5　一元二次方程的根与系数的关系

栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系第 二 章 一 元 二 次 方 程 初 中 数 学 （ 北 师 大 版 ）九 年 级 上 册 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系 内容推论一元二次方程的根与系数的关系(也叫韦达定理)如果方程ax 2+bx+c=0(a 0)有两个实数根为x1,x2,那么x1+x2=-, x1x2=推论1:如果方程x2+px+q=0的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-p, x1x2=q.推论2:以两个实数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0ba ca知识点 一元二次方程的根与系数的关系 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系知识拓展1.根与系数的关系的应用:(1)不解方程,求与方程的根有关的代数式的值;(2)已知方程的一根,求方程的另一根;(3)与方程的根的判别式相结合,确定待定的系数和解决一些综合题.2.常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变形:(1)+=(x 1+x2)2-2x1x2;(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(3)+= ;(4)+= ;(5)(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2;(6)|x 1-x2|= . 21x 22x11x 21x 1 21 2x xx x12xx 21xx 21 2 1 21 2( ) 2x x x xx x 21 2 1 2( ) 4x x x x 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系3.使用一元二次方程的根与系数的关系确定待定系数时,首先保证这个方程是一元二次方程,其次保证一元二次方程有实数根.例设x1、x2是一元二次方程2x2+4x=3的两根,利用根与系数的关系求下列代数式的值:(1)(x 1+1)(x2+1);(2)x2+x1;(3)(x1-x2)2.21x 22x 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系解析方程变形为一般形式为2x2+4x-3=0, a=2,b=4,c=-3, =b2-4ac=42-42(-3)=400,方程有两个不相等的实数根. x1+x2=-=-2,x1x2=-.(1)(x 1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-+(-2)+1=-.(2)x2+x1=x1x2(x1+x2)=-(-2)=3.(3)(x1-x2)2=-2x1x2+=+2x1x2+-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4 =10.点拨利用一元二次方程的根与系数的关系求关于x1、x2的代数式的值时,关键是把所给的代数式转化为含x1+x2,x1x2的形式,然后把x1+x2,x1x242 32 32 5221x 22x 3221x 22x 21x 22x 32 的值代入,即可求出所求代数式的值. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系题型一 利用根与系数的关系求方程的根或字母参数的值例1 (2015江苏南京中考)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是 ,m的值是 .解析设方程的另一个根为x1,则x 11=3,即x1=3,则-m=1+3,解得m=-4.答案3;-4点拨利用一元二次方程根与系数的关系是解决此类问题较为简单的方法.当已知常数项的值时,要根据两根之积构建方程;当已知一次项系数时,要根据两根之和构建方程. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系题型二 利用根与系数的关系求对称式的值例2已知方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为,不解方程求下列各式的值.(1)2+2;(2)3+3;(3)+;(4)(-1)(-1). 解析 ,是方程x 2+3x-1=0的两个实数根, +=-3,=-1.(1)2+2=(+)2-2=(-3)2-2(-1)=11.(2)3+3=(2+2)=(-1)11=-11.(3)+= =-11.(4)(-1)(-1)=-(+)+1=(-1)-(-3)+1=3. 2 2 111方法总结一元二次方程ax 2+bx+c=0(a 0)两根的对称式一般可转化成含x1+x2,x1x2的形式,故根与系数之间的关系是解决两根对称式求值问题的常用工具. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系易错点 忽略 0的条件而致错例已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4,求实数k的值.解析设方程的两个根为x1,x2,由根与系数的关系,得x 1+x2=k-1,x1x2=k+1. +=4,即(x1+x2)2-2x1x2=4, (k-1)2-2(k+1)=4,即k2-4k-5=0, k=5或k=-1.当k=5时,b2-4ac=-(k-1)2-4(k+1)=-80. k的值为-1.易错警示一元二次方程的根与系数的关系以一元二次方程有两个实数根为前提,此题易忽略原方程有两根的条件b 2-4ac 0,未将求出的k值 21x 22x代入判别式中检验而造成错误. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系知识点 一元二次方程的根与系数的关系1.(2017四川绵阳中考)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为()A.-8 B.8 C.16 D.-16答案 C由一元二次方程的根与系数的关系得解得m=2,n=-4,故n m=(-4)2=16,故选C. 2 1 ,22 1 ,2 mn 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系2.已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根,则+的值等于()A. B. C.- D.- 1m 1n35 53 35 53答案 D由根与系数的关系可得m+n=-=,mn=-, += =-. ba 52 ca 321m 1n m nmn 5232 53 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系3.(2016山东威海中考)已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1x2=1,则ba的值是()A. B.- C.4 D.-114 14答案 A因为x 1、x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,所以x1+x2=-a=-2,x1x2=-2b=1,解得a=2,b=-,所以ba= =,故选A.12 212 14 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系1.(2013四川泸州中考)设x1,x2是方程x2-3x-3=0的两个实数根,则+的值为()A.5 B.-5 C.1 D.-1 21xx 12xx答案 B由根与系数的关系可知x 1+x2=3,x1x2=-3, += = = -2=-2=-5.故选B. 21xx 12xx 2 22 11 2x xx x22 1 1 21 2( ) 2x x x xx x 22 11 2( )x xx x 233 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系2.设a,b是方程x2-x-2 016=0的两个实数根,则a2+2a+3b-2的值为()A.2 014 B.2 015 C.2 016 D.2 017答案 D根据题意得a+b=-=1,把x=a代入方程,可得a2-a-2 016=0, a2=a+2 016, a2+2a+3b-2=3a+2 016+3b-2=2 016+3(a+b)-2=2 016+31-2=2 019-2=2 017.故选D. 113.已知x 1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是()A.a=-3,b=1 B.a=3,b=1C.a=-,b=-1 D.a=-,b=116 32答案 D根据题意知x 1+x2=-2a,x1x2=b,所以-2a=3,b=1,解得a=-,b=1.32 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系4.以3、-2为根,且二次项系数为1的一元二次方程是 .答案 x2-x-6=0解析根据题意得两根之和为1,两根之积为-6,则所求方程为x2-x-6=0.5.设、是方程2x 2-6x+3=0的两个实数根,那么+-的值为 .答案 32解析 ,是方程2x2-6x+3=0的两个实数根, +=3,=, +-=3-=. 3232 32 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系1.方程x2-7x+5=0的两根之差为()A. B.C.- D.以上都不对29 2929答案 B =(-7) 2-415=290,原方程有两个不等的实数根.设两根为x1,x2,则x1+x2=7,x1x2=5, |x1-x2|= = = = = , x1-x2= . 21 2| |x x 21 2( )x x 21 2 1 2( ) 4x x x x 27 4 5 2929 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系2.(2017四川内江中考)设,是方程(x+1)(x-4)=-5的两实数根,则+= . 3 3答案47解析由(x+1)(x-4)=-5得x 2-3x+1=0,由根与系数的关系,得+=3,=1. += = = = =47.3 3 4 4 2 2 2 2 2( ) 2 2 2 2 2( ) 2 2 2 2 2(3 2 1) 2 11 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系3.设m,n是方程x2-x-2 012=0的两个实数根,则m2+n的值为 .答案2 013解析 m,n是方程x2-x-2 012=0的两个实数根, m+n=1,m2-m-2 012=0,即m2=m+2 012. m 2+n=m+n+2 012=1+2 012=2 013. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系4.设x1,x2是方程3x2-2x-2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:(1)(x1-4)(x2-4);(2)+;(3) .31x 42x 41x 32x1 213x x 2 113x x 解析根据题意知x 1+x2=,x1x2=-.(1)(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-4+16=.(2)+=(x2+x1)= =-.(3) =x1x2+ =-+-=-.23 2323 23 38331x 42x 41x 32x 31x 32x 323 23 16811 213x x 2 113x x 13 13 1 219x x 23 23 16 16 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系1.(2016广东广州中考)定义新运算:ab=a(1-b),若a,b是方程x2-x+m=0(m1)的两根,则bb-aa的值为()A.0 B.1 C.2 D.与m有关14答案 A a,b是方程x 2-x+m=0(m1)的两根, a+b=1,由定义的新运算可得,bb-aa=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=a2-b2-(a-b)=(a-b)(a+b-1)=(a-b)(1-1)=0. 14 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系2.(2014四川攀枝花中考)若方程x2+x-1=0的两实根为、,那么下列说法不正确的是()A.+=-1 B.=-1C.2+2=3 D.+=-11 1答案 D由一元二次方程根与系数的关系,知+=-1,=-1,因此 2+2=(+)2-2=(-1)2-2(-1)=3,显然选项A、B、C均正确,故选D. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系3.(2014山东日照中考)关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两实根x1、x2满足x1+x2-x1x2-1,则k的取值范围在数轴上表示为() 答案 D由根与系数的关系可得x 1+x2=-2,x1x2=k+1, x1+x2-x1x2-1, -2-k-1-2.方程有两实数根, b2-4ac 0,即22-41(k+1) 0,解得k 0, k的取值范围是-2k 0,故选D. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系4.(2015山东日照中考)如果m、n是两个不相等的实数,且满足m2-m=3,n2-n=3,那么代数式2n2-mn+2m+2 015= .答案2 026解析由题意可知,m,n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根,根据根与系数的关系可知:m+n=1,mn=-3,又n 2=n+3,则2n2-mn+2m+2 015=2(n+3)-mn+2m+2 015=2(m+n)-mn+2 021=21-(-3)+2 021=2 026. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系5.已知、是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,求m的值.1 1解析 、是方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根, +=-(2m+3),=m 2.+= = =-1,整理,得m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1,当m=-1时,方程为x2+x+1=0,此时=12-4=-30,方程有两个不相等的实数根.综上所述,m=3.1 1 2(2 3)mm 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.(2017江西模拟,4,)若、是一元二次方程x2+2x-6=0的两个不相等的根,则2-2的值是()A.10 B.16 C.-2 D.-10答案 A由根与系数的关系可知:+=-2, 2+2=6, 2-2=2+2-2-2=6-2(-2)=10.故选A. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系二、填空题2.(2018江苏无锡宜兴丁蜀第一次段测,16,)若a,b是方程x2+x-2 015=0的两个实数根,则a2+2a+b= .答案2 014解析 a是方程x 2+x-2 015=0的根, a2+a-2 015=0,即a2+a=2 015, a2+2a+b=a2+a+a+b=2 015+a+b, a,b是方程x2+x-2 015=0的两个实数根, a+b=-1, a2+2a+b=2 015+(-1)=2 014. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系三、解答题3.(2017吉林长春七十八中一模,21,)已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+2=0.(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;(2)若方程两实数根分别为x 1、x2,且满足+=10,求实数m的值.21x 22x解析(1)方程x2-2(m+1)x+m2+2=0有实数根, =-2(m+1)2-4(m2+2)=8m-4 0,解得m .(2)方程x2-2(m+1)x+m2+2=0的两实数根分别为x1、x2, x 1+x2=2(m+1),x1x2=m2+2, +=(x1+x2)2-2x1x2=2(m+1)2-2(m2+2)=2m2+8m=10,解得m1=-5(舍去),m2=1,实数m的值为1.1221x 22x 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系1.(2016辽宁丹东七中第一次月考,4,)已知关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的一个根为2,则另一个根是()A.4 B.1 C.2 D.-2答案 D设另一个根为x1,由根与系数的关系可得x12=-4,则x1=-2.2.(2017河南郑州七中第一次月考,9,)已知一元二次方程x 2-4x-3=0的两根为m,n,则m2-mn+n2= .答案25解析 m,n是一元二次方程x2-4x-3=0的两个根, m+n=4,mn=-3,则m 2-mn+n2=(m+n)2-3mn=16+9=25. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系3.(2017福建南安期中,20,)已知关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-8=0的一个根是4,求方程的另一个根和k的值.(6分)解析 x2-(k-1)x-8=0的一个根是4, 42-4(k-1)-8=0,解得k=3.设方程的另一个根为x 1,则4x1=-8, x1=-2. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系4.(2016北京西城二模,21,)已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0.(5分)(1)求证:此方程有两个不相等的实数根;(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x10,此方程有两个不相等的实数根.(2) x= =2m3,且x 10,原方程有两个不相等的实数根.(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x 1+x2=m-3,x1x2=-m. +-x1x2=7, (x1+x2)2-3x1x2=7. (m-3)2-3(-m)=7.解得m1=1,m2=2, m的值为1或2.21x 22x 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系6.(2017湖北黄冈中考,17,)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根.(6分)(1)求k的取值范围;(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求+的值.21x 22x解析(1)方程有两个不相等的实数根, =(2k+1) 2-4k2=4k+10,解得k-, k的取值范围是k-.(2)当k=1时,方程为x2+3x+1=0.由根与系数的关系可得 +=(x 1+x2)2-2x1x2=(-3)2-21=9-2=7.14 141 21 2 3,1.x xx x 21x 22x 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系1.(2013内蒙古呼和浩特中考,9,)已知、是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,则m的值是()A.3 B.1 C.3或-1 D.-3或1 1 1答案 A由题意,知+=-(2m+3),=m 2,因为+=-1,所以 =-1,即 =-1,解得m=-1或m=3.因为、是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,所以(2m+3)2-4m2=12m+90,所以m-,所以m=3,故选A. 1 1 2(2 3)mm 34 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系2.(2017湖北荆门中考,15,)已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1,x2,则+= .21x 22x答案23解析由根与系数的关系,得x 1+x2=-5,x1x2=1. +=(x1+x2)2-2x1x2=(-5)2-21=25-2=23. 21x 22x3.(2017江苏南京中考,12,)已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1,则p= ,q= .答案4;3解析因为方程x 2+px+q=0的两根为-3和-1,所以p=-(-3-1)=4,q=(-3)(-1)=3. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系4.(2017江苏盐城中考,13,)若方程x2-4x+1=0的两个根是x1、x2,则x1(1+x2)+x2的值为 .答案5解析 x 1(1+x2)+x2=x1+x1x2+x2=x1+x2+x1x2.由一元二次方程的根与系数的关系可知,x1+x2=4,x1x2=1,所以x1(1+x2)+x2=4+1=5. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系5.(2017湖北鄂州中考,20,)关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-2k+3=0有两个不相等的实数根.(8分)(1)求实数k的取值范围;(2)设方程的两个实数根分别为x 1,x2,存不存在这样的实数k,使得|x1|-|x2|= ?若存在,求出这样的k值;若不存在,说明理由.5 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系解析(1)根据题意,得b2-4ac0,即-(2k-1)2-41(k2-2k+3)0.解得k,即实数k的取值范围是k.(2)由根与系数的关系,得x 1+x2=2k-1,x1x2=k2-2k+3. k2-2k+3=(k-1)2+20,即x1x20, x1、x2同号. x1+x2=2k-1,k, x1+x20, x10,x20. |x1|-|x2|= , x1-x2= , (x1-x2)2=5,即(x1+x2)2-4x1x2=5, (2k-1) 2-4(k2-2k+3)=5,解得k=4. 114 1141145 5 4, k的值为4.114 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系1.先阅读,再填空解答:方程x2-3x-4=0的根是x1=-1,x2=4,则x1+x2=3,x1x2=-4;方程3x2+10 x+8=0的根是x1=-2,x2=-,则x1+x2=-,x1x2=.(1)方程2x2+x-3=0的根是x 1= ,x2= ,则x1+x2= ,x1x2= ;(2)若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0,且a,b,c为常数)的两个实数根,那么x1+x2,x1x2与系数a,b,c的关系是x1+x2=-,x1x2= ;(3)如果关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有两个实数根x1,x2.求m的取值范围;若x 1,x2满足等式x1x2-x1-x2+1=0,求m的值. 43 103 83ba 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系解析(1) 2x2+x-3=0, (2x+3)(x-1)=0, x1=-,x2=1, x 1+x2=-,x1x2=-.故答案为-;1;-;-.(2).(3)先化简方程(x-2)(x-3)=m为x2-5x+6-m=0, a=1,b=-5,c=6-m. =b 2-4ac=(-5)2-41(6-m)=1+4m 0, m -. x1+x2=5,x1x2=6-m, x1x2-x1-x2+1=x1x2-(x1+x2)+1=6-m-5+1=0, m=2. 32 12 3232 12 32ca 14 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系2.(2014四川泸州中考)已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;(2)已知等腰ABC的一边长为7,若x1、x2恰好是ABC另外两边的长,求这个三角形的周长. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系解析(1) x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根, x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5, (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=28,解得m=-4或m=6.又 =-2(m+1)2-4(m2+5)=4(m+1)2-4(m2+5)=4m2+8m+4-4m2-20=8m-16 0,解得m 2, m=6.(2)当7为底边长时,方程x 2-2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根, =4(m+1)2-4(m2+5)=0,解得m=2.方程变为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3, 3+37,不能构成三角形; 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系当7为腰长时,设x1=7,代入方程得49-14(m+1)+m2+5=0,解得m=10或m=4.当m=10时,方程变为x2-22x+105=0,解得x=7或x=15, 7+77,能构成三角形.此时三角形的周长为7+7+3=17. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系1.在解方程x2+px+q=0时,小张看错了p,解得方程的根为1与-3;小王看错了q,解得方程的根为4与-2.这个方程的根应该是什么?解析由根与系数的关系知q=1(-3)=-3,p=-4+(-2)=-2,方程为x 2-2x-3=0, (x-3)(x+1)=0,即x-3=0或x+1=0, x1=3,x2=-1. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系2.已知:关于x的方程x2+(8-4m)x+4m2=0.(1)若方程有两个实数根,求m的取值范围;(2)问:是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于136?若存在,请求出满足条件的m值;若不存在,请说明理由. 栏 目 索 引5一元二次方程的根与系数的关系解析(1)方程有两个实数根, (8-4m)2-44m2 0,即64-64m 0,解得m 1.(2)不存在.理由如下:设方程的两个实数根分别为x1,x2,方程的两个实数根的平方和等于136,即+=136. x 1+x2=-(8-4m)=4m-8,x1x2=4m2, +=(x1+x2)2-2x1x2=136,即(4m-8)2-24m2=136,化简得m2-8m-9=0,解得m1=9,m2=-1.由(1)知m 1,又m为正数,所以不存在正数m使得方程的两个实数根的平方和等于136.21x 22x21x 22x