资源描述
1 .了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征， 知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数 类型增长的含义. 2 .了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型) 的广泛应用. 三种函数模型的性质 函数 性质yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0)在(0，)上的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳单调递增单调递增单调递增 函数 性质yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0)图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴随x增大逐渐表现为与x轴随n值变化而不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax平行一样平行一样 思考探究以上三种函数都是单调增函数，它们的增长速度相同吗？在(0，)上随着x的增大，三种函数的函数值间有什么关系？提示：三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个x0，使xx0时有axxnlogax. 1 .下列函数中随x的增大而增大速度最快的是 () A.y B.y1 0 0 lnx C.yx1 0 0 D.y1 0 0 2 x解析：因为指数函数的增大速度较快，故可排除B、C.又 e21， y 的增大速度要比y1 0 0 2 x的增大速度要快.答案：A 2 .在一定范围中，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满 足 一次函数关系，如果购买1 0 0 0吨，每吨为8 0 0元， 如果购买2 0 0 0吨，每吨为7 0 0元，一客户购买4 0 0吨， 单价应该是 () A.8 2 0元 B.8 4 0元 C.8 6 0元 D.8 8 0元 解析：设yaxb，则 解得 y1 0 x9 0 0 0，由4 0 01 0 x9 0 0 0得x8 6 0 (元).答案：C 3 .2 0 0 6年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年利率为 x，按复利计算，则到2 0 1 1年7月1日可取款 () A.a(1x)5元 B.a(1x)6元 C.a(1x)5元 D.a(1x5 )元解析：因为年利率按复利计算，所以到2 0 1 1年7月1日可取款a(1x)5 .答案：A 4 .某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3公里以内为起 步价8元(即行程不超过3公里，一律收费8元)，若超过3公 里除起步价外，超过部分再按1 .5元/公里收费计价，若某 乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客 下车时乘车里程数为7 .4公里，则乘客应付的车费是 .解析：乘车里程数为7 .4，则付费应为81 .54 .41 4 .6，四舍五入后乘客应付的车费为1 5元.答案：1 5元 5 .有一批材料可以建成2 0 0 m的围墙， 如果用此材料在一边靠墙的地方 围成一块矩形场地，中间用同样的 材料隔成三个面积相等的矩形(如图 所示)，求围成的矩形最大面积 (围 墙厚度不计). 解：设矩形的长为x m，宽为 ，则S当x1 0 0时，Smax2 5 0 0 m2 .答：围成矩形最大面积为2 5 0 0 m2 . 1 .在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0 ) 或直线下降(自变量的系数小于0 ).2 .很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给 出，而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票 价与路程之间的关系，就是分段函数. 特别警示分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起.要注意各段变量的范围，特别是端点值. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1 .8 0元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3 .0 0元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5 x,3 x(吨).(1 )求y关于x的函数；(2 )若甲、乙两户该月共交水费2 6 .4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 思路点拨 课堂笔记(1 )当甲的用水量不超过4吨时，即5 x4，乙的用水量也不超过4吨，y1 .8 (5 x3 x)1 4 .4 x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3 x4且5 x4时，y41 .83 x1 .83 (5 x4 )2 0 .4 x4 .8 .当乙的用水量超过4吨，即3 x4时，y241 .83(3 x4 )(5 x4 )2 4 x9 .6 .所以y (2 )由于yf(x)在各段区间上均单调递增.当x 0， 时，yf( )1 1 .5 2；当x ( ， 时，yf( )2 2 .4；当x ( ，)时，令2 4 x9 .62 6 .4，解得x1 .5 .所以甲户用水量为5 x7 .5吨，付费S141 .83 .531 7 .7 0 (元)；乙户用水量为3 x4 .5吨，付费S 241 .80 .538 .7 0 (元). 保持两户用水比例不变，若两户用水均不超过4吨，则两户共交水费的最大值是多少？解：只要甲户不超过4吨，则乙户一定不超过4吨， 5 x4，即x ， ymax1 .8(43 )1 1 .5 2 (元). 有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错. 某人要做一批地砖，每块地砖(如图1所示)是边长为0 .4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，且CECF，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3 2 1 .若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH. (1 )求证：四边形EFGH是正方形；(2 )E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？ 思路点拨 课堂笔记(1 )图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转9 0，1 8 0，2 7 0后得到， EFFGGHHE，CFE为等腰直角三角形，四边形EFGH是正方形.(2 )设CEx，则BE0 .4x，每块地砖的费用为W，制成CFE、ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3 a、2 a、a(元)， W 3 a (0 .4x)0 .42 a0 .1 6 0 .4(0 .4x)aa(x20 .2 x0 .2 4 )a(x0 .1 )20 .2 3 (0 x0 .4 )，由a0，当x0 .1时，W有最小值，即总费用最省.答：当CECF0 .1米时，总费用最省. 指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查.在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示.通常可表示为ya(1p)x(其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式. 某城市现有人口总数为1 0 0万人，如果年自然增长率为1 .2 %，试解答以下问题：(1 )写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2 )计算1 0年以后该城市人口总数(精确到0 .1万人)；(3 )计算大约多少年以后，该城市人口将达到1 2 0万人(精确到1年)；(4 )如果2 0年后该城市人口总数不超过1 2 0万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1 .0 1 2 9 1 .1 1 3 ,1 .0 1 2 1 0 1 .1 2 7，lg1 .2 0 .0 7 9，lg2 0 .3 0 1 0，lg1 .0 1 2 0 .0 0 5，lg1 .0 0 9 0 .0 0 3 9 ) 思路点拨 课堂笔记(1 )1年后该城市人口总数为y1 0 01 0 01 .2 %1 0 0(11 .2 %).2年后该城市人口总数为y1 0 0(11 .2 %)1 0 0(11 .2 %)1 .2 %1 0 0(11 .2 %)2 .3年后该城市人口总数为y1 0 0(11 .2 %)21 0 0(11 .2 %)21 .2 %1 0 0(11 .2 %) 3 . x年后该城市人口总数为：y1 0 0(11 .2 %)x.(2 )1 0年后人口总数为1 0 0(11 .2 %)1 0 1 1 2 .7 (万人).(3 )设x年后该城市人口将达到1 2 0万人，即1 0 0(11 .2 %) x1 2 0，xlog1 .0 1 2 log1 .0 1 2 1 .2 0 1 6 (年). (4 )由1 0 0(1x%)2 0 1 2 0，得(1x%)2 0 1 .2，两边取对数得2 0 lg(1x%)lg1 .20 .0 7 9，所以lg(1x%) 0 .0 0 3 9 5，所以1x%1 .0 0 9，得x0 .9 %，即年自然增长率应该控制在0 .9 %. 高考数学应用题的命题背景常常关注一些与现实生活中密切相关的人文性问题，人口现状、失学儿童的求助、世界环保、人文与社会，这些源于生活而应用于生活的命题形式，是高考命题的首选.0 9年浙江高考以与居民生活密切相关的生活用电问题为背景考查了函数在实际问题中的应用，是高考的一个新的考查方向. 考题印证 (2 0 0 9 浙江高考)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668 低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为2 0 0千瓦时，低谷时间段用电量为1 0 0千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元(用数字作答). 【解析】高峰时段电费a5 00 .5 6 8(2 0 05 0 )0 .5 9 81 1 8 .1 (元). 低谷时段电费b5 00 .2 8 8(1 0 05 0 )0 .3 1 8 3 0 .3 (元).故该家庭本月用电量为ab1 4 8 .4 (元).【答案】1 4 8 .4 自主体验 据调查，某地区1 0 0万从事传统农业的农民人均年收入为3 0 0 0元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作.据估计，如果有x(x0 )万农民进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2 x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3 0 0 0 a元(a1 ). (1 )在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围； (2 )在(1 )的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这1 0 0万农民的人均年收入达到最大. 解：(1 )由题意得(1 0 0 x)3 0 0 0 (12 x%)1 0 03 0 0 0，即x25 0 x0，解得0 x5 0，又 x0， 0 x5 0 .(2 )设这1 0 0万农民的人均年收入为y元，则y x2 5 (a1 ) 23 0 0 03 7 5 (a1 )2 (0 x5 0 ). 又 a1， 2 5 (a1 )5 0，又函数y在(0 ,5 0 上单调递增，当x5 0时，y最大.答：安排5 0万人进入企业工作，才能使这1 0 0万人的人均年收入最大. 1 .某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分)与细 胞数n(单位：个)的部分数据如下：t 0 20 60 140n 1 2 8 128 根据表中数据，推测繁殖到1 0 0 0个细胞时的时刻t最接近于 ()A.2 0 0B.2 2 0C.2 4 0 D.2 6 0解析：由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n ，令n1 0 0 0，得 1 0 0 0，又2 1 01 0 2 4，所以时刻t最接近2 0 0分.答案：A 2 .某企业去年销售收入1 0 0 0万元，年成本分为年生产成 本5 0 0 万元与年广告费成本2 0 0万元两部分.若利润的 P%为国税且年广告费超出年销售收入2 %的部分也必 须按P%征国税， 其他不纳税，已知该企业去年共纳 税1 2 0万元，则税率P%为 () A.1 0 % B.1 2 % C.2 5 % D.4 0 % 解析：(1 0 0 05 0 02 0 0 )P%(2 0 01 0 0 02 %)P%1 2 0，所以P%2 5 %.答案：C 3 .某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对 象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： 其中x代表拟录用人数，y代表 面试对象人数.若应聘的面试对象人数为6 0人，则该公 司拟录用人数为 ( ) A.1 5 B.4 0 C.2 5 D.3 0 解析：根据分段函数关系，面试对象人数为6 0即y6 0，则应用y2 x1 06 0，可得x2 5，即该公司拟录用人数为2 5 .答案：C 4 .某超市销售一种奥运纪念品，每件售价1 1 .7元，后来，此 纪念品的进价降低了6 .4 %，售价不变，从而超市销售这种 纪念品的利润提高了8 %.则这种纪念品的原进价是 元.解析：设原进价为x元，则依题意有(1 1 .7x)(18 %)1 1 .7(16 .4 %)x，解得x6 .5 .答案：6 .5 5 .一辆汽车在某段路程中的行驶 速度v与时间t的关系如图所 示，则该汽车在前3小时内行驶 的路程为km，假设这辆 汽车的里程表在汽车行驶这段 路程前的读数为2 0 0 8 km，那么 在t 1 ,2 时，汽车里程表读数 S与时间t的函数解析式为. 解析：汽车在前3小时内行驶的路程为三个矩形的面积5 018 019 012 2 0；当t1时，汽车的里程表读数为2 0 0 85 02 0 5 8，则t 1 ,2 时，汽车的里程表读数为S2 0 5 88 0 (t1 )8 0 t1 9 7 8，故t 1 ,2 时，汽车的里程表读数S与时间t的函数解析式为S8 0 t1 9 7 8 .答案：2 2 0S8 0 t1 9 7 8 6 .(2 0 1 0 淄博模拟)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的 规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得 到甲、乙两图： 甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条.乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年3 0个减少到第6年1 0个.请你根据提供的信息说明：(1 )第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.(2 )到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由.(3 )哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由. 解：由题意可知，图甲图象经过(1 ,1 )和(6 ,2 ) 两点，从而求得其解析式为y甲0 .2 x0 .8，图乙图象经过(1 ,3 0 )和(6 ,1 0 )两点.从而求得其解析式为y乙4 x3 4 .(1 )当x2时，y甲0 .220 .81 .2，y乙423 42 6，y甲y乙1 .22 63 1 .2所以第2年鱼池有2 6个，全县出产的鳗鱼总数为3 1 .2万条.(2 )第1年出产鱼13 03 0 (万条)，第6年出产鱼21 02 0 (万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了. (3 )设当第m年时的规模，即总出产是量为n，那么ny甲y乙(0 .2 m0 .8 )(4 m3 4 )0 .8 m23 6 m2 7 .20 .8 (m24 .5 m3 4 )0 .8 (m2 .2 5 )23 1 .2 5因此，当m2时，n最大值为3 1 .2 .即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为3 1 .2万条.
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