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第3讲数列的综合问题专题四数列、推理与证明 栏目索引 高考真题体验1 热点分类突破2 高考押题精练3 高考真题体验1.(2016浙江)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，n N*，则a1_，S5_.当n 2时，由已知可得：an12Sn1，an2Sn11，得a n1an2an， an13an，又a23a1， an是以a11为首项，以q3为公比的等比数列.1 121解析答案 2.(2016四川)已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn1qSn1，其中q0，n N*.(1)若2a2，a3，a22成等差数列，求数列an的通项公式； 解析答案 解由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，两式相减得an2qan1，n 1.又由S2qS11得a2qa1，故an1qan对所有n 1都成立.所以数列an是首项为1，公比为q的等比数列.从而anqn1.由2a2，a3，a22成等差数列，可得2a33a22，即2q23q2，则(2q1)(q2)0，由已知，q0，故q2.所以a n2n1(n N*). 解析答案 证明由(1)可知，anqn1.因为1q2(k1)q2(k1)， 考情考向分析 返回 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用. 热点一利用Sn，an的关系式求an1.数列an中，an与Sn的关系：2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n. 热点分类突破 (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列). 解析答案思维升华 又S1a11，解析答案思维升华 思维升华 思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n 2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. an2n 答案解析 因为an0，所以anan1 0，则anan12，所以数列an是首项为2，公差为2的等差数列，故an2n. 热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题. 例2(2015陕西)设fn(x)xx2xn1，x 0，n N，n 2.(1)求fn (2)； 解析答案 解方法一由题设fn (x)12xnxn1，所以fn (2)122(n1)2n2n2n1，则2fn (2)2222(n1)2n1n2n，得，fn (2)12222n1n2n所以f n (2)(n1)2n1.解析答案 解析答案思维升华 证明因为fn(0)10，又f n(x)12xnxn10， 解析答案思维升华 思维升华 思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩. 跟踪演练2(2015安徽)设n N*，xn是曲线yx2n21在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式；解y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点(1,2)处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1).令y0，解得切线与x轴交点的横坐标 解析答案 证明由题设和(1)中的计算结果得 解析答案 热点三数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果. 例3自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值a n的表达式；解析答案 解当n 6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，故an12010(n1)13010n，当n 7时，数列an从a6开始的项构成一个以a61306070为首项， 解析答案思维升华 证明设Sn表示数列an的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得当1 n 6时，Sn120n5n(n1)，当n 7时，由于S6570， 解析答案思维升华 因为an是递减数列，所以An是递减数列.所以必须在第九年年初对M更新. 思维升华 思维升华常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值yN(1p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1nr). 跟踪演练3一牧羊人赶着一群羊通过6个关口，每过1个关口守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第1个关口前有_只羊.解析记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、 、通过第6个关口前，剩下的羊的只数组成数列an(n1,2,3,4,5,6)，因此代入得a 52，a42，a12. 2返回解析答案 押题依据 高考押题精练已知数列an的前n项和Sn满足关系式Snkan1，k为不等于0的常数.(1)试判断数列an是否为等比数列；求数列an的通项公式及前n项和Sn的表达式； 23 41 2 ,nbn nn nc bb b 返回解析答案 押题依据本题综合考查数列知识，第(1)问考查反证法的数学方法及逻辑推理能力，第(2)问是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相消法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力. 解析答案 解(1)若数列an是等比数列，则由n1得a1S1ka2，从而a2ka3.又取n2得a1a2S2ka3，于是a10，显然矛盾，故数列an不是等比数列.从而Snan1.当n 2时，由S n1an，得anSnSn1an1an，解析答案 从而其前n项和Sn2n2 (n N*).由得bnn2， 解析答案 记C2121220n2n2，则2C2120221n2n1，即n 2n900，因为n N*，故n9，从而最小正整数n的值是10.返回
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