高考数学总复习 第十章 算法初步、复数与选考内容 第4讲 几何证明选讲课件 文

第 4 讲 几 何 证 明 选 讲 考 纲 要 求 考 情 风 向 标1.了 解 平 行 线 截 割 定 理 ， 会 证 直 角 三角 形 射 影 定 理 .2.会 证 圆 周 角 定 理 、 圆 的 切 线 的 判 定定 理 及 性 质 定 理 .3.会 证 相 交 弦 定 理 、 圆 内 接 四 边 形 的性 质 定 理 与 判 定 定 理 、 切 割 线 定 理 .4.了 解 平 行 投 影 的 含 义 ， 通 过 圆 柱 与平 面 的 位 置 关 系 了 解 平 行 投 影 ； 会 证平 面 与 圆 柱 面 的 截 线 是 椭 圆 (特 殊 情形 是 圆 ).5.几 何 证 明 选 讲 考 纲 要 求 (5) (8)略 . 从 近 几 年 的 高 考 试 题 来看 ， 几 何 证 明 选 讲 作 为 选 考内 容 基 本 没 有 变 化 ， 都 是 二选 一 ， 主 要 考 查 平 行 线 截 割定 理 、 射 影 定 理 、 圆 周 角 定理 、 弦 切 角 定 理 、 相 交 弦 定理 、 切 割 线 定 理 ， 内 容 很 多 ，但 考 试 还 是 侧 重 圆 内 的 边 角运 算 ， 因 此 在 备 考 时 也 应 该有 所 侧 重 ！ 1 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理三 条 平 行 线 截 两 条 直 线 ， 所 得 对 应 线 段 成 比 例 推 论 1： 平 行 于 三 角 形 的 一 边 的 直 线 截 其 他 两 边 (或 两 边 的延 长 线 )， 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 推 论 2： 平 行 于 三 角 形 的 一 边 ， 并 且 和 其 他 两 边 相 交 的 直线 ， 所 截 得 的 三 角 形 的 三 边 与 原 三 角 形 的 三 边 对 应 成 比 例 2 射 影 定 理 的 结 论直 角 三 角 形 一 条 直 角 边 的 平 方 等 于 该 直 角 边 在 斜 边 上 射 影与 斜 边 的 乘 积 ， 斜 边 上 的 高 的 平 方 等 于 两 条 直 角 边 在 斜 边 上 射影 的 乘 积 BDDC在 Rt ABC 中 ， BAC 90 ， AD BC 于 点 D，则 AB2 BDBC； AC2 CDCB； AD2 _.3 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质(1)相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 ： 预 备 定 理 ： 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 与 其 他 两 边 (或 两 边的 延 长 线 )相 交 ， 所 构 成 的 三 角 形 与 原 三 角 形 相 似 判 定 定 理 1： 两 角 对 应 相 等 ， 两 三 角 形 相 似 判 定 定 理 2： 两 边 对 应 成 比 例 且 夹 角 相 等 ,两 三 角 形 相 似 判 定 定 理 3： 三 边 对 应 成 比 例 的 两 个 三 角 形 相 似 判 定 定 理 4： 如 果 两 个 直 角 三 角 形 的 斜 边 和 直 角 边 对 应成 比 例 ， 那 么 它 们 相 似 (2)相 似 三 角 形 的 性 质 定 理 ：相 似 三 角 形 对 应 高 的 比 、 对 应 中 线 的 比 和 对 应 角 平 分 线 的比 都 等 于 相 似 比 ； 周 长 的 比 等 于 相 似 比 ； 面 积 的 比 等 于 相 似 比的 _平 方4 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 与 判 定(1)圆 内 接 四 边 形 的 对 角 互 补 (2)圆 内 接 四 边 形 的 外 角 等 于 它 的 内 角 的 对 角 (3)如 果 四 边 形 的 对 角 互 补 ,那 么 这 个 四 边 形 的 四 个 顶 点 共 圆 .5 直 线 与 圆 一 半(1)圆 周 角 定 理 、 圆 心 角 定 理 ： 圆 上 一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 等于 它 所 对 的 圆 心 角 的 _ 圆 心 角 的 度 数 等 于 它 所 对 弧 的 度 数 (2)弦 切 角 定 理 ： 弦 切 角 等 于 它 所 夹 的 弧 所 对 的 圆 周 角 (3)相 交 弦 定 理 ： 圆 内 的 两 条 相 交 弦 ， 被 交 点 分 成 的 两 条 线段 长 的 积 相 等 (4)切 割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 切 线 和 割 线 ， 切 线 长 是这 点 到 割 线 与 圆 交 点 的 两 条 线 段 长 的 比 例 中 项 10图 10-4-1 图 10-4-22 如 图 10-4-2， DB， DC 是 O 的 两 条 切 线 ， 点 A 是 圆 上一 点 已 知 D 46 ， 则 BAC _.67 3 (2014 年 广 东 肇 庆 二 模 )如 图 10-4-3， ABC 的 外 角 平 分线 AD 交 外 接 圆 于 点 D， BD 4， 则 CD _.4 图 10-4-4 98a 考 点 1 相 似 三 角 形例 1： (1)(2014 年 广 东 )如 图 10-4-5， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 点 E 在 AB 上 ， 且 EB 2AE， AC 与 DE 交 于 点 F， 则 CDF 的 周 长 AEF 的 周 长 _.图 10-4-5 解 析 ： 3 (2)如 图 10-4-6， 在 梯 形 ABCD 中 ， AB CD， AB 4， CD 2， E， F 分 别 为 AD， BC 上 的 点 ， 且 EF 3， EF AB， 则 梯形 ABFE 与 梯 形 EFCD 的 面 积 比 为 _图 10-4-6 答 案 ： 75【 规 律 方 法 】 解 本 题 第 (2)小 题 的 关 键 在 于 延 长 AD， BC，交 点 为 P， 从 而 将 我 们 不 太 熟 悉 的 梯 形 转 化 为 三 角 形 来 解 决 ，反 复 运 用 相 似 三 角 形 的 面 积 之 比 等 于 相 似 比 的 平 方 .证 明 三 角形 相 似 的 主 要 方 法 ： 两 角 相 等 ； 两 边 对 应 成 比 例 ， 且 夹 角相 等 ； 三 边 对 应 成 比 例 . 【 互 动 探 究 】1 (2013 年 陕 西 )如 图 10-4-7， AB 与 CD 相 交 于 点 E， 过 E作 BC 的 平 行 线 与 AD 的 延 长 线 相 交 于 点 P.已 知 A C， PD 2DA 2， 则 PE _.图 10-4-76 考 点 2 与 圆 有 关 的 角例 2： 如 图 10-4-8， 已 知 点 C 在 圆 O 直 径 BE 的 延 长 线 上 ，CA 切 圆 O 于 A 点 ， DC 是 ACB 的 平 分 线 并 交 AE 于 点 F、 交AB 于 D 点 ， 求 ADF 的 大 小 图 10-4-8思 维 点 拨 ： 根 据 直 径 上 的 圆 周 角 是 直 角 、 弦 切 角 定 理 以 及三 角 形 内 角 和 定 理 等 通 过 角 的 关 系 求 解 解 ： 设 EAC ， 根 据 弦 切 角 定 理 ， ABE . 根 据 三 角 形 外 角 定 理 ， AEC 90 . 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 ， ACE 90 2. 由 于 CD是 ACB的 内 角 平 分 线 ， 所 以 FCE 45 . 再 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 ， CFE 180 (90 ) (45 ) 45 . 根 据 对 顶 角 定 理 ， AFD 45 . 由 于 DAF 90 ， 所 以 ADF 45 . 【 规 律 方 法 】 借 用 等 弦 或 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ， 所 对 的圆 心 角 相 等 ， 可 进 行 角 的 等 量 代 换 ； 同 时 也 可 借 在 同 圆 或 等 圆中 ， 相 等 的 圆 周 角 (或 圆 心 角 )所 对 的 弧 相 等 ， 可 进 行 弧 (或 弦 )的 等 量 代 换 . 【 互 动 探 究 】2 如 图 10-4-9， EB， EC 是 O 的 两 条 切 线 ， B， C 是 切点 ， A， D 是 O上 两 点 ， 如 果 E 46 ， DCF 32 ， 则 A的 度 数 是 _. 图 10-4-9 答 案 ： 99 图 D43 3 (2012 年 广 东 广 州 二 模 )如 图 10-4-10， O 的 直 径 AB6， 点 P 是 AB 延 长 线 上 的 一 点 ， 过 点 P 作 O 的 切 线 ， 切 点 为C， 连 接 AC.若 PC 3 ， 则 CPA _.30图 10-4-10解 析 ： PC 2 PBPA 27 PB(PB 6) PB2 6PB 27 0，得 PB 3.连 接 OC， 在 Rt OPC 中 ， OC 3， OP 6， 则 CPA 30 . 3 考 点 3 与 圆 有 关 的 比 例 线 段例 3： (2014 年 新 课 标 )如 图 10-4-11， P 是 O 外 一 点 ，PA 是 切 线 ， A 为 切 点 ， 割 线 PBC 与 O 相 交 于 点 B， C， PC2PA ， D 为 PC 的 中 点 ， AD 的 延 长 线 交 O 于 点 E， 证 明 ：(1)BE EC；(2)ADDE 2PB2. 图 10-4-11 证 明 ： (1)如 图 10-4-12， 连 接 AB， AC.由 题 设 知 PA PD，故 PAD PDA.因 为 PDA DAC DCA， PAD BAD PAB， DCA PAB，所 以 DAC BAD. 图 10-4-12因 此 BE EC.(2)由 切 割 线 定 理 ， 得 PA2 PBPC.因 为 PC 2PA， 所 以 PA 2BP.所 以 PD 2PB，所 以 BD PB.所 以 BDDC PB2PB.由 相 交 弦 定 理 ， 得 ADDE BDDC.所 以 ADDE 2PB 2. 【 规 律 方 法 】 相 交 弦 定 理 为 圆 中 证 明 等 积 式 和 有 关 计 算 提供 了 有 力 的 方 法 和 工 具 ， 应 用 时 一 方 面 要 熟 记 定 理 的 等 积 式 的结 构 特 征 ， 另 一 方 面 在 与 定 理 相 关 的 图 形 不 完 整 时 ， 要 用 辅 助线 补 齐 相 应 部 分 .在 实 际 应 用 中 ， 见 到 圆 的 两 条 相 交 弦 就 要 想 到相 交 弦 定 理 ； 见 到 圆 的 两 条 割 线 就 要 想 到 割 线 定 理 ； 见 到 圆 的切 线 和 割 线 就 要 想 到 切 割 线 定 理 . AB2 AC AD mn AB .【 互 动 探 究 】4 (2012 年 广 东 )如 图 10-4-113， 直 线 PB 与 圆 O 相 切 于 点B， D 是 弦 AC 上 的 点 ， PBA DBA.若 AD m， AC n， 则AB _ . 图 10-4-13 CAB， 得 ABAC ADABmn mn 解 析 ： PBA DBA ACB， BAD CAB BAD 易 错 、 易 混 、 易 漏 审 题 不 清 造 成 漏 解例 题 ： 过 不 在 O 上 的 一 点 A 作 直 线 交 O 于 B， C， 且ABAC 64， OA 10， 则 O 的 半 径 等 于 _ 【 失 误 与 防 范 】 点 A 不 在 O 上 ， 则 点 A 有 可 能 在 圆 外 ，也 有 可 能 在 圆 内 ， 对 于 没 有 给 出 图 形 的 问 题 要 认 真 审 题 ， 并 想清 楚 各 种 可 能 ， 本 题 很 容 易 思 维 定 势 地 认 为 点 A 在 圆 外 而 出 错 .