高中数学《数系的扩充和复数的概念》文字素材1新人教A版选修1-2

复数中的几个结论及共应用数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立， 又有哪些新的公式和法则， 是同学们不易弄清的问题， 以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.一 、 中 点 公 式 ： A 点 对 应 的 复 数 为 a1 b1 i (a1R， b1 R ) ， B 点 对 应 的 复 数 为a2b2i (a2R ，b2 R ) ， C 点为 A， B 两点的中点，则C 点对应的复数为a1 b1i a2 b2i ，2即 a1a2b1 b2 i 22例 1四边形 ABCD 是复平面内的平行四边形，A，B，C 三点对应的复数分别为1 3i， i，2 i ，求 D 点对应的复数解：由已知应用中点公式可得A，C 的中点对应的复数为3，所以 D 点对应的复数2i23为 22 2 ( 1)i 3 5i2二、根与系数的关系： 若实系数方程ax2bx c 0(a0) 的两复根为 a1b1 i ， a2b2 i ，则有 a1bi1a2b2ib ， (a1b1i )(a2b2i )c aa推论：若实系数方程ax2bxc0(a0) 有两虚数根，则这两个虚数根共轭例 2方程 x2axb0的一个根为 1i ，求实数 a ， b 的值解：已知实系数方程的一个根为1i ，由推论知方程的另一根为1i ，由根与系数的关系可知 a(1i 1i )2 ， b(1 i )(1i )2 三 、 相 关 运 算 性 质 ： z 为 实 数z zz20z22z ， z 为 纯 虚 数z20zz 0( z0)；对任意复数有zz； z1z2z1z2； zzzz，特1212别地有 z2( z)2z1z12zz ； zz2z2例 3设 z1 ，且zi ，求证z为实数21z证明：由条件可知 z0 ，则 zz21，z所以 z1z 1 ，zzzzz 1z，21z21z21 (z)21( z1)2z2z1z1所以z为实数1z2用心爱心专心1四、两则几何意义：zz0 的几何意义为点z 到点 z0 的距离；zz0r (r0) 中 z所对应的点为以复数z0 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点例 4若 zC ，且 z22i1 ，则 z22i 的最小值为解： z22i1 即 z( 22i )1， z 对应的点为到点( 2，2) 的距离为定值1 的所有的点，即以( 2，2) 为圆心， 1 为半径的圆O 上的点z22i 即 z(22i ) ，为圆 O 上的点与点 (2，2) 之间的距离减去圆O 的半径，可得结果为3复数与平行四边形家族菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径 在求解复数问题时， 要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法下面略举几例，以供参考一、复数式与长方形的转化2例 1复数 z1， z2满足 z1z2 0， z1 z2z1z2 ，证明： z10 z22解析：设复数z1 ， z2 在复平面上对应的点为Z1 ， Z 2 ，由 z1z2z1z2 知，以 OZ1 ，OZ 2为邻 边的平行四边形为矩形， OZ1OZ2z1ki (kR， k0) ，所 以，故可 设z2z 22 2212k 1k0z2例 2已知复数 z1， z2 满足 z17 1 ， z27 1 ，且 z1z24 ，求 z1与 z1z2 的z2值解析：设复数 z1 ， z2在复平面上对应的点为Z1 ， Z 2 ，由于 (71)2( 71)242 ，故z12z22z1 z22，故 以 OZ1， OZ2为 邻 边 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 ， 从 而 OZ1OZ 2 ， 则z1714i7z1 z2 4 z27i3； z1 z21二、复数式与正方形的转化用心爱心专心2例 3 已知复数 z1， z2 满足 z1z2 1，且 z1z22 ，求证： z1z22证明：设复数 z1， z2 在复平面上对应的点为Z1， Z2，由条件知 z1z22 z12 z2 ，以 OZ1 ，OZ2 为邻边的平行四边形为正方形，而 z1z2 在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以 z1 z22 点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义， 复数加法几何意义的运用是本题考查的重点三、复数式与菱形的转化例 4已知 z1，z2 C ， z1z21， z1z23 ，求 z1 z2 解析：设复数z1， z2 ， z1 z2在复平面上对应的点为Z1， Z2， Z3 ，由 z1z21 知，以2222za；OZ1OZ 2 za za，考虑到 za 时，z2a20，为邻边的平行四边形是菱形，22z2a2zza2 无意义，故使2 (a0) 为纯虚数的充要条件是za ，且 za ，ai 时， 2az2azzai 复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活用心爱心专心3