人教版初中数学--第七章 平面直角坐标系

7.1 平面直角坐标系7.2 坐标方法的简单应用第七章 平面直角坐标系 7.1 平面直角坐标系 7.1.1 有序数对 我们都有去影院看电影的经历，你一定知道，影剧院对观众席的所有座位都按“几排几号”编号，以便确定每一个座位在影剧院中的位置，这样，观众就能根据入场券上的“排数”和“号数”准确地“对号入座”。 假设根据教室平面图写成如下通知，你知道哪些同学参加讨论吗？ “请以下座位的同学今天放学后参加数学问题讨论：（1,5）；（2,4）；（4,2）；”（2,4）和（4,2）在同一位置吗？ 7.1.1 有序数对 怎样确定教室里座位的位置？排数和列数的先后顺序对位置有影响吗？ 上面的问题都是通过像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前边的表示“排数”，后面的表示“号数”，我们把这种有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b)。 利用有序数对，可以准确地表示出一个位置，生活中利用有序对表示位置的情况是很常见的，你能举出些例子吗？ 练习：如图，甲处表示2街与5巷的十字路口，乙处表示5街与2巷的十字路口，如果用（2,5）表示甲处的位置，请用有序数对的形式写出从甲到乙的路线。 7.1.2 平面直角坐标系 图7.1-2 是一条数轴，数轴上的点与实数是一 一对应的，数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标。例如，点A在数轴上的坐标为-4，点B在数轴上的坐标为2.反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了，例如，数轴上坐标为5的点是点C. 类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢？例如7.1-3 7.1.2 平面直角坐标系 如图 7.1-4 ，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴成为X轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。例如，如图 7.1-4 ，由点A分别向X轴和y轴作垂线，垂足M在X轴上的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对（3,4）就叫做点A的坐标，记作A（3,4）. 7.1.2 平面直角坐标系 思考：原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？ 可以看出，原点O的坐标为（0,0）；x轴上的点的纵坐标为0，例如（1,0），（-1,0），；y轴上的点的横坐标为0，例如（0,1），（0，-1），. 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成 、 、 、 四个部分（图7.1-5），每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，我们还可以得出：对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x,y)和它对应；发过来，对于任意一对有序实数（x,y)，在坐标平面都有唯一的一点M和它对应。 也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。 7.2 坐标方法的简单应用 7.2.1 用坐标表示地理位置 探究：根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置。小刚家：出校门向东走1500m，再向北走2000m.小强家：出校门向西走2000m，再向北走3500m，最后向东走500m.小敏家：出校门向南走1000m，再向东走3000m，最后向南走750m. 如图7.2-2，选学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1m长。依题目所给条件，点（1500,2000）就是小刚家的位置。 归纳：利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方形；（2）根据具体问题确定单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。 7.2.2 用坐标表示平移 探究：如图7.2-4 ，将点A（-2，-3）向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出这个点，并写出它的坐标。观察坐标的变化，你能从中发现什么规律吗？把点A向上平移4个单位长度呢；把点A向左或向下平移呢？ 一般地，在平面直角坐标系中，将点（x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a, y）（或（x-a, y）；将点（x,y )向上（或下）平移b个单位长度，可以得对应点（x , y-b ) （或（x , y-b ). 7.2.2 用坐标表示平移 探究 如图7.2-5，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A（-2,4），B（-2,3），C（-1,3），D（-1,4），将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E、F、G、H，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形位置相同吗？可求出点E，F，G，H的坐标分别是（6，-3），（6，-4），（7，-4），（7，-3），如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形位置相同。一般地，将一个图形依次沿着两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到。对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化。 7.2.2 用坐标表示平移 一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平行a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是原图形向上（或向下）平移a个单位长度。 练习：如图，将平行四边形ABCD向左平移2个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到平行四边形ABCD。画出平移后的图形，并指出其各个顶点的坐标。解：A（-1，-2）、B（3，-2）、C（4,1）、D（0,1）将平行线四边形ABCD向左平移2个单位长度，再向上平移三个单位长度后A（-1-2，-2+3）、B（3-2，-2+3）、 C（4-2，1+3）、D（0-2,1+3），即A（-3，1）、B（1，1）、C（2，4）、D（-2,4）