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13.1 三 角 形 中 的 边 角 关 系第 13章 三 角 形 中 的 边 角 关 系 、 命 题 与 证 明3.三角形中几条重要线段 1.了 解 三 角 形 的 角 平 分 线 、 中 线 与 高 的 概 念 ， 会 用 工具 准 确 画 出 三 角 形 的 角 平 分 线 、 中 线 与 高 ;（ 重 点 ）2. 学 会 用 数 学 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力 ， 发 展 应 用和 自 主 探 究 意 识 ， 并 培 养 学 生 的 动 手 实 践 能 力 ;（ 难 点 ）学习目标 复习回顾导入新课 定 义 图 示垂 线线 段中 点角 平分 线 O B AA B当 两 条 直 线 相 交 所 成 的 四 个 角 中 ， 有一 个 角 是 直 角 时 ， 就 说 这 两 条 直 线 互相 垂 直 ， 其 中 一 条 直 线 叫 做 另 一 条 直线 的 垂 线把 一 条 线 段 分 成 两 条 相 等 的 线 段 的 点一 条 射 线 把 一 个 角 分 成 两 个 相 等 的角 ， 这 条 射 线 叫 做 这 个 角 的 平 分 线 这 里 有 一 块 三 角 形 的 蛋 糕 ， 如 果 兄 弟 两 个 想要 平 分 的 话 ， 你 该 怎 么 办 呢 ？情境引入 三角形的角平分线一问 题 1 如 图 ， 若 BD是 ABC的 平 分 线 ，你 能 得 到 什 么 结 论 ？ A DCB ABD= DBC 问 题 2 如 图 ， 若 BD是 ABC的 角 平 分 线 ，你 能 得 到 什 么 结 论 ？ AB CD想 一 想 ： 三 角 形 的 角 平 分 线 与角 的 角 平 分 线 相 同 吗 ?相 同 点 是 ： ABD= DBC;不 同 点 是 ： 前 者 是 线 段 ， 后 者 是 射 线 .讲授新课合作探究 ABD= DBC 问 题 4： 请 画 出 这 个 三 角 形 的 另 外 两 条 角 平 分 线 ,你发 现 了 什 么 ？三 条 角 平 分 线 交 于 一 点 AB CD EF问 题 3： 一 个 三 角 形 有 几 条 角 平 分 线 ？ 3 思 考 ： 观 察 直 角 三 角 形 、 钝 角 三 角 形 的 三 条 角 平分 线 ， 你 又 有 什 么 发 现 ？三 角 形 的 三 条 角 平 分 线 交 于 一 点 称 之 为 三 角 形 的 内 心 （ 后 面 学 到 ） 例 1： 如 图 ， DC平 分 ACB， DE BC, AED=80 ， 求 ECD的 度 数 .解 ： DC平 分 ACB,又 DE BC,典例精析 AED= ACB=80 . ECD=40 . ECD= BCD= ACB.12 三角形的中线二问 题 1 如 图 ， 如 果 点 C是 线 段 AB的 中 点 ， 你 能 得 到 什 么 结 论 ？A C BAC=BC= AB12问 题 2 如 图 ， 如 果 点 D是 线 段 BC的 中 点 ， 那 么 线 段 AD称 为 ABC的 什 么 呢 ？ 类 比 一 下 . AB CD B CA三 角 形 的 中 线 AD是 ABC的 中 线 ， BD = CD = BC. 在 三 角 形 中 ， 连 接 一 个 顶 点 与 它 对 边 中点 的 线 段 ， 叫 做 这 个 三 角 形 的 中 线 . D21知识归纳 画 一 画 ： 如 图 ， 分 别 画 出 锐 角 三 角 形 、 直 角 三 角 形 、 钝 角 三 角 形的 三 条 中 线 ， 并 观 察 它 们 中 线 的 交 点 有 什 么 规 律 ？u画 图 发 现三 角 形 的 三 条 中 线 交 于 三 角 形 内 部 一 点 .这 一 点 我 们 称 为 三角 形 的 重 心 .AB C AB C AB CD EF D DEF EFO O O 例 2 如 图 ， CD为 ABC的 AB边 上 的 中 线 ， BCD的 周长 比 ACD的 周 长 大 3cm ， BC=8cm ， 求 边 AC的 长 解 ： CD为 ABC的 AB边 上 的 中 线 ， AD=BD， BCD的 周 长 比 ACD的 周 长 大 3cm ， （ BC+BD+CD） -（ AC+AD+CD） =3， BC-AC=3， BC=8， AC=5典例精析方 法 总 结 ： 一 边 上 的 中 线 把 原 三 角 形 分 成 两 个 三 角 形 ， 这 两个 三 角 形 的 周 长 差 等 于 原 三 角 形 其 余 两 边 的 差 , 【 变 式 题 】 在 ABC中 ， AB=AC， DB为 ABC的 中线 ， 且 BD将 ABC周 长 分 为 12cm 与 15cm 两 部 分 ， 求三 角 形 各 边 长 解 ： 如 图 ， DB为 ABC的 中 线 ， AD=CD，设 AD=CD=x， 则 AB=2x，当 x+2x=12， 解 得 x=4.BC+x=15， 得 BC=11.此 时 ABC的 三 边 长 为 AB=AC=8， BC=11；当 x+2x=15， BC+x=12， 解 得 x=5， BC=7，此 时 ABC的 三 边 长 为 AB=AC=10， BC=7注 意 分类 讨 论 三角形的高三问 题 1 什 么 是 三 角 形 的 高 ？ 怎 样 画 三 角 形 的 高 ？u定 义 如 图 ， 从 ABC的 顶 点 A向 它 所 对 的 边 BC所 在 直 线画 垂 线 ， 垂 足 为 D,所 得 线 段 AD叫 做 ABC的 边 BC上 的 高 .问 题 2 由 三 角 形 的 高 你 能 得 到 什 么 结 论 ？ ADB= ADC=90 AB CD垂 足注 意 :标 明 垂 直 的 记 号 和 垂 足 的 字 母 . 高 的 叙 述 方 法 （ 如 图 ） ： 有 三 种 . AD BC,垂 足 为 D. 点 D在 BC上 ， 且 BDA= CDA=90 . AD是 ABC的 高 . AB CD 锐 角 三 角 形 的 三 条 高问 题 1 每 人 画 一 个 锐 角 三 角 形 .(1) 你 能 画 出 这 个 三 角 形 的 三 条 高 吗 ?(2) 这 三 条 高 之 间 有 怎 样 的 位 置 关 系 ？ O问 题 2 锐 角 三 角 形 的 三 条 高 是 在 三 角 形 的 内 部 还 是 外 部 ?AB CD EF锐 角 三 角 形 的 三 条 高 交 于 同 一 点 .锐 角 三 角 形 的 三 条 高 都 在 三 角 形 的 内 部 .探究交流 直 角 三 角 形 的 三 条 高问 题 ： 在 纸 上 画 出 一 个 直 角 三 角 形 .(1)画 出 直 角 三 角 形 的 三 条 高 .直 角 边 BC边 上 的 高 是 _;AB直 角 边 AB边 上 的 高 是 CB(2)它 们 有 怎 样 的 位 置 关 系 ？斜 边 AC边 上 的 高 是 _.BD 直 角 三 角 形 的 三 条 高 交 于 直 角 顶 点 . A B CD EF钝 角 三 角 形 的 三 条 高问 题 ：(1) 钝 角 三 角 形 的 三 条 高 交 于 一 点 吗 ？(2)它 们 所 在 的 直 线 交 于 一 点 吗 ？钝 角 三 角 形 的 三 条 高 不 相 交 于 一 点钝 角 三 角 形 的 三 条 高 所 在 直 线 交 于一 点 三 角 形 的 三 条 高 的 特 性高 所 在 的 直 线 是 否 相 交高 之 间 是 否 相 交高 在 三 角 形 内 部 的 数 量 钝 角 三 角 形直 角 三 角 形锐 角 三 角 形3 1 1相 交 相 交 不 相 交相 交 相 交 相 交三 条 高 所 在 直 线的 交 点 的 位 置 三 角 形内 部 直 角 顶 点 三 角 形外 部归纳总结 【 方 法 总 结 】 面 积 法 的 应 用 ： 若 涉 及 两 条 高 求 长 度 ， 一 般 需结 合 面 积 (但 不 求 出 面 积 )， 利 用 三 角 形 面 积 的 两 种 不 同 表 示方 法 列 等 式 求 解 .例 3： 如 图 所 示 ， 在 ABC中 ， AB AC 5， BC 6，AD BC于 点 D， 且 AD 4， 若 点 P在 边 AC上 移 动 ， 求BP的 最 小 值 .解 ： 根 据 垂 线 段 最 短 ， 可 知 当 BP AC时 ， BP有 最 小 值 由 ABC的 面 积 公 式 可 知 , ADBC BPAC.1212代 入 数 值 ， 可 解 得 BP .245 问 题 1 如 图 所 示 ， 在 ABC中 ， AD是 ABC的 中线 ， AE是 ABC的 高 试 判 断 ABD和 ACD的 面积 有 什 么 关 系 ？ 为 什 么 ？ B CD EA相 等 ， 因 为 两 个 三 角 形 等 底 同高 ， 所 以 它 们 面 积 相 等 .问 题 2 通 过 问 题 1你 能 发 现 什 么 规 律 ？三 角 形 的 中 线 能 将 三 角 形 的 面 积 平 分 .探究交流 例 4： 如 图 ， 在 ABC中 ， E是 BC上 的 一 点 ， EC 2BE， 点D是 AC的 中 点 ， 设 ABC， ADF和 BEF的 面 积 分 别 为S ABC， S ADF和 S BEF， 且 S ABC 12， 求 S ADF S BEF的 值 . S ABD S ABE (S ADF S ABF) (S ABF S BEF) S ADF S BEF，即 S ADF S BEF S ABD S ABE 6 4 2.解 ： 点 D是 AC的 中 点 ， AD AC.12 S ABC 12， S ABD S ABC 6.12 EC 2BE， S ABC 12， S ABE S ABC 4.13【 方 法 总 结 】 三 角 形 的 中 线 将 三 角 形 分 成 面 积 相 等 的 两 部 分 ； 高 相等 时 ， 面 积 的 比 等 于 底 边 的 比 ； 底 相 等 时 ， 面 积 的 比 等 于 高 的 比 定义四观 察 下 列 语 句 ：1.无 限 不 循 环 小 数 称 为 无 理 数 ；2.两 条 边 相 等 的 三 角 形 叫 做 等 腰 三 角 形 ；3.三 角 形 中 ， 一 个 角 的 平 分 线 与 这 个 角 对 边 相 交 ， 顶 点 与交 点 之 间 的 线 段 叫 做 三 角 形 的 角 平 分 线 .像 这 样 能 明 确 界 定 某 个 对 象 含 义 的 语 句 叫 做 定 义 请 你 举 出 你 所 熟 知 的 一 些 定 义 例 子 . 例 如 :1.“ 具 有 中 华 人 民 共 和 国 国 籍 的 人 ,叫 做 中 华 人 民 共 和 国公 民 ” 是 “ 中 华 人 民 共 和 国 公 民 ” 的 定 义 ;2. “ 两 点 之 间 线 段 的 长 度 ,叫 做 这 两 点 之 间 的 距 离 ” 是“ 两 点 之 间 的 距 离 ” 的 定 义 ;3.“ 在 一 个 方 程 中 ,只 含 有 一 个 未 知 数 ,并 且 未 知 数 的 指数 是 1,这 样 的 方 程 叫 做 一 元 一 次 方 程 ” 是 “ 一 元 一 次 方程 ” 的 定 义 . 当堂练习如 果 一 个 三 角 形 的 三 条 高 的 交 点 恰 是 三 角 形 的 一 个 顶 点 ， 那 么 这 个 三 角 形 是 （ ）A.锐 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.钝 角 三 角 形 D.锐 角 三 角 形1.下 列 各 组 图 形 中 ， 哪 一 组 图 形 中 AD是 ABC 的 高 ( )A D CB A BC D ABC D ABCDA B C DB D 3.如 图 ,在 ABC中 , 1= 2,G为 AD中 点 ,延 长 BG交 AC于E,F为 AB上 一 点 ,CF AD于 H,判 断 下 列 说 法 的 正 误 . AB CD E1 2F GH AD是 ABE的 角 平 分 线 ( ) BE是 ABD边 AD上 的 中 线 ( ) BE是 ABC边 AC上 的 中 线 ( ) CH是 ACD边 AD上 的 高 ( ) 4. 如 图 ， ABC中 ， AD是 BC边 上 的 中 线 ， 若 ABC的 周 长为 35cm ， BC=11cm ， 且 ABD与 ACD的 周 长 之 差 为 3cm ， 求AB与 AC的 长 .A C D B解 ： AD是 ABC的 中 线 ， CD=BD. ABC的 周 长 为 35cm ， BC=11cm ， AC+AB=35-11=24（ cm ） .又 ABD与 ACD的 周 长 之 差 为 3cm , AB-AC=3， AB=13.5cm ,AC=10.5cm . 5. 如 图 ， 在 ABC中 ， AD是 ABC的 高 ， AE是 ABC的 角平 分 线 ， 已 知 BAC=82 ， C=40 ， 求 DAE的 大 小 .解 ： AD是 ABC的 高 ， ADC 90 . ADC+ C+ DAC=180 ， DAC=180 ( ADC+ C) =180 90 40=50 . AE是 ABC的 角 平 分 线 ， 且 BAC=82 ， CAE= BAC=41 ， 21 DAE= DAC CAE=50 41 = 9 .AB CD E 课堂小结三 角 形 重要 线 段 高 钝 角 三 角 形 两 短 边 上 的 高 的 画 法中 线 会 把 原 三 角 形 面 积 平 分一 边 上 的 中 线 把 原 三 角 形 分 成 两 个 三角 形 ， 这 两 个 三 角 形 的 周 长 差 等 于 原三 角 形 其 余 两 边 的 差 ,面 积 相 等角 平 分 线
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