高一数学必修1第一章知识点总结

高一数学必修1第一章知识点总结一、集合(一)集合有关概念1、集合的含义：练习1:下列四组对象，能构成集合的是()A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2、元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，则a属于A,记作a A(2)如果a不是集合A的元素，则a不属于A,记作a A3、常用数集自然数集,正整数集 ,整数集,有理数集 ,实数集. 练习2:用适当的符号填空1(1) 5 N,-_Q, Q2 (3) 33 x | x 2 , 1,2 x, y | y x 1(4) 2 ,x| x-323) :例：不是直角三角形的三角形 ; 4) Venn图练习 5:集合 M=0, 2, 3, 7, P=x|x=ab , a、bC M a* b,用列举法表示，贝U P=练习6:集合x|f(x) 0x | f(x) 0x |y f(x)y |y f(x)(x,y)|y f(x)含义练习7：已知集合 A x N |8N，试用列举法表示集合A =6 x练习8:方程组xy2的解集是（）xy4(A) x 3或 1(B) (3, 1)(C)3, 1(D (3, 1)9（二）集合间的基本关系1 .“包含”关系：子集（ A B） 注：有两种可能： 任何一个集合是它本身的子集，即： 2 . “相等”关系： ,如图所示:B (A),如图所示:练习10：能满足关系a, b M a, b, c, d, e的集合M的个数是A. 8个B. 6个C. 4个D. 3个4.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定：空集是任何集合的,空集是任何非空集合的。练习11:下列四个集合中，是空集的是（）22A. x | x 3 3 B . （ x, y） | y x ,x, y RC. x|x2 0D. x|x2 x 1 0,x R5.若集合A有n个元素，则其子集的个数为 ,真子集个数 c 练习12:写出集合 0, 1,2的所有子集： （三）集合的运算1、交集，即A B=，请用Venn图表示：2、并集，即A B=,请用Venn图表示：3、补集，即CuA =，请用Venn图表示：练习13:若集合A=1 , 3, x,且AU B=1 , 3, x,则满足条件的实数 x的个数有()(A)(B) 2 个(C)练习14：表示右图中阴影部分的集合是()(A) AU B(B) AA B(C) CU(AUB)(D) CU (A B)(94个练习15:已知集合Mx| x t ,若M P ,则实数t以M为定义域，N为值域的函数关系是()应满足的条件是4、相关的运算性质:交集(1)A A =;(2) A A BA; (4) A BB并集(1) A AA;(2) A ; (3)AA B;(4) BA B补集A (GA) ;(2) A (CuA)常用重 要结论(1)若AB, B C,则AC(2)A B A ;A B A 练习16:某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26, 15, 13,同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人。练习 17：全集 U R,集合 A=y|y 3 x2 且 2 x 1, B=y 12y 4 y 2。(1)求 Cu(A B)；(2)若集合C y |2y a 0,满足B C C ,求实数a的取值范围。二、函数的有关概念1、函数的概念： 设A、B是,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A中 的任意一个数x,在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f ： A-B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x) , xCA.其中，x叫做自变量， 叫做函数的定义域； 叫做函数值， 叫做函数的值域.函数的三要素：、练习18：设M x| 2 x 2 , N y|0 y 2,给出下列4个图形，其中能表示练习19：设一个函数的解析式 f(x) 2x 1,若它的值域为1,2,3，则该函数的定义域为2、定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母 0; (2)偶次方根的被开方数0;(3)对数式的真数必须0; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1;(6)式子a0中，a 0 ； (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义练习20：已知函数f(x) V1 x2Vx2 1的定义域是()(A) 1,1(B) 1, 1(C) ( 1, 1)(D) (, 1 1,)1 练习21：已知函数f(x)的定义域为M , g(x) ln(1 x)的定义域为N,则- 1 xM N ()A. xx 1 B. xx 1C. x 1 x 1D.练习22：函数f (x) x2 4x 1的值域是;当x 3,3时，函数的值域为 函数的最大值为 ,最小值为 ;当x ( 1,2时，函数的值域为3、相同函数的判断方法：;定义域一致(两点必须同时具备)表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)(见课本21页相关例2)练习23:下列各组函数中，表示同一函数的是(A. y | x|,y & B.y .x 2 x 2,yx3y 1, y - y |x|,y (： x)2 C.x D.4 .区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示.5 .映射一般地，设A、B是,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合 A中的任意一个元素x,在集合B中都有 的元素y与之对应，那么就称对应 f: A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f : A-B练习24:下列集合 A到集合B的对应f是映射的是()* _A.A R,B N , f :x |x|B.A 0,1, B 1,0,1, f : x x八1C.A Z, B Q, f : x xD.A 1,0,1, B 1,0,1, f :xx2练习25：已知点(x, y)在对应关系f作用下对应的元素是(x 2y,2x y)，则(3,1)在f作用下对应的元素是6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况.(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.x 2,x1练习26：已知函数f(x) 2，则ff( 2) =；若f(x) 0,则x _x ,x 1三、函数的性质1 .函数的单调性(局部性质)(1)增函数：设函数 y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当 时，都有 ,那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间 D称为y=f(x)的单调增区间。(2)减函数：如果对于区间D上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 时，都有那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调减区间。练习27：函数f(x) mx2 4x 1,在(，2)内递减，在(2,)内递增，则f(1)的值 为()A.3 B .3 C . 2 D .2注意：函数的单调性是函数的局部性质；2、函数最大(小)值(定义见课本p36页)01利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值(注意x的取值范围)O2利用图象求函数的最大(小)值O3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间a , b上单调递增，在区间b , c上单调递减，则函数y=f(x)在x=b 处有;如果函数y=f(x)在区间a , b上单调递减，在区间b , c上单调递增，则函数y=f(x)在x=b练习28：在直角坐标平面内处有，二次函数f(x)图象的顶点为 A(1,-4),且过点B(3,0)(1)求f (x)的函数解析式; 求f (x)在(Q4上的最值;(3)求f(x)在a,a 2(a 1)上的最值;1 一练习29：设a 1 ,函数f (x) loga x在区间a,2a上的最大值与最小值之差为一，则a2( )A. 72B . 2 C , 272D . 4(3)图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在 这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是 ，减函数 的图象从左到右是。3、函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法(即用定义法证明单调性)：01 ； 02 (通常是因式分解和配方)；O3 ; 04 ;(B)图象法(从图象上看升降)注意：单调区间不能随便并起来。练习31:求函数f(x) -x在区间2,5上的最大值和最小值。x 14、函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x,都有,那么f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x,都有,那么f(x) 就叫做奇函数.练习32:函数y |x| 是() ,1 x2A、奇函数B、偶函数 C、既是奇函数，又是偶函数D 、既不是奇函数，也不是偶函数练习33:下列结论中：不正确的个数是()(1)若函数 f(x)中,f(0)f(5), Wf (x)ft0,5上是增函数;(2)若函数f (x)在-1,1和(1,3上是减函数，则f(x)在-1,3上是减函数；(3)定义在R1的函数f (x)满足 上(凶 1,则f(x)是偶函数； f(x)(4)函数f(x)在-1,1上满足：f( 1) f (1)，则f(x)是奇函数；(5)若函数f(x)在-2 , 3上有f( x) f(x) 0,则f(x)是奇函数。A 1 B. 2 C3 D 4(3)奇偶函数的性质：偶函数的图象关于 对称；奇函数白图象关于 对称.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=练习34：奇函数f (x)在区间a,b上为减函数，且有最小值2 ,则它在区间b, ai()A.是减函数，有最大值2BC.是减函数，有最小值2D.是增函数，有最大值2.是增函数，有最小值2f(x),x 0,1时，f (x) x 1,一 3则 f(3)() A.23 B -C.0D.122(4)多项式函数P(x)nanxnan iXa0的奇偶性多项式函数P(x) 是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零练习 36:设 f (x) ax3 bx1,且f (2) 0,求f ( 2)的值练习35： f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x 2)5、函数奇偶性的判定方法(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：01； 02 ;(2)利用定理，或借助函数的图象判定6、函数的解析表达式(1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域(2)求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法：练习37：已知f (x 1) x2 4x 1,求f(x)的解析式。2)待定系数法：练习 38:已知f(x)是二次函数，且满足 f(0)=0,f(x+1)-f(x)=2x, 求函数 f(x)的解析式。3)换元法：练习39:已知f(Jx 1) x 2JX,求f(x)。4)利用奇偶性：练习 40：已知定义域为 R的奇函数f(x),当x0时，f(x)ex 3x；则当 x 0时 f (x) =.易错点：1、属于跟包含的关系：属于是指 与 的关系；包含是指 与 的关系练习41:在以下五个写法中：0 0,1,2;。0；0,1,21,2,0;0 n力=e,写法正确的个数有(A. 0个B. 1 个C. 2个 D. 4 个2、在应用条件 AU B=BAA B=AAC B时，易忽略 A是空集 的情况：练习 42:设人=4, 1, B=x|tx 3 0, A B A,则 t 的值为练习 43:已知集合 A=x|2a -1xa+3, B=x| x1 或 x 5,若 An B=，求 a 的取 值范围。3、描述法表示的集合的含义：练习44：已知集合M=y|y= x2 6x 7 , N=x|y= Jx 1 ,则集合M与N的关系是 1 1练习 45：设 x= ,y= 3 ,A=x|x=m-n ,；3 ,m Z, n Z ,那么 x,y 与集合 A 的关2 ,32系是()A.x A, y A B,x A, y A C,x A, y A D,x A, y A4、集合的“交”“并” “补”运算中，端点是否可取问题：练习 46：已知集合 A= x1 x 6,B x2 x 9,(1)分别求 Cr(A B),(CrB)A；(2)已知C xa x a 1 ,若C B B,求实数a的取值.5、求解与函数有关的问题易忽略定义域优先 的原则.练习47：定义在(-1 , 1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1a) f (12a)0,求a的取值范围。6、判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.练习48：判断函数的奇偶性：f(x) 由 2x J2x 17、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值，作差，判正负.)1练习49:证明：函数f(x) 2在(，1)上为增函数.(x 1)8、单调区间是否可并1练习50:函数y 的单调递增区间为 x练习51 :已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x) x(x 2)(1)求函数f(x)的解析式，(2)求函数f(x)的增区间和减区间.