精算模型第2章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,第二章 个别保单的理赔额和理赔次数,第一节 理赔额的分布,一、常用名词,投保人（,insurer,）,承保人,保险公司（,insurance,）,损失事件（,loss event or claim,）,注意：事故不等于损失事件,损失额（,loss,）,理赔事件（,payment event,）,赔付额，理赔额（,amount paid,）,注意：损失事件不等于理赔事件，理赔额不等于损失额,记号：,X,表示投保人实际损失额（,ground-up loss,）。,Y,表示保险人每次理赔事件的赔付额,(amount paid,per payment,),，简称理赔额,;,Y,*,表示投保人每次损失事件中获得的实际索赔额,(amount paid,per loss,),二、常见的部分赔偿形式,1,、,免赔额（,deductible,）,含义：当损失额低于某一限额时不做赔偿，这一限额称为免赔额（或自付额），当损失额高于免赔额，只赔偿高出的部分。,例如,免赔额为,50,元,数学形式：,例,1,：已知某风险标的的原始损失额如下：,0,1,2,3,4,0.4,0.2,0.2,0.15,0.5,假设免赔额为,1,，求每次理赔事件的赔付额,Y,和每次损失事件的赔付额的分布。,0,1,2,3,4,0.4,0.2,0.2,0.15,0.05,0,0,1,2,3,0.2/0.4,0.15/0.4,0.05/0.4,0.4,0.2,0.2,0.15,0.05,Y,L,的分布容易计算，,Y,P,的分布是在,X,d,的条件下，,X,d,的条件分布。记,Y,P,的分布函数记为,F,YP,(,y,),，,当,y,0,时为，,当,y,0,时，,Y,P,的分布密度函数可以写为,2,、保单限额（,Policy limit,）,含义：每次保险事故中按保险单所约定的最高赔偿金额。,例如,:,最高保单限额为,1500,元,数学形式：,请问,：当免赔额和保单限额同时存在时，情况会怎样？,例,2,:,设某医疗保险单上规定了免赔额为,100,保单限额为,5,000,，,有三个投保人看病花费分别为,50, 4000,和,5500,问他们获得的赔付额各是多少,?,注意,：如果同时规定最高保单限额为,u,，免赔额为,d,，则投保人所能得到的最高赔偿金额为,u,。,未定义,解,：设,X,i,表示第,i,个投保人的损失额, Y,i,表示他所获得的赔付,则,所以，由,X1=40, X2=4000, X3=5500,得,Y1=0,Y2=4000-100=3900, Y3=5000,例,3,：假设某险种的保单规定免赔额为,100,元，保单限额为,9,00,元。假设损失服从,Weibull,分布，,求理赔额,Y,P,的分布。,解,：设,X,表示实际损失额，,Y,P,表示理赔额，则,Y,P,的分布函数和分布密度分别为,未定义,当,y,900,时，,当时，,3,、比例分担,含义：在保险单中约定一个比例常数，当损失事故中的实际损失额为,X,时，保险公司只赔付,a,X,，,例如，,a,0.8,当免赔额、保单限额和比例分担三者同时存在时,未定义,三、理赔额的期望,记号,显然，,设,X,表示损失额，,Y,P,表示每次赔偿理赔额，,Y,L,每次损失的赔付额,免赔额情形：,保单限额,保单限额、免赔额同时存在,比例分担、保单限额、免赔额同时存在：,1,、有限期望函数,性质,1.,2.,对于非负随机变量,X,3,、对非负随机变量,X,证明：,例,4,：设某险种的损失额,X,具有密度函数,x,0,假定最高理赔额为,u,=4,万元,求理赔额的期望是多少,?,解,：设理赔额为,Y,，则,由,知,2,、剩余期望函数,E,(,X,),，,e,X,(,d,),与,E,(,X,d,),的关系,E,(,X,)=,E,(,X,d,)+,e,X,(,d,)(1-,F,(,d,),例,5,：设某险种的损失额,X,具有密度函数,假定免赔额等于,0.2,万元,求每次损失事件实际赔付额和每次理赔额事件理赔额,Y,的期望。,解,经计算得到,，且,上面的例子可以总结为下面的定理：,定理,设,X,表示实际损失额，,免赔额为,d,，,比例分担额,a,保单覆盖的最大损失,u,，则每次损失赔付额,Y,L,和赔偿的理赔额,Y,的期望分别为,证明：保单覆盖的最大损失,u,，则最高赔偿额为,可以表示为,所以,由于,Y,P,是,Xd,条件下，的值，因此,四、通货膨胀效应,1,、通货膨胀率已知为,r,对损失额的影响,设,X,表示过去时期内损失额, Z,表示现在或未来时期内的损失额,则两者的关系为,Z=(1+r)X,。容易计算得到,对理赔额的影响：,定理：,设,X,表示实际损失额,免赔额为,d,保单覆盖的最大损失,u,和比例分担额,a,通货膨胀率为,r,则明年每次损失赔付额为,每次理赔的理赔额为,例,6,假设某险种在,2003,年的实际损失额服从离散分布,。保单上规定每次损失的免赔额为,1500,元。假设从,2003,年到,2004,年的通货膨胀额为,5,，,2004,年的免赔额保持不变，求,2004,年的每次损失赔付额的期望是多少。比今年相比，增长率是多少？,解,今年每次损失的索赔额为,明年每次损失的索赔额为,增长率为,8,2,通货膨胀率是随机的,考虑模型,Y=CX,随机变量,C,和,X,是独立的,C,1,，,C,表示随机通货膨胀,一般是主观预测得来，设其分布函数为,F,C,(c),密度为,f,C,(c),。若,X,的分布函数为,满足,，则,容易计算出，明年的损失额的期望和方差为,这是因为,例,7,预测明年的通货膨胀率在,2%,到,6%,之间，,而且低通货膨胀率的可能性更大。设损失,X,服从均值为,10,的指数分布，,，求明年损失额的期望。,解,：不妨考虑这样一个密度函数,其中,这个密度函数满足低通货膨胀率的可能性更大这个条件。经计算得到,C,的期望和方差为,于是由公式计算得到,第,2,节 理赔次数,主要内容,1,、母函数与矩母函数,2,、一张保单的理赔次数分布,3,、理赔次数的混合分布,4,、理赔次数的复合分布,5,、免赔额对理赔次数分布的影响,1,、,N,的母函数与矩母函数,设,N,是一个离散随机变量，取值于,0,1,2,记,其母函数为,矩母函数为,母函数与矩母函数的关系,母,(,矩母,),函数性质,1,、若,N,的母,(,矩母,),函数存在，那么母,(,矩母,),函数与分布函数是相互唯一决定的。,2,、由母,(,矩母,),函数可以导出矩的计算：,请问,3,、设,N,N,1,+N,n, N,i,相互独立，则,二、一张保单的理赔次数分布,1,、泊松分布,(Poisson),对于保险公司而言，客户因发生损失而提出理赔的人数类似于等待服务现象，因此对大多数险种来说，个别保单的理赔次数可用泊松分布来表示，即在单位时间内个别保单发生理赔次数,N,的分布列为：,在单位时间内理赔次数,N,的分布列为,泊松分布的性质：,（,1,）均值和方差,（,2,）母函数,（,3,）矩母函数,（,4,）可加性,定理,1,：设,是,相互独立,的泊松随机变量，参数分别为,，则,服从泊松分布，参数为,。,证明：,故,N,服从泊松分布，参数为,。,（,5,）可分解性,假设损失事故可以分为,m,个不同类型,C,1,C,m,E,i,表示第,i,类事故发生。,p,i,表示第,i,类事故发生的概率，,N,i,表示第,i,类事故发生的次数，,N,表示所有事故发生的次数。,定理,2,：若,N,服从参数为,l,的泊松分布，则,N,1,N,2,N,n,都是相互独立的，且服从泊松分布，参数分别是,l,p,i,，。,证明,：给定,N=n,，,N,i,|n,服从二项分布,B(1,p,i,),，,N,1,N,n,服从多项分布,因此,其中,n,n,1,+n,2,+n,n,因此，,的联合分布等于,N,i,分布的乘积，,N,i,是相互独立的随机变量。,例,1,：设,N,表示损失事故发生的次数，,X,表示损失额，服从泊松分布，,l,=10,，,X,U0, 20,。问损失额超过,5,的事故发生次数的概率分布。,解,：令,E,表示事件“损失额超过,5,”,所以损失额超过,5,的次数服从参数为,100.75=7.5,的泊松分布。,例,2,：假设某险种的个体保单损失,X,的分布为,又假设个体保单在一年内发生的损失事件的次数,N,服从泊松分布，,l,200,。,N,i,表示损失额为,i,的损失事件的次数。,（,1,）,求,的分布。,（,2,）假设免赔额为,1,，求个体保单在一年内发生的理赔事件次数的分布。,解,：由于,，且,N,服从泊松分布，由定理知，,N,i,相互独立且服从泊松分布。,参数,l,i,等于,计算得到,（,2,）留作课堂练习,2,、其他常见的理赔次数分布,（,1,）负二项分布,其中：,负二项分布的性质,（,1,）当,r,1,，负二项分布退化为几何分布,（,2,）母函数,注意：我们这里的负二项是广义的负二项分布，,r,可以为非整数。,将,化简得到,（,3,）均值和方差,（,2,）二项分布,性质,（,1,）母函数与矩母函数,（,2,）均值与方差,请问：如何从观察数据简单区别,负二项分布、二项分布和泊松分布,例,3,：设有,100,个,40,岁的投保人投保生命险，,q,表示一个投保人明年死亡的概率，问明年死亡人数的分布是什么？,3,、,(a, b, 0),分布族,上述,3,种分布都可以用,(a, b, 0),分布来表示,定义,：设随机变量,N,的分布列满足,则称分布族为,(a, b, 0),分布族,注：泊松分布，二项分布，负二项分布是（,a,b,0),分布族,泊松分布：,负二项分布,因此，,当,r,1,时，负二项分布是几何分布，,二项分布,例,4,：设,N,是一随机变量，令,，如果,问,N,的分布是什么？,解：由,知，,N,服从二项式分布,练习,：设,X,的分布属于,(a,b,0),分布族,，已知,求,三、理赔次数的混合分布,背景：,从保单中随意抽取一份保单，求该保单的理赔次数分布。,同质性,：指所有的保单相互独立，且都有相同的风险水平，即各保单的损失额的分布相同，损失次数的分布也相同。,非同质性,：保单组合中的每个保单风险水平各不相同。表示其风险水平。,数学模型,设,Q,是一个随机变量，当,Q,q,时，,令,为,Q,的累积分布，,u,(q),为,q,的密度函数，,则,N,的分布列为,或者,N,的分布称为混合分布。,例,5,：某司机总体被平均分成两个类型。每个司机发生车祸的次数都服从泊松分布。第一种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（,0.2,，,1.8,）的均匀分布。第二种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（,0.5,，,2.0,）的均匀分布。从这个总体中随机抽取一个司机，求他不发生车祸的概率。,解,混合分布性质,1.,母函数,或者,其中,P,N,(z|,q,),表示在,Q,q,条件下，,N,的母函数。,2,均值和方差,常见的几种混合泊松分布,1,、离散型混合,对于规模较小的保单组合，假设保单组合由,n,种不同的风险水平构成，泊松参数取值于,，设,，,。当,L,l,k,时，保单的损失次数服从参数为,l,k,的泊松分布。则从保单组合中任意抽取一份保单的分布为,例,6,：假设投保车险的驾驶员可以分为两类，他们出事的次数服从泊松分布，其中好的一类的泊松参数为,0.11,，坏的一类的泊松参数为,0.70,，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例为,0.94,和,0.06,，则任意一个驾驶员出事的次数分布时多少？,解,2,、连续型的混合,对于规模较大的保单组合，可以假设其中的泊松参数服从连续分布。以,u(,l,),表示的密度函数，通常称为结构函数。则从保单组合中随机抽取一份保单的损失次数分布为,性质：,(1),母函数的表达式,（,2,）结构函数的唯一性，设,P,1,和,P,2,是两个混合泊松分布的母函数，分别表示为,若,P,1,(z)=P,2,(z),，则,u(,q,)=v(,q),。,例,7,：设,Q,的母函数为,求,N,的分布。,解,：利用母函数公式,定理,3,：设保单组合中每张保单的理赔次数,N,服从泊松分布，但参数,l,是一个随机变量，随每张保单变化而变化。若,l,服从伽玛分布，,，,则,N,服从负二项分布。,四、理赔次数的复合分布,问题：一次损失事故的发生可能会导致多份保单同时发生索赔，如何求索赔次数的分布。,例,1,：设从城市,A,到城市,B,的某航线每个月有,70,个航班，假设每个航班有,的可能性取消，假设每次飞行有,的概率出事。进一步假设每趟飞机有,200,个座位，每次飞行有,的就座率和,6,个机组人员，假设出事飞机上的每个人都死亡，并且都买了保险。,求每个月此航线的索赔次数的期望和方差。,.,解：令,S,表示下个月此航线的总索赔次数,N,表示下个月出行的航班数,P,表示飞机上的人员数，,M,表示乘客数,D,表示发生事故的死亡人数，,则,。,定义：设,M,和,N,分别为两个计数随机变量，,iid,与,M,的分别相同，则,N,的分布称为,的复合分布,的分布称为第一分布，,M,称为第二分布。,背景：,N,表示单位时间内损失事故的发生数，,M,表示第,i,个损失事故产生的索赔次数，,S,表示单位时间内索赔的总次数。,S,的性质,母函数,例,1,：,M,服从泊松分布，,N,服从泊松分布，,，,例,2,：求例,1,中,S,的母函数：,，,均值和方差,例,1,续：求例,1,中,S,的期望和方差,注意：当免赔额存在时，理赔次数不等于损失次数。,1,、免赔额存在时,X,表示损失，,N,L,表示损失次数，,d,表示免赔额，,N,P,表示理赔次数,，,，,五、,免赔额对理赔次数的分布的影响,例：设某损失事件的损失额有几种可能,，发生的概率分别为,，假设损失事件的次数服从,的负二项分布，免赔额为,50,，求赔偿事件的次数的分布。,解,N,P,服从负二项分布,。,命题,1,命题,1,：假设,N,L,的母函数,，其中,B(.),是与参数,无关的函数，则,N,L,和,N,P,的分布类型没有变化。,证明：,注：所有的,分布都保持原来的类型。,2,、免赔额发生变化时,设原来的免赔额为,d,，现在免赔额调整为,d*,，请问调整后新理赔次数发生了什么变化。,记,N,d,表示免赔额为,d,的理赔次数，,N,d,*,表示理赔额为,d*,的理赔次数，设,v,表示在免赔额提高后，以前的索赔事件能够继续获得赔偿的比例，则,令,I=1,表示继续获得赔偿，,表示,I=0,不能继续获得赔偿,当,d,*,d,时，若,N,的分布为（,a,b,0,），则,N,d,*,分布类型不会发生变化，参数有变化,当,d,*,d,时,此时,N,d,*,的参数可能超出原频率分布的参数范围，因此我们不能考虑这种情形。,