电磁场与电磁波(电磁波的反射与折射)

第 七 章 电 磁 波 的 反 射 和 折 射 7.1 平 面 波 的 一 般 数 学 表 达 式7.2 对 平 面 分 界 面 的 垂 直 入 射7.3 对 平 面 分 界 面 的 斜 入 射 7.1 平 面 波 的 一 般 数 学 表 达 式x极 化 的 ， 沿 z方 向 传 播 的 均 匀 平 面 波 的 瞬 时 值 表 示为 其 复 矢 量 可 表 示 为 )cos( kztEaE mx )cos(1 kztEaH my )( kztjmeEE )(11 kztjmzz eEaEaH , 为 波 的 传 播 方 向 ， 且 电场 、 磁 场 和 波 的 传 播 方 向 三 者 满 足 右 手 螺 旋 关系 。 若 从 坐 标 原 点 向 波 阵 面 上 任 一 点 所 引 矢 径 ,而 将 称 为 波 的波 矢 量 ， 则 有 所 以 式 和 可 以 写 成 mxm EaE za )(11 kztjmzz eEaEaH zayaxar zyx kkaz kzrakrk z )( kztjmeEE )( rktjmeEE )(11 rktjmzz eEaEaH k zkzrk 对 于 给 定 的 波 矢 量 ， 为 常 数 的 平 面为 等 相 位 面 ， 波 矢 量 的 方 向 为 波 的 传 播 方向 ， 大 小 为 波 数 。 如 图 7.1.1所 示 。 图 7.1.1 波 的 等 相 位 面 对 于 向 任 一 方 向 传 播 的 均 匀 平 面 波 ，波 矢 量 为 ,波 的 各 场 分 量 的 复 矢 量 可表 示 为 这 便 是 向 任 意 方 向 传 播 的 波 的 一 般 复 矢 量 表 达式 。 在 理 想 介 质 中 ， 波 矢 量 为 为 一 实 矢 量 ， 因 此 ， 。 沿 方 向 传 播的 均 匀 平 面 波 的 等 相 面 的 移 动 情 况 如 图 7.1.2所示 。 kakak k )( rktjmeEE )(11 rktjmkk eEaEaH kk akak k ka 图 7.1.2 沿 Z方 向 传 播 的 均 匀 平 面 波 7.2 对 平 面 分 界 面 的 垂 直 入 射7.2.1 对 理 想 导 体 平 面 的 垂 直 入射 在 图 7.2.1中 ， 设 媒 质 1为 自由 空 间 ， 媒 质 2为 理 想 导 体 。 在 分界 面 上 取 一 点 为 坐 标 系 的 原 点 并取 轴 与 分 界 面 垂 直 ， 由 媒 质 1指 向媒 质 2。 若 X极 化 的 均 匀 平 面 波 由自 由 空 间 入 射 到 理 想 导 体 表 面 上 ，波 矢 量 为 zzz aakak 00 入 射 波 电 磁 场 分 量 为 )( ztjmxxx eEaEaE )(0)(00 11 ztjmyztjmxzz eEaeEaaEaH 式 中 000 / 由 于 理 想 导 体 的 电 导 率 电 磁 波 不 能 透 入 其 中 ， 因 此 ， 在 理 想 导 体 中 电磁 场 都 等 于 零 。 z zz akak 电 磁 波 在 理 想 导 体 表 面 上 被 全 部 反 射 回 来 ， 形 成 向方 向 传 播 的反射波， 其 波 矢 量 为， 其 场 分 量 为 ( )j t zx x x mE a E a E e )(0)(00 1)(1 ztjmyztjmxzz eEaeEaaEaH 在 自 由 空 间 中 的 合 成 电 磁 场 为 ( ) ( )j t z j t zx x x m mE E E E e E e ( ) ( )0 0j t z j t zm my y y E EH H H e e 在 0z 处 ， 利 用 电 场 强 度 切 向 分 量 连 续 的 边 界 条 件可 得 或 于 是 ， 在 0z 的 自 由 空 间 中 的 反 射 波 为 波 在 自 由 空 间 中 的 合 成 电 磁 场 为0 mmx EEE mm EE)( ztjmx eEE )( 00 ztjmxy eEEH tjmtjzjzjmx ezEjeeeEE sin2)( tjmtjzjzjmyyy ezEeeeEHHH cos2)( 00 合 成 电 磁 场 的 瞬 时 值 为 )sin()sin(2Re),( tzEeEtzE mtjxx )cos()cos(2Re),( 0 tzEeHtzH mtjyy 可 见 ， 合 成 电 磁 场 的 振 幅 随 空 间 坐 标 按 正 弦z函 数 分 布 ， 而 在 空 间 一 点 ， 电 磁 场 随 时 间 作 简 谐振 动 。 这 是 一 种驻波分布， 如 图 7.2.2所 示 。 图 7.2.2 合 成 电 磁 场的 振 幅 随 空 间 坐 标 的分 布 结 论 ： 当 均 匀 平 面 波 垂 直 入 射 到 理 想 导 体 表 面 时 ，在 表 面 上 发 生 全 反 射 ， 反 射 波 与 入 射 波 的 迭 加 在 自 由空 间 中 形 成 驻 波 。 其 分 布 为 ： 在 或 （ ） 处 ， 电 场 为 零 ， 磁 场 为 最 大 值 。 我 们 称 这 样 的 点 为 电 场 波 节 点 或 nz 2nz ,2,1,0n 2)12( nz4)12( nz磁场波腹点；在或 处 ， 磁 场 为 零 ， 电 场 为 最 大 值 。 我 们 称 这 样 的 点 为 磁 场 波 节 点 或 电 场 波 腹 点 。 在 理 想 导 体 表 面 上 ， 电 场 为 零 ， 磁 场 为 最 大 值 。 根 据 边 界 条 件 可 知 ， 电 磁 波 将 在 导 体 表 面 上 感 应 出 面 电 流 ， 即 处在 自 由 空 间 中 ， 波 的 平 均 坡 印 廷 矢 量 为0z 02 mxyyzs EaHaaHnJ 0)cos(2)sin(2Re21Re21 0* zEazEjaHES mymxav 可 见 ， 驻 波 不 能 传 输 电 磁 能 量 ， 而 只 存 在 电 场 能 和磁 场 能 的 相 互 转 换 。 7.2.2 对 理 想 介 质 平 面 的 垂 直 入 射 设 x极 化 的 均 匀 平 面 波 从 第 一 种 介 质 垂 直 入 射 到 分界 面 上 ， 波 将 在 分 界 面 上 发 生 反 射 和 透 射 。入 射 波 的 波 矢 量 为 ： 11111 zzz aakak 反 射 波 的 波 矢 量 为 ： 1111 zz aak 介 质 1中 入 射 波 电 磁 场 分 量 为 ： )(111 1ztjmxxx eEaEaE )(11111 11 ztjmyz eEaEaH 介 质 1中 反 射 波 电 磁 场 分 量 为 ： )(111 1ztjmxxx eEaEaE )(11111 1)(1 ztjmyz eEaEaH 介 质 1中 合 成 波 电 磁 场 分 量 为 ： )(1)(1111 1 ztjmztjmxxx eEeEEEE )(11)(11111 ztjmztjmyyy eEeEHHH 在 介 质 2中 ， 透 射 波 向 z方 向 传 播 ， 波 矢 量 为 ：介 质 2中 透 射 波 的 电 磁 场 分 量 为 ： 22222 zzz aakak )(222 2ztjmxxx eEaEaE )(22222 21 ztjmyz eEaEaH 在 介 质 分 界 面 （ z=0） 上 ， 由 边 界 条 件 可 得 ：211 mmm EEE 221111 mmm EEE 12 1211 mm EE 12 212 2 mm EE 界 面 的 反 射 系 数 定 义 为 分 界 面 上 反 射 波 与 入 射 波电 场 之 比 ， 即 ： 11mmEER 12 12 R 界 面 的 传 输 系 数 定 义 为 分 界 面 上 透 射 波 与 入 射 波电 场 之 比 ， 即 ： 12mmEET 12 212 2 mmEET 可 以 证 明 ， 波 垂 直 入 射 到 介 质 分 界 面 上 时 ， R与 T满 足 关 系 RT 1 对 于 理 想 介 质 和 一 般 的 电 介 质 ， 其 磁 导 率 非 常 接近 于 真 空 的 磁 导 率 0 ， 因 此 ， 可 简 化 为 ： 21 211020 102012 12 / / R 21 12 T 可 见 ， 波 在 介 质 分 界 面 上 的 反 射 和 透 射 主 要 取 决 于 两 介 质介 电 常 数 （ 或 折 射 率 ） 的 差 异 。 若 1 2 ， 则 反 射 波 电 场 与 入射 波 电 场 同 相 ； 若 1 2 ， 则 反 射 波 电 场 与 入 射 波 电 场 反 相 。透 射 波 电 场 与 入 射 波 电 场 总 是 同 相 的 。 一 般 情 况 下 媒 质 为 导 电 媒 质 ， 其 本 征 阻 抗 为 复 数 ， R和 T也为 复 数 。 这 表 明 在 分 界 面 上 的 反 射 波 和 透 射 波 还 存 在 一 个 由 界面 决 定 的 附 加 相 移 。 波 斜 入 射 到 两 种 不 同 媒 质 分 界 面 上 也 将 发 生 反射 和 折 射 ， 界 面 对 波 的 反 射 和 折 射 与 入 射 波 的 极化 方 式 有 关 。 为 了 描 述 波 极 化 方 式 对 反 射 、 折 射的 影 响 ， 我 们 将 分 界 面 的 法 线 与 入 射 波 射 线 构 成的 平 面 定 义 为 入 射 面 ， 并 规 定 ： 电 场 垂 直 于 入 射面 的 波 为 垂 直 极 化 波 ； 电 场 平 行 于 入 射 面 的 波 为平 行 极 化 波 。 由 于 任 意 极 化 波 可 以 视 为 上 述 两 种极 化 波 的 迭 加 。 下 面 我 们 分 别 讨 论 两 种 极 化 波 对理 想 导 体 表 面 的 斜 入 射 和 对 理 想 介 质 表 面 的 斜 入射 。 7.3 波 对 平 面 分 界 面 的 斜 入 射 7.3.1波 对 理 想 导 体 表 面 的 斜 入 射 一 、 平 行 极 化 波 的 斜 入 射 入 射 角 的 平 行 极 化 波 在理 想 导 体 表 面 将 被 全 反 射 ，反 射 波 角 为 ， 入 射 波 与反 射 波 传 播 方 向 上 的 单 位矢 量 及 波 矢 量 满 足 ： ( sin cos ) k x Zk a k a a k ( sin cos )k x Zk a k a a k 波 矢 量 sin cosk x za a a sin cosk x za a a 由 图 可 见 mymk EaEa mymk EaEa 所 以 ， 入 射 波 电 磁 场 分 量为 （ 忽 略 时 间 因 子 ） ： rajkmrkjm keEeEE rkjmyrkjmkk eEaeEaEaH 000 11 反 射 波 电 磁 场 分 量 为 ： rajkmrkjm keEeEE rkjmyrkjmkk eEaeEaEaH 000 11 于 是 反 射 平 面 左 边 空 气 中 入 射 波 与 反 射 波 的 合成 场 分 量 为 ： rkjmrkjm eEeEEEE rkjmyrkjmy eEaeEaHHH 00 因 )cossin( zxkrk )cossin( zxkrk )cossin()cossin( coscos),( zxjkmzxjkmx eEeEzxE )cossin()cossin( sinsin),( zxjkmzxjkmz eEeEzxE )cossin(0)cossin(0 ),( zxjkmzxjkmy eEeEzxH 0coscos)0,( sinsin jkxmjkxmx eEeExE 在 导 体 表 面 上 (z=0)， 由 边 界 条 件 可 知 ， 合 成 电 场的 切 向 分 量 应 为 零 ， 即 ： mm EE斯 耐 尔 反 射 定 律 联 立 求 解 上 式 ， 可 得 反 射 面 左 边 的 电 磁 场 分 量 为 ： sin)cossin(cos2),( jkxmx ekzEjzxE sin)coscos(sin2),( jkxmz ekzEzxE sin 0 )coscos(21),( jkxmy ekzEzxH 结 论 ： 平 行 极 化 的 平 面 波 斜 入 射 到 理 想 导 体 表 面 被 界面 反 射 ， 反 射 波 与 入 射 波 迭 加 ， 形 成 沿 导 体 表 面方 向 的 传 播 波 。 其 相 速 为 cckkv xp sinsin 2.合 成 波 在 Z方 向 不 构 成 相 位 函 数 ， 因 此 在 Z方 向 无 波的 传 播 。 而 沿 x方 向 传 播 的 非 均 匀 平 面 波 的 振 幅 按 分 布 ， 故 合 成 波 在 Z方 向 是 驻 波 。 1、 合 成 波 是 一 个 向 x方 向 传 播 的 非 均 匀 平 面 波 。 由 于此 平 面 波 沿 传 播 方 向 （ x方 向 ） 不 存 在 磁 场 分 量 ， 故称 为 横 磁 波 或 TM波 。 )cossin( kz )coscos( kz ),2,1,0(cos2 nnzn nkz cos EzH y振 幅 最 大波 腹 点Ex=0 波 节 点 ),2,1,0(21cos2 mmz m EzH y波 节 点Ex波 腹 点 如 图 ， 反 射 平 面 左半 空 间 的 合 成 波 电 磁场 分 量 为 ：二 、 垂 直 极 化 波 的 斜 入 射 )cossin()cossin( ),( zxjkmzxjkmy eEeEzxE coscos1),( )cossin()cossin(0 zxjkmzxjkmx eEeEzxH sinsin1),( )cossin()cossin( 0 zxjkmzxjkmz eEeEzxH 利 用 理 想 导 体 表 面 上 (z=0)的 边 界 条 件 ， 同 样 可 得 ： mm EE sin)cossin(2),( jkxmy ekzEjzxE sin0 )coscos(cos2),( jkxmx ekzEzxH sin 0 )cossin(sin2),( jkxmz ekzEjzxH 由 此 可 得 ： 合 成 波 是 一 个 向 x方 向 传 播 的 非 均 匀 平 面波 。 由 于 此 平 面 波 沿 传 播 方 向 （ x方 向 ） 不存 在 电 场 分 量 ， 故 称 为 横 电 波 或 TE波 。 2.在 垂 直 于 分 界 面 的 方 向 上 ， 合 成 波 的 场 随 z按 驻 波 分 布 。结 论 ： 1. 垂 直 极 化 的 平 面 波 斜 入 射 到 理 想 导 体 表 面被 界 面 反 射 ， 反 射 波 与 入 射 波 迭 加 ， 形 成 沿 导体 表 面 方 向 的 传 播 波 。 其 相 速 为 cckkv xp sinsin 7.3.2波 对 理 想 介 质 表 面 的 斜 入 射 一 、 平 行 极 化 波 的 斜 入 射 当 平 行 极 化 的 平面 波 从 左 半 空 间 斜入 射 到 理 想 介 质 分界 时 ， 一 部 分 被 反射 ， 另 一 部 分 则 折射 入 右 半 空 间 。 入射 波 、 反 射 波 与 折射 波 传 播 方 向 上 的单 位 矢 量 及 波 矢 量满 足 ： 反 射 平 面 左 半 空 间 合 成 波 的 电 磁 场 分 量 为 ： cossin1 zxk aaa 1 cossin zxk aaa 2 cossin zxk aaa )cossin(1111 zxk aakkak )cossin( 1111 zxk aakkak )cossin( 2122 zxk aakkak 波 矢 量 其 中 ： 111 k 222 k rkjmrkjm eEeEEEE 21 11111 )(1 21 11111111 rkjmkrkjmk eEaeEaHHH 反 射 平 面 右 半 空 间 折 射 波 的 电 磁 场 分 量 为 ：rkjm eEE 222 rkjmk eEaH 22222 1 111 mymk EaEa 111 mymk EaEa 222 mymk EaEa 、 因 故 ， 反 射 平 面 左 半 空 间 合 成 波 的 电 磁 场 分 量 为 ： )cossin(1)cossin(11 11 coscos),( zxjkmzxjkmx eEeEzxE )cossin(1)cossin(11 11 sinsin),( zxjkmzxjkmz eEeEzxE )cossin(11)cossin(11 11),( zxjkmzxjkmy eEeEzxH 反 射 平 面 右 半 空 间 折 射 波 电 磁 场 分 量 为 ：在 z=0的 分 界 面 上 ， 根 据 边 界 条 件 可 得 ： )cossin(22 2cos),( zxjkmx eEzxE )cossin(22 2sin),( zxjkmz eEzxE )cossin( 222 2),( zxjkmy eEzxH 211 sin2sin1sin1 coscoscos xjkmxjkmxjkm eEeEeE 211 sinsinsin xkxkxk 介 质 分 界 面 上 的 反 射定 律 ， 即 入 射 角 等 于反 射 角 1222 1121sinsin vvkk 介 质 分 界 面 上 的 折 射定 律 ， 即 斯 耐 尔 折 射定 律 。一 般 介 质 ， 磁 导 率 接 近 真 空 磁 导 率 ， 上 式 可 简 化 为 ：nnn 2121sinsin 波 阻 抗 波 的 横 电 场 分 量 对 与 其 相 互 垂 直 的 横 磁 场分 量 的 比 值 ， 并 且 横 电 场 、 横 磁 场 和 波 的 传 播 方 向 三足 右 手 螺 旋 关 系 。 平 行 极 化 波 向 z方 向 传 播 分 量 的 波 阻 抗 ZZ1， ZZ2为 ： cos 111111 yxyxz HEHEZ 2222 cos yxz HEZ 在 Z 0的 分 界 面 上 ， 切 向 磁 场 分 量 连 续 ， 即 ：221111 zxzxzx ZEZEZE 联 立 可 解 得 平 行 极 化 波 在 分 界 面 上 的 反 射 系 数 和透 射 系 数 为 ： 21 1212 1211/ coscos coscos zz zzxx ZZ ZZEER 21 212 212/ coscos cos22 zz zxx ZZ ZEET 非 铁 磁 性 物 质 ， 1 20， 可 得 平 行 极 化 波 的 菲 涅 尔 公式 ： 21212 21212/ sin)/(cos)/( sin)/(cos)/( R 21212 12/ sin)/(cos)/( /cos2 T /21/1 TR 可 以 证 明 ， 平 行 极 化 波 的 反 射 系 数 和 透 射 系 数 满足 关 系 ： 二 、 垂 直 极 化 波 的 斜 入 射 当 垂 直 极 化的 平 面 波 从 左半 空 间 斜 入 射到 理 想 介 质 分界 时 ， 一 部 分被 反 射 ， 另 一部 分 则 折 射 入右 半 空 间 。 同理 可 得 ： 反 射 面 左 半 空 间 的 合 成 电 磁 场 为 ：反 射 面 右 半 空 间 的 合 成 电 磁 场 为 ： rkjmyrkjmy eEaeEaEEE 21 11111 )(1 21 11111111 rkjmykrkjmyk eEaaeEaaHHH rkjmy eEaE 222 rkjmyk eEaaH 22222 1 用 类 似 于 平 行 极 化 波 的 分 析 方 法 ， 可 得 相 同 的 反 射定 律 和 折 射 定 律 。 同 时 可 得 垂 直 极 化 波 的 波 阻 抗 为 ： sec1111 xyz HEZ 222 sec xyz HEZ垂 直 极 化 波 的 反 射 系 数 、 透 射 系 数 及 菲 涅 尔 公 式 为 ： 212 21212 12 sin)/(cos sin)/(cos zz zz ZZ ZZR 21212 2 sin)/(cos cos22 zz zZZ ZT同 样 有 ： TR1 上 图 为 平 行 极 化 波 和 垂 直 极 化 波 的 反 射 系 数 模值 随 入 射 角 的 变 化 曲 线 。 由 图 可 见 当 平 行 极 化 波入 射 角 时 ， sin 21 21 B 反 射 系 数 为 零 ， 发 生 全 折 射 现 象 ， 对 应 的 入 射 角称 为 布 儒 斯 特 角 。 全 折 射 现 象 只 有 在 平 行 极 化 波 的 斜 入 射 时 才 会发 生 。 如 果 电 磁 波 以 任 意 极 化 方 式 并 以 布 儒 斯 特 角 入 射 ，由 于 只 有 平 行 极 化 波 在 入 射 角 等 于 布 儒 斯 特 角 时 的反 射 才 等 于 零 ， 则 反 射 波 中 只 有 垂 直 极 化 波 。 这 就是 极 化 滤 除 效 应 。 7.3.3波 的 全 反 射 现 象 由 斯 耐 尔 折 射 定 律 可 知 ， 如 果 波 从 光 密 媒 质 入 射 到 光疏 媒 质 时 ， 必 然 有 ， 而 且 随 的 增 大 而 增 大 。因 此 ， 我 们 可 以 找 到 一 个 入 射 角 ， 使 其 满 足 ， 即满 足 关 系 ： 0 90时 ， sin 1212 nnc 无 论 是 平 行 极 化 波 还 是 垂 直 极 化 波 ， 其 反 射 系 数 的 绝对 值 都 等 于 1， 即 波 在 介 质 分 界 面 上 发 生 全 反 射 现 象 。 发生 全 反 射 现 象 时 的 入 射 角 为 称 为 临 界 角 。 其 值 为 ：121sin c 全 反 射 时 第 二 种 媒 质 中 的 场 分 布 如 下 ： )cossin(22 2cos),( zxjkmx eEzxE 由 斯 耐 尔 折 射 定 律 可 得 ： sinsin 21 2212 sin1sin1cos 发 生 全 反 射 时 1sinsin1cos 2212 j 于 是 sin1sin22 2122212cos),( xjkzkmx eeEzxE 结 论 ： 1、 发 生 全 反 射 时 ， 媒 质 2中 仍 有 折 射 波 存 在 ， 但 折 射 波 的传 播 方 向 是 向 x方 向 ， 相 速 为 2212 /sin vvvp 波 向 x方 向 传 播 的 速 度 小 于 波 在 无 界 媒 质 2中 的 速 度 。如 果 媒 质 2为 空 气 ， 则 波 向 x方 向 传 播 的 速 度 小 于 光 速 ， 这种 波 称 为 慢 波 。2、 媒 质 2中 折 射 波 的 振 幅 沿 负 z方 向 指 数 衰 减 。 当 时 ， 1sin)/(21sin)/( 1 2 21 22212 kz 折 射 波 振 幅 衰 减 到 边 界 上 的 。 由 此 看 出 ， 向 x方向 传 播 的 折 射 波 实 际 上 分 布 在 界 面 上 的 一 个 很 小 的 薄层 内 ， 这 样 的 波 称 为 表 面 波 。 这 说 明 介 质 分 界 面 也 可以 引 导 电 磁 波 传 播 。 e1 例 如 图 所 示 ， 多 层 媒 质 的 界 面 彼 此 平 行 。 试 证 明 射 线 在 多层 媒 质 中 具 有 可 逆 性 。 证 明 ： 当 波 在 n层 介 质 中 传 播时 ， 在 各 分 界 面 上 ， 由 折 射 定律 可 得 ： 2 21 sinsin vv 3 32 2 sinsin vv n nn n vv sinsin 1 1