高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想课件

第1讲函数与方程思想、数形结合思想 高 考 定 位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查. 真 题 感 悟1.函 数 与 方 程 思 想 的 含 义(1)函 数 的 思 想 ， 是 用 运 动 和 变 化 的 观 点 ， 分 析 和 研 究 数 学 中 的数 量 关 系 ， 是 对 函 数 概 念 的 本 质 认 识 ， 建 立 函 数 关 系 或 构 造 函数 ， 运 用 函 数 的 图 象 和 性 质 去 分 析 问 题 、 转 化 问 题 ， 从 而 使 问题 获 得 解 决 的 思 想 方 法 .(2)方 程 的 思 想 ， 就 是 分 析 数 学 问 题 中 变 量 间 的 等 量 关 系 ， 建 立方 程 或 方 程 组 ， 或 者 构 造 方 程 ， 通 过 解 方 程 或 方 程 组 ， 或 者 运用 方 程 的 性 质 去 分 析 、 转 化 问 题 ， 使 问 题 获 得 解 决 的 思 想 方 法 . 2.函 数 与 方 程 的 思 想 在 解 题 中 的 应 用(1)函 数 与 不 等 式 的 相 互 转 化 ， 对 于 函 数 y f(x)， 当 y 0时 ，就 转 化 为 不 等 式 f(x) 0， 借 助 于 函 数 的 图 象 和 性 质 可 解 决有 关 问 题 ， 而 研 究 函 数 的 性 质 也 离 不 开 不 等 式 .(2)数 列 的 通 项 与 前 n项 和 是 自 变 量 为 正 整 数 的 函 数 ， 用 函数 的 观 点 去 处 理 数 列 问 题 十 分 重 要 .(3)解 析 几 何 中 的 许 多 问 题 ， 需 要 通 过 解 二 元 方 程 组 才 能 解决 ， 这 都 涉 及 二 次 方 程 与 二 次 函 数 的 有 关 理 论 . 3.数 形 结 合 是 一 种 数 学 思 想 方 法 ， 包 含 “ 以 形 助 数 ” 和 “ 以数 辅 形 ” 两 个 方 面 ， 其 应 用 大 致 可 以 分 为 两 种 情 形 ： 借助 形 的 生 动 和 直 观 性 来 阐 明 数 之 间 的 联 系 ， 即 以 形 作 为 手段 ， 数 为 目 的 ， 比 如 应 用 函 数 的 图 象 来 直 观 地 说 明 函 数 的性 质 ； 借 助 于 数 的 精 确 性 和 规 范 严 密 性 来 阐 明 形 的 某 些属 性 ， 即 以 数 作 为 手 段 ， 形 作 为 目 的 ， 如 应 用 曲 线 的 方 程来 精 确 地 阐 明 曲 线 的 几 何 性 质 . 4.在 运 用 数 形 结 合 思 想 分 析 和 解 决 问 题 时 ， 要 注 意 三 点 ： 第一 要 彻 底 明 白 一 些 概 念 和 运 算 的 几 何 意 义 以 及 曲 线 的 代 数特 征 ， 对 数 学 题 目 中 的 条 件 和 结 论 既 分 析 其 几 何 意 义 又 分析 其 代 数 意 义 ； 第 二 是 恰 当 设 参 、 合 理 用 参 ， 建 立 关 系 ，由 数 思 形 ， 以 形 想 数 ， 做 好 数 形 转 化 ； 第 三 是 正 确 确 定 参数 的 取 值 范 围 .数 学 中 的 知 识 ， 有 的 本 身 就 可 以 看 作 是 数形 的 结 合 . 热点一函数与方程思想的应用 微 题 型 1 不 等 式 问 题 中 的 函 数 (方 程 )法【例11】 (1)f(x) ax3 3x 1对 于 x 1， 1， 总 有 f(x) 0成 立 ， 则 a _.(2)设 f(x)， g(x)分 别 是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 当 x 0时 ， f(x)g(x) f(x)g(x) 0， 且 g( 3) 0， 则 不 等 式 f(x)g(x) 0的 解 集 是 _. 且g(x)在区间1，0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a 4，综上a4.(2)设F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)在R上为奇函数.又当x0时，F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0， 所以x0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x0时，F(x)也是增函数.因为F(3)f(3)g(3)0F(3).所以，由图可知F(x)0的解集是(，3) (0，3).答案(1)4 (2)( ， 3) (0， 3) 探究提高 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)0或f(x)0恒成立，一般可转化为f(x)min0或f(x)max0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解. 微 题 型 2 数 列 问 题 的 函 数 (方 程 )法(1)解由 a1 3， an 1 an p3n，得 a 2 3 3p， a3 a2 9p 3 12p.因 为 a1， a2 6， a3成 等 差 数 列 ，所 以 a1 a3 2(a2 6)，即 3 3 12p 2(3 3p 6)， 微 题 型 3 解 析 几 何 问 题 的 方 程 (函 数 )法【例13】 设 椭 圆 中 心 在 坐 标 原 点 ， A(2， 0)， B(0， 1)是它 的 两 个 顶 点 ， 直 线 y kx(k 0)与 AB相 交 于 点 D， 与 椭圆 相 交 于 E、 F两 点 . 探究提高解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 热点二数形结合思想的应用微 题 型 1 利 用 数 形 结 合 思 想 讨 论 方 程 的 根 或 函 数 零 点【例21】 (1)若 函 数 f(x) |2x 2| b有 两 个 零 点 ， 则 实 数 b的 取 值 范 围 是 _.A.5 B.6 C.7 D.8 解析(1)由f(x)|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个不等的实根，从而可得函数y|2x2|的图象与函数yb的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0b2，故填(0，2). 答案(1)(0， 2) (2)B 探究提高用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数. 微 题 型 2 利 用 数 形 结 合 思 想 解 不 等 式 或 求 参 数 范 围 探究提高求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答. 微 题 型 3 利 用 数 形 结 合 思 想 求 最 值【例23】 (1)已 知 P是 直 线 l： 3x 4y 8 0上 的 动 点 ， PA、PB是 圆 x2 y2 2x 2y 1 0的 两 条 切 线 ， A、 B是 切 点 ， C是 圆 心 ， 则 四 边 形 PACB面 积 的 最 小 值 为 _. (2)设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，根据双曲线的定义可知|PF|2|PF1|，则APF的周长为|PA|PF|AF|PA|2|PF1|AF|PA|PF1|AF|2，由于|AF|2是定值， 探究提高破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论. 1.当 问 题 中 涉 及 一 些 变 化 的 量 时 ， 就 需 要 建 立 这 些 变 化 的 量之 间 的 关 系 ， 通 过 变 量 之 间 的 关 系 探 究 问 题 的 答 案 ， 这 就需 要 使 用 函 数 思 想 .2.借 助 有 关 函 数 的 性 质 ， 一 是 用 来 解 决 有 关 求 值 、 解 (证 )不等 式 、 解 方 程 以 及 讨 论 参 数 的 取 值 范 围 等 问 题 ， 二 是 在 问题 的 研 究 中 ， 可 以 通 过 建 立 函 数 关 系 式 或 构 造 中 间 函 数 来求 解 . 3.许 多 数 学 问 题 中 ， 一 般 都 含 有 常 量 、 变 量 或 参 数 ， 这 些 参变 量 中 必 有 一 个 处 于 突 出 的 主 导 地 位 ， 把 这 个 参 变 量 称 为主 元 ， 构 造 出 关 于 主 元 的 方 程 ， 主 元 思 想 有 利 于 回 避 多 元的 困 扰 ， 解 方 程 的 实 质 就 是 分 离 参 变 量 .4.在 数 学 中 函 数 的 图 象 、 方 程 的 曲 线 、 不 等 式 所 表 示 的 平 面区 域 、 向 量 的 几 何 意 义 、 复 数 的 几 何 意 义 等 都 实 现 以 形 助数 的 途 径 ， 当 试 题 中 涉 及 这 些 问 题 的 数 量 关 系 时 ， 我 们 可以 通 过 图 形 分 析 这 些 数 量 关 系 ， 达 到 解 题 的 目 的 . 5.有 些 图 形 问 题 ， 单 纯 从 图 形 上 无 法 看 出 问 题 的 结 论 ， 这 就 要对 图 形 进 行 数 量 上 的 分 析 ， 通 过 数 的 帮 助 达 到 解 题 的 目 的 .6.利 用 数 形 结 合 解 题 ， 有 时 只 需 把 图 象 大 致 形 状 画 出 即 可 ， 不需 要 精 确 图 象 .