离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)-数字信号处理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,2.2.1 DTFT定义,离散时间序列的傅立叶变换,是的连续函数，且是周期的，周期为2。,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,四种形式的傅立叶变换,1）连续、非周期x（t）,连续、非周期,2）连续、周期x（t）,离散、非周期,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,3）离散、非周期x（n）,连续、周期,4）离散、周期,离散、周期,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,总结：若x在时域是周期的，那么在频域X一定是离散的，,若x在时域是非周期的，那么X一定是连续的。,第四种变换在时域和频域都是离散的，且都是周期的，周期都为N点，在计算机上能方便地利用DFT来实现信号的频谱分析。,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,时域卷积定理：,y(n)=x(n)*h(n),频域卷积定理：,若 y(n)=x(n)h(n)，则,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,Parseval（巴塞伐）定理：,信号在时域的总能量等于其频域的总能量，频域,的总能量等于,在一个周期内的积分。,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,2.DTFT的反变换公式,傅立叶系数展开式为,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,Wiener-khinchin（维纳-辛钦）定理：,若,x(n)是功率信号，其自相关函数的定义为：,功率信号x(n)的功率谱,为：,2.2 离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,此式称为确定性信号的维纳-辛钦定理，它说明功,率信号x(n)的自相关函数和其功率谱是一对傅立,叶变换,信号的总功率,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,小结：不管x(n)是实信号还是复信号，其功率谱 始终是的实函数，即功率谱失去了相位信息。,2.2.2 信号截短对DTFT的影响,例：将一个n=-+的无限长信号x(n)截短，最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号，若所用的窗函数为矩形窗，即,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,那么，x,N,(n)=x(n)d(n),实现了对x(n)的自然截短。,解：先研究d(n)的频谱特点：,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,即：,记,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,可理解为 的增益，可正可负，当,=0时，当N/2=k时，=2k/N,时，在=0两边第一个过零点间的,部分称为 的主瓣，对矩形窗来说，该主瓣宽,度B=4/N，主瓣以外部分（|2/N）称为,的边瓣，显然，N增大时，主瓣宽度B减小，,当N,时，,趋于（），这时相当于对信,号没有截短。,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,若xN(n)=x(n)d(n)，那么,卷积的结果是 的主瓣对 起到了“平滑”,的作用，降低了,中谱峰的分辨能力。,加窗对频域分析带来的另一个影响是频谱泄露,（leakage）,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,例如：假设x(n)为两个正弦信号之和，那么起频,谱在,1,，,2,处各有一个谱线，若 的主瓣宽,度4/N大于|,2,-,1,|，那么在 中将分辨,不出这两根谱线，这是由于窗函数d（n）过短，,而使其频谱的主瓣过宽，边瓣过大所引起的，若,增加数据长度N，使4/N|2-1|，那么，,这两个谱峰可分辨出。,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,例：令,即 是频域的矩形函数，所以，对应的 x(n),为 sinc 函数，现对x(n)用矩形窗d（n），,n=0，30来截短，试分析截短后对x(n)频谱的,影响。,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,解：记 xN(n)=x(n)d(n),从结果可以看出，在,原来为零的位置,|04）处以,不再为零，,这是由于不再,零，这是由于,的边瓣所产生的，这种现象称,为频谱的泄露。,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,边瓣越大，且衰减得越慢，泄露就越严重，在频,谱分析中，泄露往往会模糊原来的形状，窗函数,过大的边瓣有可能产生虚假的峰值，这些都是不,希望的。,但在实际工作中，对信号的截短是不可避免的，,因此总要使用窗函数，一般要求，窗函数的主瓣,越窄越好，边瓣越小并衰减得越快越好。,2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）,汉明窗、汉宁窗,