高考数学大二轮总复习与增分策略 专题四 数列、推理与证明 第2讲 数列的求和问题课件 文

第2讲数列的求和问题专题四数列、推理与证明 栏目索引 高考真题体验1 热点分类突破2 高考押题精练3 1.(2016课标全国甲)Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101； 解析答案 高考真题体验解设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1.所以an的通项公式为ann.b 1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012. (2)求数列bn的前1 000项和.所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893. 解析答案 2.(2016山东)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；解由题意知，当n 2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，所以an6n5. 解析答案 又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2.两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2 解析答案3n2n2，所以Tn3n2n2. 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.考情考向分析 返回 热点一分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.热点分类突破 例1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3 2 10第二行6 4 14第三行9 8 18(1)求数列a n的通项公式；解析答案 解当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意.因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1 (n N*). 思维升华 (2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn. 解析答案 解因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.当n为偶数时， 思维升华解析答案 思维升华 当n为奇数时， 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.思维升华 证明由条件，对任意n N*，有an23SnSn13，因而对任意n N*，n 2，有an13Sn1Sn3.两式相减，得an2an13anan1，即an23an，n 2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故对一切n N*，an23an.跟踪演练1(2015湖南)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13，n N*.(1)证明：an23an； 解析答案 (2)求Sn. 解析答案 解析答案 公比为3等比数列；数列a2n是首项a22，公比为3的等比数列.因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1) 热点二错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列. 例2已知数列an的前n项和为Sn，且有a12,3Sn5anan13Sn1(n 2).(1)求数列an的通项公式；解3Sn3Sn15anan1(n 2)， 解析答案又 a12， 思维升华 (2)若bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.解bn(2n1)22n，Tn121320521(2n1)22n， 解析答案6(2n3)21n， Tn12(2n3)22n. (1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证.思维升华 跟踪演练2已知正项数列an的前n项和Sn满足：4Sn(an1)(an3)(n N*).(1)求an； 解析答案 化简得，(anan1)(anan12)0， an是正项数列， anan1 0， anan120，对任意n 2，n N*都有anan12，解得a13或a11(舍去)， an是首项为3，公差为2的等差数列， an32(n1)2n1. (2)若bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.解由已知及(1)知，bn(2n1)2n，Tn321522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，2(2n1)2 n1.解析答案 热点三裂项相消法求和 解析答案 思维升华解析答案 (1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k 1，k N*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件.思维升华 解析 解析设数列an的首项为a1，公差为d， m9. 返回解析 返回故使Sn5成立的正整数n有最小值63. 押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是考试大纲中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循.解析押题依据 高考押题精练答案1 解析答案押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式.押题依据返回 解析答案 由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，因为a 0，整理得8a22a10，即(2a1)(4a1)0，所以T n32522723(2n1)2n1(2n1)2n， 解析答案 2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1， 由，得Tn322(22232n)(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1，所以Tn2(2n1)2n1. 返回