 献 的 质 量 。 在 矩 阵 形 式 中 ， 不 能 简 单 地 表 示 给 定 位 移 边 界 条 件 ， 所以 必 须 考 虑 指 标 形 式 (上 式 )以 补 充 。 TSINGHUA UNIVERSITY intint , fffMafffMa extext 其 中或运 动 方 程 半 离 散 方 程 (矩 阵 形 式 ) 运 动 方 程 在 空 间 是 离 散 的 ， 在 时 间 上 是 连 续 的 ， 有 时简 称 离 散 方 程 。 在 有 限 元 离 散 中 ， 质 量 矩 阵 常 常 为 非 对 角阵 (一 致 质 量 矩 阵 )， 运 动 方 程 区 别 于 牛 顿 第 二 定 律 ， 当MIJ0时 ， 节 点 I处 的 力 可 以 在 节 点 J处 产 生 加 速 度 。 而 集 中质 量 矩 阵 的 运 动 方 程 等 价 于 牛 顿 第 二 定 律 。3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵intIextII fff 为 在 质 点 I上 的 净 力 。 由 牛 顿 第 三 定 律 ， 作 用 在 节 点 上 的 力大 小 相 等 ， 而 方 向 相 反 ， 因 此 内 部 节 点 力 需 要 一 个 负 号 。 TSINGHUA UNIVERSITY 单 元 和 总 体 矩 阵 在 有 限 元 程 序 中 ， 通 常 以 一 个 单 元 水 平 计 算节 点 力 和 质 量 矩 阵 ， 将 单 元 节 点 力 结 合 入 总 体 矩阵 ， 称 为 离 散 或 矢 量 组 合 。 组 合 单 元 的 质 量 矩 阵 和 其 它 方 阵 到 总 体 矩 阵 ，称 为 矩 阵 装 配 。 通 过 计 算 可 以 从 总 体 矩 阵 中 提 取 单 元 节 点 位移 ， 称 为 集 合 。 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵 TSINGHUA UNIVERSITY 2节 点 单 元 一 维 网 格 的 集 合 和 离 散 运 算 的 描 述 ， 两 组 单 元节 点 位 移 的 集 合 ： 位 移 根 据 单 元 节 点 编 号 集 合 ； 计 算 节 点 力的 离 散 ： 节 点 力 根 据 节 点 编 号 返 回 总 体 力 矩 阵 。3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵 TSINGHUA UNIVERSITY 2节 点 单 元 一 维 网 格 的 单 元 形 函 数 N e(X)和 总 体 形 函 数 N(X) 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵单 元 节 点 位 移 与 总 体 节 点 位 移 的 关 系 为 uLuuLu eeee Le为 连 接 矩 阵 。 类 似 的 获 得 单 元 节 点 力 。 应 用 连 接 矩 阵 还 可 以 建 立 单 元 形 函 数 和 总 体 形 函 数 之 间 的关 系 ， 总 体 位 移 场 可 以 由 所 有 单 元 的 位 移 求 和 得 到 ： e Ne ne mI nJ Je JIeIne ee uLXNXXu 1 1 11 uLN ee ne mI e JIeIJne ee LXNXNXX 11 或LNN对 单 元 形 函 数 求 和 得 到 总 体 形 函 数 TSINGHUA UNIVERSITY 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵 TSINGHUA UNIVERSITY 例 题 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵 TSINGHUA UNIVERSITY 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵 TSINGHUA UNIVERSITY 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵 TSINGHUA UNIVERSITY 3 有 限 元 离 散 ， 单 元 和 总 体 矩 阵 TSINGHUA UNIVERSITY 4 更 新 的 Lagrangian格 式 TSINGHUA UNIVERSITY 4.1 UL的 控 制 方 程 初 始 构 形参 考 构 形当 前 构 形变 形 构 形),( tXx 4 更 新 的 Lagrangian格 式 的 控 制 方 程 , 弱 形 式 ， 单 元 方 程 ),(1 txX TSINGHUA UNIVERSITY 4 更 新 的 Lagrangian格 式 的 控 制 方 程 , 弱 形 式 ， 单 元 方 程 UL格 式 是 TL格 式 的 一 个 简 单 转 换 。 在 数 值 上 ， 离 散方 程 是 相 同 的 ， 而 实 际 在 同 一 程 序 中 ， 对 某 些 节 点 力 我们 可 以 应 用 TL格 式 ， 而 对 其 它 的 节 点 力 应 用 UL格 式 。 为 什 么 采 用 两 种 方 法 ， 而 它 们 基 本 上 是 一 致 的 。4.1 UL的 控 制 方 程 主 要 原 因 是 它 们 都 在 被 广 泛 地 应 用 ， 因 此 ， 为 了 理解 程 序 和 文 献 ， 有 必 要 熟 悉 两 种 格 式 。 TSINGHUA UNIVERSITY xvDx 应 变 的 度 量 由 变 形 率 给 出 应 力 的 度 量 txX ,Cauchy 应 力 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程),(),(1 txXtxX 4.1 UL的 控 制 方 程以 Eulerian坐 标 表 述 相 关 变 量 ， 空 间 坐 标 tXFdttXDt x ,ln,0 速 度 应 变 UL格 式 的 两 个 相 关 变 量 速 度 和 Cauchy应 力 TSINGHUA UNIVERSITY 00JJ 质 量 守 恒 00 AFA 对 于 杆 动 量 守 恒 vAAbA x ,4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程能 量 守 恒 sqDw xxx ,int0 热 流 量 xq 热 源本 构 方 程 .),),(),(),( _ etctttXtXDStX xFtt s变 形 度 量 xx vD , 4.1 UL的 控 制 方 程 TSINGHUA UNIVERSITY 边 界 条 件 上在 vtXvtXv , 速 度 边 界 等 价 位 移 边 界 上在 tx tXttXn , 力 边 界 n 单 位 法 线 （ , ） )( )(),(),()(0),( bbbba XA tTtXtXXntXv 和一 端 固 定 一 端 自 由 杆 tvtv 0边 界 条 件 满 足 初 始 条 件 )()0,( 0 XX )()0,( 0 XvXv 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程4.1 UL的 控 制 方 程 TSINGHUA UNIVERSITY 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程4.2 UL的 弱 形 式 0, baxx x dxDtDvAAbAv由 动 量 方 程 乘 以 变 分 函 数 0, tba xxx x tvAdxDtDvAAbvAv 弱 形 式 虚 功 率 原 理 强 形 式 虚 功 率 原 理 的 逆 过 程 ： 动 量 方 程 ， 力 边 界 条 件 内 部 连 续 条 件 积 分 在 当 前 域 上 完 成 TSINGHUA UNIVERSITY 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程4.2 UL的 弱 形 式内 部 虚 功 率 dDdxADdxAvp xxx xxx x baba ,int外 力 虚 功 率 ttba xxxxext tvAbdvtvAbAdxvp 惯 性 力 虚 功 率 dvvAdxvvp baxxkin 0int kinext pppp弱 形 式 TSINGHUA UNIVERSITY 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程4.3 UL的 单 元 方 程 在 一 个 单 元 的 水 平 上 建 立 方 程 ， 通 过 装 配 获 得 总 体 方 程 。 相 关变 量 为 速 度 和 应 力 。 建 立 本 构 方 程 、 质 量 守 恒 方 程 ， 动 量 方 程 。 由 于 质 量 守 恒 是 一个 代 数 方 程 ， 可 以 容 易 地 计 算 任 意 一 点 的 密 度 。 建 立 半 离 散 方 程 。单 元 的 速 度 场 为 ttxttXtXv vNvN , 1 tXtXtXv aNvN ,单 元 的 加 速 度 场 为 将 形 函 数 表 示 成 为 材 料 坐 标 的 函 数 是 非 常 关 键 的 ， 它 与 时 间无 关 。 如 果 将 形 函 数 由 Eulerian坐 标 表 示 为 ttXtxtxv vNvN , 形 函 数 的 材 料 时 间 导 数 不 为 零 （ 注 意 与 TL区 别 ） ， 并 且 不 能 将 加速 度 表 示 为 同 样 形 函 数 与 节 点 加 速 度 乘 积 的 形 式 。 TSINGHUA UNIVERSITY 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程4.3 UL的 单 元 方 程 tx1txtx 21 ,Eulerian坐 标 与 单 元 坐 标 之 间 的 映 射 为 TSINGHUA UNIVERSITY ttXtxtu eee uNXxN ,位 移 可 以 由 相 同 的 形 函 数 进 行 插 值 eee tvttattv VNuNvN , 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程4.3 UL的 单 元 方 程 形 函 数 与 时 间 无 关 ， 通 过 位 移 的 导 数 得 到 速 度 和 加 速 度 ，变 分 函 数 由 同 一 形 函 数 给 出 ttxXtxvtxD exxx vN , 变 形 率 可 以 表 示 为 形 函 数 的 形 式 为 TSINGHUA UNIVERSITY m1I eIIexx vBvD Bv,4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程4.3 UL的 单 元 方 程通 过 一 个 B矩 阵 ， 将 变 形 率 表 示 为 节 点 速 度 的 形 式变 形 率 可 以 表 示 为 形 函 数 的 形 式 为 ttxXtxvtxD exxx vN , xIIx NB ,NB 或形 函 数 的 空 间 导 数 由 链 规 则 得 到 1,N,N,N,N xx xx 因 此 1ee1x xttxtD , NBvBvN TSINGHUA UNIVERSITY 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程4.3 UL的 单 元 方 程 与 TL格 式 相 同 ， 在 UL格 式 中 ， 质 量 矩 阵 不 随 时 间变 化 ， 在 程 序 中 仅 计 算 一 次 即 可 。 TSINGHUA UNIVERSITY 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程例 2.5 3节 点 二 次 位 移 单 元以 单 元 坐 标 的 形 式 写 出 位 移 和 速 度 场 ttxttvttu eee xNvNuN , 222 21121N TSINGHUA UNIVERSITY 以 单 元 坐 标 的 形 式 写 出 位 移 和 速 度 场 ttxttvttu eee xNvNuN ,4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程例 2.5 3节 点 二 次 位 移 单 元 222 21121N其 中 : 321321321 , xxxvvvuuu TeTeTe xvuB矩 阵 给 出 为 12412,21, 1 xNNB xx 321 21221, xxxx e xN变 形 率 给 出 为 eeexx xD vBvvN 12412,21, TSINGHUA UNIVERSITY 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程例 2.5 3节 点 二 次 位 移 单 元如 果 是 常 数 ， 单 元 中 的 变 形 率 是 线 性 地 变 化 ， 这 是 节 点 2位 于 其 它两 节 点 中 间 时 的 一 种 情 况 。 然 而 ， 当 由 于 单 元 的 畸 变 ， 节 点 2偏 离 中 间位 置 时 ， 变 成 为 的 线 性 函 数 ， 而 变 形 率 变 成 为 一 个 有 理 函 数 。而 当 节 点 2从 中 间 移 开 时 ， 有 可 能 成 为 负 数 ， 或 为 零 ， 在 这 种 情 况下 ， 当 前 空 间 坐 标 和 单 元 坐 标 的 映 射 将 不 再 一 一 对 应 。 ,x,x ,x eeexx xD vBvvN 12412,21, 变 形 率 TSINGHUA UNIVERSITY 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程例 2.5 3节 点 二 次 位 移 单 元内 部 节 点 力 1111int 212 21,212 21,131 dAdAxxAdxxx Te Bf dxdx ,其 中 这 个 表 达 式 与 TL格 式 的 内 力 表 达 式 是 相 同 的 。 TSINGHUA UNIVERSITY 4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程例 2.5 3节 点 二 次 位 移 单 元 - 检 查 网 格 畸 变 132 341 xxx 当 单 元 的 节 点 2是 位 于 离 节 点 1的 1/4单 元 长 度 时 1 0121, 13 xxx在 有 0, 100 XxAAxAAJ XJacobian 在 该 点 处 的 当 前 密 度 为 无 穷 大 。 若 节 点 2移 动 并 接 近 节 点 1，在 部 分 单 元 上 Jacobian成 为 负 数 ， 这 意 味 着 是 负 密 度 值 ,违 背 了 质量 守 恒 。 这 些 情 况 经 常 隐 藏 在 数 值 积 分 中 ， 因 为 在 高 斯 积 分 点 ，当 Jacobian成 为 负 数 时 ,畸 变 是 非 常 严 重 的 。JJ 00 由 321 21221x,N, xxxx e TSINGHUA UNIVERSITY 不 能 满 足 一 一 对 应 条 件 也 可 能 导 致 变 形 率 出 现 奇 异 。当 分 母 为 零 或 成 为 负 数 ， 我 们 难 以 得 到 势 能 。 evBxD,x例 2.5 3节 点 二 次 位 移 单 元 - 检 查 网 格 畸 变4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程 在 节 点 1处 变 形 率 为 无 穷 大 。 在 断 裂 力 学 中 ， 利 用 这 种 二 次位 移 单 元 的 性 质 建 立 包 含 裂 纹 尖 端 奇 异 应 力 的 单 元 ， 称 为 四 分 之一 点 单 元 。 但 是 在 大 位 移 分 析 中 ， 这 种 行 为 会 出 现 问 题 。 在 一 维 单 元 中 ， 网 格 畸 变 的 影 响 不 像 在 多 维 问 题 中 那 么 严 重。 事 实 上 ， 应 用 变 形 梯 度 F 作 为 这 种 单 元 的 变 形 度 量 多 少 可 以 减轻 网 格 畸 变 的 影 响 。 在 3节 点 单 元 中 ， 如 果 X 2 的 初 始 位 置 位 于 中点 ， 那 么 变 形 梯 度 F 绝 不 会 成 为 奇 异 。 TSINGHUA UNIVERSITY 例 2.5 3节 点 二 次 位 移 单 元 - 检 查 网 格 畸 变4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程 TSINGHUA UNIVERSITY 例 2.5 3节 点 二 次 位 移 单 元 - 检 查 网 格 畸 变4 UL格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 单 元 方 程3节 点 1/4点 二 次 位 移 单 元 TSINGHUA UNIVERSITY 例 2.5 3节 点 二 次 位 移 单 元 - 检 查 网 格 畸 变 TSINGHUA UNIVERSITY 5 求 解 方 法 TSINGHUA UNIVERSITY 5 求 解 方 法 fffuM intext 为 了 求 解 非 线 性 问 题 ， 最 简 单 的 方 法 ， 即 时 间 显 式 积 分 。 最 广 泛应 用 的 显 式 方 法 是 中 心 差 分 方 法 ， 采 用 对 角 或 集 中 质 量 矩 阵 。 t ttttt nnnn 22212121 uuuuvu 211212121 nnnnnnn tt vfMvvvau 或速 度 加 速 度 在 时 间 间 隔 中 点 的 导 数 值 由 在 间 隔 端 点 处 函 数 值 的 差 得 到 ， 顾 名思 义 为 中 心 差 分 公 式 。 从 t 0出 发 ， 取 时 间 步 长 t TSINGHUA UNIVERSITY 5 求 解 方 法 TSINGHUA UNIVERSITY 5 求 解 方 法 对 于 位 移 的 更 新 不 需 要 代 数 方 程 的 任 何 解 答 ， 因 此 ， 在 某 种 意 义上 ， 显 式 积 分 比 静 态 线 性 应 力 分 析 更 加 简 单 ,不 需 要 矩 阵 求 逆 解 刚 度方 程 。 如 在 流 程 图 中 看 到 ， 对 于 控 制 方 程 和 时 间 积 分 公 式 ， 大 多 数 的 显式 程 序 是 直 接 向 前 赋 值 。 程 序 从 施 加 初 始 条 件 开 始 , 第 一 个 时 间 步 多少 与 其 它 时 间 步 的 不 同 在 于 它 仅 取 半 步 ， 这 使 程 序 能 正 确 地 解 释 关 于应 力 和 速 度 的 初 始 条 件 。 大 部 分 程 序 运 算 时 间 是 在 计 算 单 元 节 点 力 ， 尤 其 是 内 部 节 点 力 。节 点 力 是 逐 个 单 元 进 行 计 算 的 。 在 开 始 计 算 前 ， 从 总 体 的 列 矩 阵 中 集合 出 单 元 节 点 速 度 和 位 移 。 如 流 程 图 所 示 ， 内 部 节 点 力 的 计 算 包 括 应变 方 程 和 本 构 方 程 的 应 用 。 通 过 应 力 为 内 部 节 点 力 赋 值 。 当 完 成 了 单元 节 点 力 的 计 算 ， 根 据 它 们 的 节 点 编 号 将 其 离 散 到 总 体 列 矩 阵 。 TSINGHUA UNIVERSITY 5 求 解 方 法稳 定 性 准 则 显 式 积 分 的 缺 陷 在 于 时 间 步 长 必 须 低 于 一 个 临 界 值 ，否 则 由 于 数 值 不 稳 定 将 使 解 答 隆 起 。 对 于 采 用 对 角 质 量 的 2节点 单 元 的 临 界 时 间 步 长 为 00ctcrit 是 单 元 的 初 始 长 度 0 是 波 速 020 PFEc 稳 定 性 准 则 能 量 守 恒 (断 裂 力 学 中 为 能 量 平 衡 )增 加 时 间 步 长 ： 放 大 质 量 ， 调 整 单 元 尺 寸 。 TSINGHUA UNIVERSITY 6 Eulerian格 式 的 控 制 方 程 TSINGHUA UNIVERSITY 6 Eulerian格 式 的 控 制 方 程 ， 弱 形 式 ， 有 限 元 方 程 在 Eulerian格 式 中 ， 节 点 在 空 间 固 定 ， 相 关 变 量 为 Eulerian空 间 坐 标 x 和 时 间 t 的 函 数 ， 应 力 度 量 为 Cauchy（ 物 理 的 ） 应力 ， 变 形 度 量 为 变 形 率 ， 运 动 由 速 度 描 述 。 在 Eulerian格 式 中 ，因 为 不 能 建 立 未 变 形 、 初 始 的 构 形 ， 所 以 不 能 将 运 动 表 示 为 参 考坐 标 的 函 数 。 TSINGHUA UNIVERSITY TL格 式 比 UL格 式 需 要 更 多 的 存 储 空 间 ，以 存 储 形 函 数 及 其 导 数 值 ； 而 UL则 需 要 在 每一 个 时 间 步 重 复 搜 索 和 计 算 形 函 数 ， 也 会 影响 计 算 效 率 。 因 此 ， 在 实 际 问 题 中 应 有 所 选择 ， 例 如 对 于 大 变 形 的 瞬 态 问 题 ， 或 者 路 径无 关 材 料 ， 可 采 用 TL， 而 与 变 形 历 史 有 关 的路 径 相 关 材 料 ， 如 弹 塑 性 和 粘 弹 塑 性 材 料 ，则 可 采 用 UL。