离散小波变换与正交小波

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2.5 离散小波变换 与正交小波,设 为母小波，记,1.离散小波变换,则称,为离散小波变换,2.正交小波,定义：,设有允许小波,，记,，,其中,为任意的整数。如果函数族,构成空间,的标准正交基,则称,是正交小波,母函数或简称正交小波,称为正交小波基。,函数族,正交小波,对任意,，存在唯一的展式：,其中,称为,的,小波系数,正交小波级数分解,小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离,散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正,交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。,正交小波,正交小波的例：,例5.1,经过二进伸缩与平移可得到,是,的一个标准正交基，但此小波基是一族阶梯,函数，连续性较差，不适合分析光滑性较好的信号。它的时间局部性非常好，但频域局部性不好,Haar小波,定理5.1 函数系,为标准正交系当且仅当,3.平移正交判定定理,证明：标准正交,而,周期,正交小波,Shannon小波,的一切平移所生成的函数系,构成了子空间,的一个标准正交基,尺度函数,令,，则,具有标准正交基,例5.2,正交小波,且对任意,有,于是,正交小波,令,在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，是频率带限函数，具有好的局部化特性。,它的整的平移族,的标准正交基,的标准正交基,对任意,Shannon小波基,例 5.3,考虑线性样条函数,从几何上看，,显然是一个基本小波,易知,这里,是个帐篷函数,定理 4.2 平移正交构造定理,若,不构成标准正交基，则可令,于是 构成标准正交基,