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第 二 十 八 章 锐 角 三 角 函 数小 结 与 复 习 (2) A的 余 弦 ： cosA ；(3) A的 正 切 ： tanA .一 、 锐 角 三 角 函 数如 图 所 示 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ，a， b， c分 别 是 A， B， C的 对 边 要 点 梳 理 二 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 1 12 1230 ， 45 ， 60 角 的 三 角 函 数 值sin30 ， sin45 ， sin60 ；cos30 ， cos45 ， cos60 ；tan30 ， tan45 ， tan60 . 合作探究1.解 直 角 三 角 形 的 依 据(1)在 Rt ABC中 ， C 90 ， a， b， c分 别 是 A， B, C的 对 边 三 边 关 系 ： ；三 角 关 系 ： ；边 角 关 系 ： sinA cosB ， cosA sinB ，tanA ， tanB .a2 b2 c2 A 90 B三 、 解 直 角 三 角 形 acsin cosAA sincosBB (2)直 角 三 角 形 可 解 的 条 件 和 解 法条 件 ： 解 直 角 三 角 形 时 知 道 其 中 的 2个 元 素 (至 少 有 一 个 是边 )， 就 可 以 求 出 其 余 的 3个 未 知 元 素 解 法 ： 一 边 一 锐 角 ， 先 由 两 锐 角 互 余 关 系 求 出 另 一 锐角 ； 知 斜 边 ， 再 用 正 弦 (或 余 弦 )求 另 两 边 ； 知 直 角 边 用 正 切求 另 一 直 角 边 ， 再 用 正 弦 或 勾 股 定 理 求 斜 边 ； 知 两 边 ： 先用 勾 股 定 理 求 另 一 边 ， 再 用 边 角 关 系 求 锐 角 ； 斜 三 角 形 问题 可 通 过 添 加 适 当 的 辅 助 线 转 化 为 解 直 角 三 角 形 问 题 (3)互 余 两 角 的 三 角 函 数 间 的 关 系sin =_;cos =_;2 2sin +cos _; tan tan(90 _. ）cos(90 ）sin(90 ） 1 1 1.利 用 计 算 器 求 三 角 函 数 值 第 二 步 ： 输 入 角 度 值 ，屏 幕 显 示 结 果 .（ 也 有 的 计 算 器 是 先 输 入 角 度 再 按 函 数 名 称 键 ）第 一 步 ： 按 计 算 器 、 、 键 ，sin tan cos四 、 借 助 计 算 器 求 锐 角 三 角 函 数 值 及 锐 角 2.利 用 计 算 器 求 锐 角 的 度 数 还 可 以 利 用 键 ， 进 一 步 得 到 角 的 度 数 .第 二 步 ： 然 后 输 入 函 数 值屏 幕 显 示 答 案 （ 按 实 际 需 要 进 行 精 确 ）第 一 种 方 法 ： 2nd F第 一 步 ： 按 计 算 器 、 、 键 ，2ndF sin cos tan 第 一 步 ： 按 计 算 器 键 ， 2nd F第 二 种 方 法 ：第 二 步 ： 输 入 锐 角 函 数 值屏 幕 显 示 答 案 （ 按 实 际 需 要 选 取 精 确 值 ） . 1.仰 角 和 俯 角 铅直线 水 平 线视 线视 线仰 角俯 角在 进 行 测 量 时 ， 从 下 向 上 看 ， 视 线 与 水 平 线 的 夹 角 叫做 仰 角 ； 从 上 往 下 看 ， 视 线 与 水 平 线 的 夹 角 叫 做 俯 角 .五 、 三 角 函 数 的 应 用 以 正 南 或 正 北 方 向 为 准 ， 正 南 或 正 北 方 向 线 与 目 标 方 向 线 构成 的 小 于 900的 角 ,叫 做 方 位 角 .如 图 所 示 ：3045B O A 东西 北南2.方 位 角 4545西 南 O 东 北 东西 北南西 北 东 南 坡 面 与 水 平 面 的 夹 角 叫 做 坡 角 ， 记 作 ， 有 i =tan 显 然 ， 坡 度 越 大 ， 坡 角 就 越 大 ， 坡 面 就 越 陡 .lhlh 图 19.4.5 如 图 :坡 面 的 铅 垂 高 度 （ h） 和 水 平 长 度 （ l）的 比 叫 做 坡 面 坡 度 .记 作 i,即 i =3.坡 度 ,坡 角坡 度 通 常 写 成 1 m的 形 式 ， 如 i=1 6. 4.利 用 解 直 角 三 角 形 的 知 识 解 决 实 际 问 题 的 一 般 过 程 是 ：（ 1） 将 实 际 问 题 抽 象 为 数 学 问 题 （ 画 出 平 面 图 形 ， 转 化为 解 直 角 三 角 形 的 问 题 ） ；（ 2） 根 据 条 件 的 特 点 ， 适 当 选 用 锐 角 三 角 函 数 等 去 解 直角 三 角 形 ；（ 3） 得 到 数 学 问 题 的 答 案 ；（ 4） 得 到 实 际 问 题 的 答 案 AC MN(1)在 测 点 A安 置 测 倾 器 ， 测 得 M的 仰 角 MCE=； E (2)量 出 测 点 A到 物 体 底 部 N的 水 平 距 离 AN=l；(3)量 出 测 倾 器 的 高 度 AC=a， 可 求 出 MN的 高 度 .MN=ME+EN=ltan+a1. 测 量 底 部 可 以 到 达 的 物 体 的 高 度 步 骤 ：六 、 利 用 三 角 函 数 测 高 2.测 量 东 方 明 珠 的 高 度 的 步 骤 是 怎 么 样 的 呢 ？(1)在 测 点 A处 安 置 测 倾 器 ， 测 得 此 时 M的 仰 角 MCE=；AC BD MNE(2)在 测 点 A与 物 体 之 间 的 B处 安 置 测 倾 器 ， 测 得 此 时 M的 仰 角 MDE=； (3)量 出 测 倾 器 的 高 度 AC=BD=a， 以 及 测 点 A,B之 间 的 距 离AB=b.根 据 测 量 数 据 ,可 求 出 物 体 MN的 高 度 .,tan tanME ME b MN ME a 考 点 一 求 三 角 函 数 的 值例 1 在 ABC中 ， C 90 ， sinA ， 则 tanB ( ) A. B. C. D.4543 34 35 45【 解 析 】 根 据 sinA ， 可 设 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为4k,5k， 则 第 三 边 长 为 3k， 所 以 tanB 45 3 3.4 4kk B 考 点 讲 练 求 三 角 函 数 值 方 法 较 多 ， 解 法 灵 活 ， 在 具 体 的 解 题 中要 根 据 已 知 条 件 采 取 灵 活 的 计 算 方 法 ， 常 用 的 方 法 主 要 有 ：(1)根 据 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 求 值 ； (2)直 接 运 用 三 角 函 数 的定 义 求 值 ； (3)借 助 边 的 数 量 关 系 求 值 ； (4)借 助 等 角 求 值 ；(5)根 据 三 角 函 数 关 系 求 值 ； (6)构 造 直 角 三 角 形 求 值 方 法 总 结 1.在 ABC中 ， A、 B都 是 锐 角 ， 且 sinA=cosB， 那么 ABC一 定 是 _三 角 形 直 角2.如 图 ， 在 网 格 中 ， 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1， 点 A， B， C都 在 格 点 上 ， 则 ABC的 正 切 值 是 _.12 针 对 训 练 考 点 二 特 殊 角 的 三 角 函 数 值【 解 析 】 本 题 考 查 数 的 0次 幂 、 分 母 有 理 化 和 特 殊 角 的 三角 函 数 值 解 ： 原 式 例 2 计 算 ： 03 2tan60 .33 (1) tan30 cos45 tan60(2) tan30 tan60 cos2303. 计 算 ： 3 333 47.4 3 2 33 2 4 3 2 ;3 2 解 ： 原 式原 式 针 对 训 练 考 点 三 解 直 角 三 角 形例 3 如 图 ， 在 ABC中 ， C 90 ， 点 D在 BC上 ， BD 4， AD BC， cos ADC= ， 求 ： （ 1） DC的 长 ； （ 2） sinB的 值 53【 分 析 】 题 中 给 出 了 两 个 直 角 三 角 形 ， DC和 sinB可 分 别 在Rt ACD和 Rt ABC中 求 得 ， 由 AD BC， 图 中 CD BC BD，由 此 可 列 方 程 求 出 CD AB CD 又 BC CD BD， 解 得 x=6， CD=6； AB CD解 ： （ 1） 设 CD x， 在 Rt ACD中 ， cos ADC= ,353 5,5 3x AD xAD 5, ,3AD BC BC x 5 4,3 x x (2) BC=BD+CD=4+6=10=AD，在 Rt ACD中 ，在 Rt ABC中 2 2 2 210 6 8,AC AD CD 2 2 64 100 2 41,AB AC BC 8 4 41sin .412 41ACB AB 本 考 点 主 要 考 查 已 知 三 角 形 中 的 边 与 角 求 其 他 的 边与 角 .解 决 这 类 问 题 一 般 是 结 合 方 程 思 想 与 勾 股 定 理 ，利 用 锐 角 三 角 函 数 进 行 求 解 . 方 法 总 结 4.如 图 所 示 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， AC 3.点 D为 BC边 上 一 点 ， 且 BD 2AD， ADC 60 .求 ABC的 周 长(结 果 保 留 根 号 ). 针 对 训 练 解 ： 在 Rt ADC中 ， BD 2AD 4. BC BD DC 5.在 Rt ABC中 ， ABC的 周 长 为 AB BC ACsin = ,ACADC AD 3= = 1,tan tan60ACDC ADC tan = ,ACADC DC 3= = 2,sin sin60ACAD ADC 2 2 2 7.AB AC BC 2 7 5 2 3. 考 点 四 三 角 函 数 的 应 用例 4 如 图 ， 在 一 次 数 学 课 外 实 践 活 动 中 ， 要 求 测 教 学 楼AB的 高 度 小 刚 在 D处 用 高 1.5 m的 测 角 仪 CD， 测 得 教 学 楼顶 端 A的 仰 角 为 30 ， 然 后 向 教 学 楼 前 进 40 m到 达 EF， 又测 得 教 学 楼 顶 端 A的 仰 角 为 60 .求 这 幢 教 学 楼 AB的 高 度 【 分 析 】 设 CF与 AB交 于 点 G， 在Rt AFG中 ， 用 AG表 示 出 FG， 在Rt ACG中 ， 用 AG表 示 出 CG， 然后 根 据 CG FG 40， 可 求 AG. =20 3mAG ， =(20 3 1.5)m.AB 答 ： 这 幢 教 学 楼 AB的 高 度 为 (20 3 1.5)m. 解 ： 设 CF与 AB交 于 点 G， 在 Rt AFG中 ，tan = ,AGAFG FG = = .tan 3AG AGFG AFG 在 Rt ACG中 ，tan = ,AGACG CG = = 3 .tan AGCG AGACG 又 CG FG 40m， 3 =40m.3AGAG 在 生 活 实 际 中 ， 特 别 在 勘 探 、 测 量 工 作 中 ， 常 需 了 解或 确 定 某 种 大 型 建 筑 物 的 高 度 或 不 能 用 尺 直 接 量 出 的 两 地之 间 的 距 离 等 ， 而 这 些 问 题 一 般 都 要 通 过 严 密 的 计 算 才 可能 得 到 答 案 ， 并 且 需 要 先 想 方 设 法 利 用 一 些 简 单 的 测 量 工具 ， 如 ： 皮 尺 ， 测 角 仪 ， 木 尺 等 测 量 出 一 些 重 要 的 数 据 ，方 可 计 算 得 到 有 关 设 计 的 原 理 就 是 来 源 于 太 阳 光 或 灯 光与 影 子 的 关 系 和 解 直 角 三 角 形 的 有 关 知 识 方 法 总 结 5.如 图 某 人 站 在 楼 顶 观 测 对 面 的 笔 直 的 旗 杆 AB， 已 知 观 测 点C到 旗 杆 的 距 离 （ 即 CE的 长 ） 为 8米 ， 测 得 旗 杆 顶 的 仰 角 ECA为 30 旗 杆 底 部 的 俯 角 ECB为 45 则 旗 杆 AB的 高 度是 多 少 米 ? CAB DE解 ： 如 图 在 Rt ACE和 Rt BCE中 ACE=30 ， EC=8米 tan ACE= ,tan ECB=即 ： AE=8tan30 = （ 米 ）EB=8tan45 =8（ 米 ） AE+EB=(8+ )米AEEC EBEC8 33 8 33 针 对 训 练 锐 角 三 角函 数特 殊 角 的 三角 函 数解 直 角 三角 形简 单 实 际问 题 cabA BC正 弦 ：锐角三角函数 sin aA c余 弦 ：正 切 ： tan aA b30 ， 45 ， 60 角 的 三 角 函 数 值三 边 关 系三 角 关 系边 角 关 系仰 俯 角 问 题 方 位 角 问 题坡 度 问 题cos bA c 课 堂 小 结
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