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名 师 伴 你 行 名 师 伴 你 行 返 回 目 录 名 师 伴 你 行空 间 中 的 平行 关 系 1.通 过 直 观 感 知 、 操 作 确 认 ， 归 纳 出 直线 与 平 面 平 行 、 平 面 与 平 面 平 行 的 判 定定 理 .2.通 过 直 观 感 知 、 操 作 确 认 ， 归 纳 出 直线 与 平 面 平 行 、 平 面 与 平 面 平 行 的 性 质定 理 并 加 以 证 明 . 名 师 伴 你 行 空 间 线 线 平 行 、 线 面 平 行 、 面 面 平 行 的 判 断 证 明 除在 客 观 试 题 中 以 命 题 真 假 判 断 形 式 出 现 外 ， 多 数 在 解 答题 中 考 查 ， 难 度 不 大 ， 一 般 利 用 判 定 定 理 或 性 质 定 理 即可 证 明 . 返 回 目 录 返 回 目 录 1.直 线 与 平 面 平 行(1)一 条 直 线 和 一 个 平 面 的 位 置 关 系 有 且 只 有 以 下 三 种 : 名 师 伴 你 行 位 置 关 系 直 线 a在 平 面 内 直 线 a与 平 面 相 交 直 线 a与 平 面 平 行公 共 点 有 无 数 个 公 共 点 有 且 只 有 一 个 公 共 点 没 有 公 共 点符 号 表 示图 形 表 示 返 回 目 录 a a=A a 名 师 伴 你 行 返 回 目 录 (2)直 线 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 :如 果 的 一 条 直 线 和 的 一条 直 线 平 行 ,那 么 这 条 直 线 和 这 个 平 面 平 行 .(3)直 线 和 平 面 平 行 的 性 质 定 理 :如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 平 行 ,经 过 这 条 直 线 的 平 面 和 这个 平 面 相 交 ,那 么 这 条 直 线 就 和 两 平 面 的 平 行 .不 在 一 个 平 面 内 平 面 内 交 线 名 师 伴 你 行 返 回 目 录 2.空 间 两 个 平 面 的 位 置 关 系位 置 关 系 图 形 表 示 符 号 语 言 公 共 点 个 数两 平 面平 行 无两 平 面相 交 =a 有 一 条 公 共 直 线 名 师 伴 你 行 返 回 目 录 3.两 个 平 面 平 行 的 判 定 定 理1.定 理 :如 果 一 个 平 面 内 有 两 条 直 线 平 行 于 另一 个 平 面 ,那 么 这 两 个 平 面 平 行 .2.推 论 :如 果 一 个 平 面 内 有 两 条 分 别 平 行 于 另一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 ,则 这 两 个 平 面 平 行 .4.两 个 平 面 平 行 的 性 质 定 理如 果 两 个 平 行 平 面 同 时 与 相 交 ， 那 么 它们 的 交 线 平 行 .5.三 个 平 面 平 行 的 性 质两 条 直 线 被 三 个 平 行 平 面 所 截 ， 截 得 的 成 比例 . 对 应 线 段 相 交 相 交 直 线 第 三 个 平 面 名 师 伴 你 行 名 师 伴 你 行 2009年 高 考 福 建 卷 设 m,n是 平 面 内 的 两 条 不 同 直线 ,l1,l2是 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 ， 则 的 一 个 充 分而 不 必 要 条 件 是 ( )A.m 且 l 1 B.m l1且 n l2C.m 且 n D.m 且 n l2 返 回 目 录 名 师 伴 你 行 【 解 析 】 m l1,且 n l2,又 l1,l2是 平 面 内 的 两 条 相交 直 线 , ,而 当 时 不 一 定 推 出 m l1且 n l2. 故 应 选 B.【 分 析 】 把 选 项 逐 个 代 入 检 验 . 返 回 目 录 名 师 伴 你 行 本 考 点 主 要 在 客 观 试 题 中 考 查 线 面 平 行 、 面 面 平 行的 判 定 与 性 质 的 应 用 ， 作 为 客 观 试 题 判 断 每 一 个 命 题 时 ，一 是 要 注 意 判 定 与 性 质 定 理 中 易 忽 视 的 条 件 ， 如 线 面 平行 ， 需 条 件 线 在 面 外 ； 二 是 结 合 题 意 作 出 图 形 ； 三 会 举反 例 或 反 证 法 推 断 命 题 是 否 正 确 . 返 回 目 录 名 师 伴 你 行， ， 是 三 个 平 面 ,a,b是 两 条 直 线 ， 有 下 列 三 个 条 件 ： a ,b ; a ,b ; b ,a .如 果 命 题 “ =a,b ,且 ， 则 a b” 为 真 命题 ， 则 可 以 在 横 线 处 填 入 的 条 件 是 ( )A. 或 B. 或 C. 或 D.只 有 返 回 目 录 名 师 伴 你 行 【 解 析 】 中 ， a ,a ,b ,=b a b（ 线面 平 行 的 性 质 ） . 中 ， b ,b ,a ,=a a b（ 线 面 平 行 的 性 质 ） . 故 应 选 C. 返 回 目 录 如 图 ， 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中 ， 侧 面 对 角 线 AB1，BC1上 分 别 有 两 点 E， F， 且 B1E=C1F， 求 证 ： EF 平 面ABCD.【 分 析 】 用 线 面 平 行 的 判 定定 理 来 证 ,或 用 面 面 平 行 的 性质 定 理 来 证 . 名 师 伴 你 行返 回 目 录 【 证 明 】 证 法 一 ： 分 别 过 E， F作 EM AB于 M， FN BC于 N， 连 结 MN. BB1 平 面 ABCD， BB1 AB,BB1 BC, EM BB1,FN BB1, EM FN.又 B1E=C1F， EM=FN，故 四 边 形 MNFE是 平 行 四 边 形 , EF MN.又 MN在 平 面 ABCD中 ， EF 平 面 ABCD. 名 师 伴 你 行返 回 目 录 证 法 二 ： 过 E作 EG AB交 BB1于 G， 连 结 GF，则 , B1E=C1F,B1A=C1B, , FG B1C1 BC.又 EGFG=G， ABBC=B, 平 面 EFG 平 面 ABCD，而 EF 平 面 EFG， EF 平 面 ABCD. BB GBAB EB 1111 = BB GBBC FC 1111 = 名 师 伴 你 行 返 回 目 录 判 断 或 证 明 线 面 平 行 的 常 用 方 法 有 ： 利 用 线 面平 行 的 定 义 （ 无 公 共 点 ） ； 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理（ a ,b ,a b a ） ; 利 用 面 面 平 行 的 性 质定 理 （ ,a a ） ; 利 用 面 面 平 行 的 性 质（ ,a / ,a / ,a a ） . 名 师 伴 你 行返 回 目 录 如 图 所 示 ， 矩 形 ABCD和 梯 形 BEFC有 公 共 边BC,BE CF, BCF=90 ,求 证 ： AE 平 面 DCF. 名 师 伴 你 行返 回 目 录 【 证 明 】 过 点 E作 EG CF交 CF于 G， 连 结 DG,可 得四 边 形 BCGE为 矩 形 .又 ABCD为 矩 形 ，所 以 AD EG,从 而 四 边 形 ADGE为 平 行 四 边 形 ，故 AE DG.因 为 AE 平 面 DCF,DG 平 面 DCF,所 以 AE 平 面 DCF. 名 师 伴 你 行 返 回 目 录 求 证 :若 两 个 相 交 平 面 都 平 行 于 一 条 直 线 ,则 它 们 的 交 线也 平 行 于 这 条 直 线 .利 用 线 面 平 行 的 性 质 定 理 可 证 线 线 平 行 . 名 师 伴 你 行返 回 目 录 已 知 :=b, a, a,求 证 :a b. 证 明 :证 法 一 :如 图 ,过 a作 平 面 =c,由 a 得 a c. 同 理 过 a作 平 面 =d,则 a d,于 是 c d.又 c ,d ,所 以 c .又 =b,c ,所 以 c b.又 a c,所 以 a b. 名 师 伴 你 行返 回 目 录 如 图 ,在 b上 任 取 一 点 A,过 A和 a作 平 面 和 相 交 于l1,和 相 交 于 l2,因 为 a ,所 以 a l1.因 为 a ,所 以 a l2.但 过 一 点 只 能 作 一 条直 线 与 另 一 条 直 线 平行 ,所 以 l1与 l2重 合 .又 因 为 l 1 ,l2 ,所 以 l1和 l1重 合 于 b,所 以 a b. 名 师 伴 你 行 返 回 目 录 应 用 线 面 平 行 的 性 质 定 理 时 ,应 着 力 寻 找 过 已 知 直线 的 平 面 与 已 知 平 面 的 交 线 ,有 时 为 了 得 到 交 线 还 需 作出 辅 助 平 面 .证 法 二 中 用 到 了 结 论 “ 过 直 线 外 一 点 有 且只 有 一 条 直 线 和 这 条 直 线 平 行 ” . 名 师 伴 你 行返 回 目 录 如 图 ， 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 点 P是 平 面 ABCD外 一 点 ， M是 PC的 中 点 ， 在 DM上 取 一 点 G， 过 G和 AP作 平 面 交 平 面 BDM于 GH.求 证 ： AP GH. 【 证 明 】 如 图 ， 连 接 AC交 BD于 O， 连 接 MO. 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， O是 AC中 点 ， 又 M是 PC的 中 点 ， AP OM.则 有 PA 平 面 BMD.（ 根 据 直 线 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 ） 平 面 PAHG平 面 BMD=GH, PA GH.（ 根 据 直 线 和 平 面 平 行 的 性 质 定 理 ） 名 师 伴 你 行返 回 目 录 如 图 ， 已 知 ABCDA1B1C1D1是 棱 长 为 3的 正 方 体 ， 点 E在 AA1上 ，点 F在 CC1上 ， 点 G在 BB1上 ， 且AE=FC1=B1G=1,H是 B1C1的 中 点 .（ 1） 求 证 ： E,B,F,D1四 点 共 面 ；（ 2） 求 证 ： 平 面 A1GH 平 面 BED1F. 名 师 伴 你 行返 回 目 录 【 证 明 】 （ 1） AE=B1G=1, BG=A1E=2, BG A1E, A1G BE.又 同 理 ， C1F B1G, 四 边 形 C1FGB1是 平 行 四 边 形 ， FG C1B1 D1A1, 四 边 形 A1GFD1是 平 行 四 边 形 . A1G D1F, D1F EB,故 E,B,F,D1四 点 共 面 . 【 分 析 】 （ 1） 只 需 证 明 BE D1F或 BF D1E， 即 可证 明 B,E,D1,F共 面 ；（ 2） 利 用 面 面 平 行 的 判 定 条 件 证 明 . 名 师 伴 你 行返 回 目 录 （ 2） H是 B1C1的 中 点 ， B1H= .又 B1G=1, .又 ,且 FCB= GB1H=90 , B1HG CBF, B1GH= CFB= FBG, HG FB.又 由 （ 1） 知 A 1G BE,且 HGA1G=G,FBBE=B, 平 面 A1GH 平 面 BED1F.32HB GB11 23 名 师 伴 你 行32BCFC 返 回 目 录 平 面 与 平 面 平 行 问 题 （ 1） 在 平 面 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 中 ， “ 两 条 相 交 直 线 ”中 的 “ 相 交 ” 两 个 字 不 能 忽 略 ， 否 则 结 论 不 一 定 成 立 . （ 2） 若 由 两 个 平 面 平 行 来 推 证 两 条 直 线 平 行 ， 则 这 两 条直 线 必 须 是 这 两 个 平 行 平 面 与 第 三 个 平 面 的 交 线 ， 有 时 候 第三 个 平 面 需 要 作 出 来 . （ 3） 平 面 与 平 面 平 行 的 判 定 方 法 依 定 义 ， 采 用 反 证 法 . 用 判 定 定 理 及 推 论 . 用 “ 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平 面 平 行 ” 这 一 性 质 证明 . 名 师 伴 你 行返 回 目 录 如 图 ， 已 知 ， 异 面 直 线 AB,CD和 平 面 ,分 别 交 于A,B,C,D四 点 ， E,F,G,H分 别 是 AB,BC,CD,DA的 中 点 .求 证 ：（ 1） E,F,G,H共 面 ;（ 2） 平 面 EFGH 平 面 . 名 师 伴 你 行返 回 目 录 （ 1） E,H分 别 是 AB,DA的 中 点 ， EH BD且 EH= BD.同 理 ， FG BD且 FG= BD， FG EH且 FG=EH. 四 边 形 EFGH是 平 行 四 边 形 ， 即 E,F,G,H共 面 .21 21 名 师 伴 你 行返 回 目 录 (2)平 面 ABD和 平 面 有 一 个 公 共 点 A， 设 两 平 面交 于 过 点 A的 直 线 AD. ， AD BD. 又 BD EH, EH BD AD. EH 平 面 ，EH 平 面 . 同 理 ， EF 平 面 ， EF 平 面 . 平 面 EFGH 平 面 . 名 师 伴 你 行返 回 目 录 名 师 伴 你 行 返 回 目 录 返 回 目 录 名 师 伴 你 行 名 师 伴 你 行
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